1、第二节第二节 平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示 【知识重温】【知识重温】 一、必记 3 个知识点 1平面向量基本定理 如果 e1， e2是同一平面内的两个_向量， 那么对于这一平面内的任意向量 a， 有且只有一对实数 1，2，使 a_. 我们把不共线的向量 e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组_. 2平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系内，分别取与 x 轴、y 轴_的两个单位_i、 j 作为基底，对于平面内的一个向量 a，有且只有一对实数 x，y，使得 a_， 则有序数对(x，y)叫做向量 a 的坐标，记作_，其中 x，y 分别叫做 a 在 x 轴、y 轴上的坐标，a
2、(x，y)叫做向量 a 的坐标表示，相等的向量其_相同，_ 相同的向量是相等向量 3平面向量的坐标运算 (1) 已 知 点A(x1， y1) ， B(x2， y2) ， 则 AB 10_ ， | AB | _. (2)已知 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab_，ab_， a_，ab(b0)的充要条件是_. (3)非零向量 a(x，y)的单位向量为_或_. (4)a(x1，y1)，b(x2，y2)，ab_. 二、必明 3 个易误点 1若 a、b 为非零向量，当 ab 时，a，b 的夹角为 0 或 180 ，求解时容易忽视其中一 种情形而导致出错 2要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在
3、形式上它们完全一样，但意义完全不同， 向量坐标中既有方向也有大小的信息 3若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab 的充要条件不能表示成x1 x2 y1 y2，因为 x2，y2 有可 能等于 0，应表示为 x1y2x2y10. 【小题热身】【小题热身】 一、判断正误 1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)在ABC 中，AB ，CA可以作为基底( ) (2)在ABC 中，设AB a，BCb，则向量 a 与 b 的夹角为ABC.( ) (3)平面向量不论经过怎样的平移变换之后，其坐标不变( ) (4)若 a，b 不共线，且 1a1b2a2b，则 12，且 12.( ) (
4、5)若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab 的充要条件可以表示成x1 x2 y1 y2.( ) 二、教材改编 2已知ABCD 的顶点 A(1，2)，B(3，1)，C(5,6)，则顶点 D 的坐标为( ) A(1,5) B(2,5) C(3,4) D(5,1) 3. 如图，在ABC 中，AD1 3AB，点 E 是 CD 的中点设AB a，ACb，用 a，b 表示CD _，AE _. 三、易错易混 42021 合肥模拟若向量AB (2,4)，AC(1,3)，则BC( ) A(1,1) B(1，1) C(3,7) D(3，7) 5下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的一组基底的是
5、( ) Aa(1,2)，b(0,0) Ba(1，2)，b(3,5) Ca(3,2)，b(9,6) Da 3 4， 1 2 ，b(3，2) 四、走进高考 6 2018 全国卷在ABC 中， AD 为 BC 边上的中线， E 为 AD 的中点， 则EB 等于( ) A.3 4AB 1 4AC B.1 4AB 3 4AC C.3 4AB 1 4AC D.1 4AB 3 4AC 考点一 平面向量基本定理及其应用 互动讲练型 例 1 (1)已知等腰梯形 ABCD 中，AB 2DC ，E，F 分别为 AD，BC 的中点，G 为 EF 的中点，若记AB a，AD b，则AG ( ) A.3 8 a 3 4b
