1、第三节第三节 三角函数的图象与性质三角函数的图象与性质 【知识重温】【知识重温】 一、必记 2 个知识点 1周期函数 (1)周期函数的定义 对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有 _，那么函数 f(x)就叫做周期函数_叫做这个函数的周 期 (2)最小正周期，如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个_，那么这 个_就叫做 f(x)的最小正周期 2正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 函数 ysin x ycos x ytan x 图 象 定义 域 xR xR x|xR 且 x 2k，kZ 值域 _ _ _ 单调 性 _上递增， kZ； _上
2、递减， kZ _上 递增，kZ； _上 递减，kZ _上递 增，kZ 最 值 x _时，ymax 1(kZ)； x_时， ymin 1(kZ) x_时， ymax1(kZ)； x_时， ymin1(kZ) 无最值 奇偶性 _ _ _ 对称 性 对称中心： _ 对称中心： 21_ 对称中心： 22_ 对称轴 l： 23_ 对称轴 l： 24_ 无 周期性 25_ 26_ 27_ 二、必明 2 个易误点 1三角函数存在多个单调区间时易错用“”联结 2研究三角函数单调性、对称中心、奇偶性及对称轴时易受基本函数影响，遗漏问题的 多解，同时也可能忽视“kZ”这一条件 【小题热身】【小题热身】 一、判断正
3、误 1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)ysin x 在第一、第四象限是增函数( ) (2)余弦函数 ycos x 的对称轴是 y 轴( ) (3)正切函数 ytan x 在定义域内是增函数( ) (4)已知 yksin x1，xR，则 y 的最大值为 k1.( ) (5)ysin|x|是偶函数( ) (6)若 sin x 2 2 ，则 x 4.( ) 二、教材改编 2下列关于函数 y4sin x，x0,2的单调性的叙述，正确的是( ) A在0，上单调递增，在，2上单调递减 B在0， 2上单调递增，在 3 2 ，2上单调递减 C在0， 2及 3 2 ，2上单调递增，在 2，
4、 3 2 上单调递减 D在 2， 3 2 上单调递增，在0， 2及 3 2 ，2上单调递减 3函数 y3 2cos( 1 2x 6)的最大值为_，此时 x 的集合为_ 三、易错易混 4关于三角函数的图象，有下列说法： ysin|x|与 ysin x 的图象关于 y 轴对称； ycos(x)与 ycos|x|的图象相同； y|sin x|与 ysin(x)的图象关于 x 轴对称； ycos x 与 ycos(x)的图象关于 y 轴对称 其中正确的是_(写出所有正确说法的序号) 5函数 y12sin( 6x)的单调增区间是_ 四、走进高考 62019 全国卷下列函数中，以 2为周期且在区间( 4，
5、 2)单调递增的是( ) Af(x)|cos 2x| Bf(x)|sin 2x| Cf(x)cos |x| Df(x)sin |x| 考点一 三角函数的定义域自主练透型 1y cos x1 2的定义域为_ 2函数 y 1 tan x1的定义域为_ 3函数 ylg(sin x) cos x1 2的定义域为_ 悟 技法 求与三角函数有关的函数定义域的基本方法是“数形结合”，也就是在求这类函数定 义域时，往往需要解有关的三角不等式，而解三角不等式的方法是：要么利用正、余弦曲线， 正切曲线，要么利用单位圆等图形的直观形象来解决问题. 考点二 三角函数的值域与最值互动讲练型 例 1 (1)2019 全国
6、卷函数 f(x)sin 2x3 2 3cos x 的最小值为_ (2)函数 ysin xcos xsin x cos x，x0，的值域为_ 悟 技法 三角函数最值或值域的三种求法 (1)直接法：利用 sin x，cos x 的值域 (2)化一法：化为 yAsin(x)k 的形式，确定 x 的范围，根据正弦函数单调性写出函 数的值域 (3)换元法：把 sin x 或 cos x 看作一个整体，转化为二次函数，求给定区间上的值域(最值)问题. 变式练(着眼于举一反三) 1函数 y2sin x 6 3 (0 x9)的最大值与最小值之和为( ) A2 3 B0 C1 D1 3 2函数 f(x)sin
7、2x 4 在区间 0， 2 上的最小值为_ 考点三 三角函数的性质互动讲练型 考向一：三角函数的周期性 例 2 函数 f(x)( 3sin xcos x)( 3cos xsin x)的最小正周期是( ) A. 2 B C.3 2 D2 考向二：三角函数的对称性 例 3 已知函数 f(x)sin x 4 (0)的最小正周期为 ，则函数 f(x)的图象( ) A关于直线 x 4对称 B关于直线 x 8对称 C关于点 4，0 对称 D关于点 8，0 对称 考向三：三角函数的单调性 例 4 已知 f(x) 2sin x 4 ，x0，则 f(x)的单调递增区间为_ 悟 技法 1.奇偶性与周期性的判断方法
8、 (1)奇偶性： 由正、 余弦函数的奇偶性可判断 yAsin x 和 yAcos x 分别为奇函数和偶函数 (2)周期性：利用函数 yAsin(x)，yAcos(x)(0)的周期为2 ，函数 yAtan(x )(0)的周期为 求解 2求三角函数单调区间的两种方法 (1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角 u(或 t)，利用基本 三角函数的单调性列不等式求解 (2)图象法：画出三角函数的图象，结合图象求它的单调区间. 变式练(着眼于举一反三) 3 2021 贵阳市监测考试已知函数 f(x)cos 2x 3sin 2x， 则 f(x)的单调递增区间是( ) Ak 3，k
9、 6(kZ) Bk，k 2(kZ) Ck 6，k 2 3 (kZ) Dk 2，k(kZ) 4关于函数 ytan 2x 3 ，下列说法正确的是( ) A是奇函数 B在区间 0， 3 上单调递减 C. 6，0 为其图象的一个对称中心 D最小正周期为 5若函数 f(x)sin x(0)在 0， 3 上单调递增，在区间 3， 2 上单调递减，则 _. 第三节第三节 三角函数的图象与性质三角函数的图象与性质 【知识重温】【知识重温】 f(xT)f(x) T 最小正数 最小正数 y|1y1 y|1y1 R 22k， 22k 22k， 3 2 2k (2k1)，2k 2k，(2k1) 2k， 2k 22k
10、22k 2k 2k 奇函数 偶函数 奇函数 (k， 0)， kZ 21 k 2，0 ，kZ 22 k 2 ，0 ，kZ 23xk 2，kZ 24xk，kZ 252 262 27 【小题热身】【小题热身】 1答案：(1) (2) (3) (4) (5) (6) 2解析：结合正弦函数 ysin x，x0,2的图象可知 C 正确 答案：C 3解析：当 cos(1 2x 6)1，即 1 2x 62k，kZ，即 x4k 7 3 ，kZ 时，函数 y 有最大值3 2. 答案：3 2 x|x4k 7 3 ，kZ 4 解析： 对于， ycos(x)cos x， ycos|x|cos x， 故其图象相同； 对于
11、， ycos( x)cos x，故其图象关于 y 轴对称；由图象(图略)可知均不正确故正确的说法是. 答案： 5解析：y12sin( 6x)12sin(x 6)令 ux 6，根据复合函数的单调性知，所 给函数的单调递增区间就是 ysin u 的单调递减区间， 解 22kx 6 3 2 2k(kZ)， 得2 3 2kx5 3 2k(kZ)，故函数 y12sin( 6x)的单调递增区间是 2 3 2k，5 3 2k(kZ) 答案：2 3 2k，5 3 2k(kZ) 6解析：当 x( 4， 2)时，2x( 2，)，由于 f1(x)cos 2x 在 x( 4， 2)上单调递减，且 cos 2x0， cos x1 20， 即 sin x0， cos x1 2， 解得 2kx2k，kZ， 32kx 32k，kZ. 所以 2kx 32k(kZ) 所以函数的定义域为x|2kx2k 3，kZ 答案：x|2k0)的图象经过坐标原点，由已知并结合正弦 函数的图象可知， 3为函数 f(x)的 1 4周期，故 2 4 3 ，解得 3 2. 解法二 由题意，得 f(x)maxf 3 sin 31. 由已知并结合正弦函数图象可知， 3 22k(kZ)，解得 3 26k(kZ)，所以当 k 0 时，3 2. 答案： 3 2