6、 B. 3 8a 1 2b C.1 2a 3 4b D. 1 4a 3 8b (2)2021 江苏南通调研在ABC 中，点 P 是 AB 上一点，且CP 2 3CA 1 3CB ，Q 是 BC 的 中点，AQ 与 CP 的交点为 M，又CM tCP ，则实数 t 的值为_ 悟 技法 平面向量基本定理的实质及解题思路 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的 加、减或数乘运算 (2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示 成向量的形式，再通过向量的运算来解决. 变式练(着眼于举一反三) 1如图，在三角形 ABC 中
7、，BE 是边 AC 的中线，O 是 BE 的中点，若AB a，ACb， 则AO ( ) A.1 2a 1 2b B. 1 2a 1 3b C.1 4a 1 2b D. 1 2a 1 4b 22021 山东济南模拟在梯形 ABCD 中，已知 ABCD，AB2CD，M，N 分别为 CD， BC 的中点若AB AM AN ，则 的值为( ) A.1 4 B. 1 5 C. 4 5 D. 5 4 考点二 平面向量的坐标运算自主练透型 1已知AB (1，1)，C(0,1)，若CD 2AB ，则点 D 的坐标为( ) A(2， ，3) B(2，3) C(2,1) D(2，1) 2已知 a(5，2)，b(4
8、，3)，若 a2b3c0，则 c 的坐标为( ) A. 1，8 3 B. 13 3 ，8 3 C. 13 3 ，4 3 D. 13 3 ，4 3 3已知平行四边形 ABCD 中，AD (3,7)，AB (2,3)，对角线 AC 与 BD 交于点 O，则 CO 的坐标为( ) A. 1 2，5 B. 1 2，5 C. 1 2，5 D. 1 2，5 悟 技法 求解向量坐标运算问题的一般思路 (1)向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量 运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，通过建立平面直角坐标系，使几何问题转化为数 量运算 (2)巧借方程思想求坐标：向量的坐
9、标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行，若已 知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，求解过程中要注意方程思想的运用 (3)妙用待定系数法求系数：利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被 表示向量的坐标，再用待定系数法求出系数. 考点三 共线向量的坐标表示及其应用 互动讲练型 考向一：利用向量共线求向量或点的坐标 例 2 已知梯形 ABCD 中， 其中 ABCD， 且 DC2AB， 三个顶点 A(1,2)， B(2,1)， C(4,2)， 则 D 点坐标为_ 悟 技法 利用两向量共线的条件求向量坐标，一般地，在求与一个已知向量 a 共线的向量时，可 设所求向量为 a(R
10、)，然后结合其他条件列出关于 的方程，求出 的值后代入 a，即可 得到所求向量. 考向二：利用向量共线求参数 例 3 (1)2021 河南、河北重点高中段考已知向量 m(1,1)，n(2,2)，若(2m n)(m2n)，则 ( ) A1 B0 C1 D2 (2)已知向量OA (k,12)，OB (4,5)，OC (k,10)，且 A，B，C 三点共线，则实数 k 的 值是( ) A2 3 B 1 3 C. 1 3 D. 2 3 悟 技法 平面向量共线的坐标表示问题的解题策略 (1)利用两向量共线求参数，如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若 a(x1， y1)，b(x2，y2)，则
11、 ab 的充要条件是 x1y2x2y1”解题比较方便 (2)利用两向量共线的条件求向量坐标，一般地，在求与一个已知向量 a 共线的向量时，可设 所求向量为 a(R)，然后结合其他条件列出关于 的方程，求出 的值后代入 a 即可得到 所求的向量 (3)三点共线问题A，B，C 三点共线等价于AB 与AC共线. 变式练(着眼于举一反三) 3已知向量 a(1,2)，b(3，m)，mR，则“m6”是“a(ab)”的( ) A充要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 42021 河南安阳模拟已知向量 a(1，1)，b(1,0)，若 ab 和 2ab 共线，则 ( ) A2 B.
12、1 2 C1 D2 第二节第二节 平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示 【知识重温】【知识重温】 不共线 1 1 e 22 e 基底 同向 向量 xiyj a(x，y) 坐标 坐标 ( 2 x 1 x ， 2 y 1 y ) 22 2121 ()()xxyy ( 1 x 2 x ， 1 y 2 y ) ( 1 x 2 x ， 1 y 2 y ) ( 1 x ， 1 y ) 1 x 2 y 2 x 1 y 0 a |a| 22 1 xy (x，y) 1 x 2 x 且 1 y 2 y 【小题热身】 1答案：(1) (2) (3) (4) (5) 2解析：设顶点 D 的坐标为(x，
13、y)， AB (4,1)，DC (5x,6y)， 平行四边形 ABCD 中，AB CD ， 45x， 16y， 解得 x1，y5. 所以顶点 D 的坐标为(1,5) 答案：A 3解析：CD CA AD CA 1 3AB AC1 3AB 1 3ab. AE ACCEAC1 2CD AC 1 2(AD AC ) 1 2AC 1 2AD 1 2AC 1 2 1 3AB 1 2AC 1 6AB 1 6a 1 2b. 答案：1 3ab 1 6a 1 2b 4 解析： 因为向量AB (2,4)， AC(1,3)， 所以BCACAB(1,3)(2,4)(1， 1) 故 选 B. 答案：B 5解析：根据平面向
14、量基底的定义知，两个向量不共线即可作为基底. 故选 B. 答案：B 6解析：作出示意图如图所示 EB ED DB 1 2AD 1 2CB 1 2 1 2(AB AC)1 2(AB AC) 3 4AB 1 4AC . 故选 A. 答案：A 课堂考点突破课堂考点突破 考点一 例 1 解析：(1)因为等腰梯形 ABCD 中，AB 2DC ，E，F 分别为 AD，BC 的中点，G 为 EF 的中点，所以AG AE EG 1 2AD 1 2EF 1 2AD 1 4(AB DC )1 2AD 1 4 AB 1 2AB 1 2AD 3 8AB ，因为ABa，AD b，所以AG 1 2b 3 8a.故选 B
15、项 (2)因为CP 2 3CA 1 3CB ， 所以 3CP2CACB， 即 2CP2CACBCP， 所以 2APPB， 即 P 为 AB 的一个三等分点(靠近点 A)， 又因为 A，M，Q 三点共线，所以可设AM AQ . 所以CM AM AC AQ AC 1 2AB 1 2AC AC 2AB 2 2 AC ，又CM tCP t(AP AC )t 1 3AB AC t 3AB tAC， 所以 2 t 3， 2 2 t， 解得 t3 4， 1 2. 答案：(1)B (2)3 4 变式练 1解析：在三角形 ABC 中，BE 是 AC 边上的中线 AE 1 2AC ， O 是 BE 边的中点， A
16、O 1 2(AB AE)， AO 1 2(AB AE)1 2AB 1 2AE 1 2a 1 4b. 答案：D 2解析：如图，连接 AC，由AB AM AN ，得AB1 2(AD AC )1 2(AC AB)，则 ( 21)AB 2AD ( 2 2)AC 0， 得( 21)AB 2AD ( 2 2)(AD 1 2AB )0， 得(1 4 3 41)AB ( 2)AD 0.又AB ，AD 不共线，所以由平面向量基本定理得 1 4 3 410， 20， 解得 4 5， 8 5. 所以 4 5. 答案：C 考点二 1解析：设 D(x，y)，则CD (x，y1)，2AB (2，2)，根据CD 2AB ，
17、得(x，y1) (2，2)， 即 x2， y12， 解得 x2， y1， 故选 D. 答案：D 2解析：设 c(x，y)因为 a2b3c0，所以(5，2)2(4，3)3(x，y)(0,0)， 即(583x， 263y)(0,0)所以 133x0， 43y0， 解得 x13 3 ， y4 3. 所以 c 13 3 ，4 3 . 答案：D 3解析：因为AC ABAD (2,3)(3,7)(1,10)，所以OC 1 2AC 1 2，5 ，所以CO 1 2，5 .故选 D 项 答案：D 考点三 例 2 解析：在梯形 ABCD 中，DC2AB， ABCD，DC 2AB ， 设点 D 的坐标为(x，y)，
18、 则DC (4x,2y)，AB (1，1)， (4x,2y)2(1，1)， 即(4x,2y)(2，2)， 4x2， 2y2， 解得 x2， y4， 故点 D 的坐标为(2,4) 答案：(2,4) 例 3 解析：(1)因为 2mn(34,4)，m2n(3，3)，且(2mn)(m2n)， 所以(3) (34)4 (3)0，解得 0.故选 B. (2)AB OB OA (4k，7)，AC OC OA (2k，2) A，B，C 三点共线，AB ，AC共线， 2(4k)7(2k)， 解得 k2 3. 答案：(1)B (2)A 变式练 3解析：由题意得 ab(2,2m)，由 a(ab)，得1(2m)22，所以 m6， 当 m6 时，a(ab)，则“m6”是“a(ab)”的充要条件 答案：A 4解析：a(1，1)，b(1,0)，ab(1，)，2ab(1，2)，又 a b 和 2ab 共线，2(1)，2.故选 D 项 答案：D