1、第二节第二节 等差数列及其前等差数列及其前 n 项和项和 【知识重温】【知识重温】 一、必记 5 个知识点 1等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于_，那 么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的_，一般用字母 d 表示；定 义的表达式为：_(nN*) 2等差数列的通项公式 设等差数列an的首项是 a1， 公差是 d， 则其通项公式为 an_.等差数 列的通项公式是关于 n 的一次函数形的函数 3等差中项 若 a，A，b 成等差数列，则 A 叫做 a，b 的等差中项，且 A_. 4等差数列的前 n 项和公式 若已知首项 a1和末项 an，则 Sn
2、_，或等差数列an的首项是 a1，公差是 d， 则其前 n 项和公式为 Sn_.等差数列的前 n 项和公式是关于 n 的二次函 数形的函数且无常数项 5等差数列与等差数列各项和的有关性质 (1)aman(mn)d 或aman mn d.(m、nN*) (2)在等差数列中，若 pqmn，则有 apaqaman；若 2mpq，则有 apaq _，(p，q，m，nN*) (3)d0an是递增数列， Sn有最小值； d0an是递减数列， Sn有最大值； d0an 是常数数列 (4)数列anb仍为等差数列，公差为 d. (5)若bn，an都是等差数列，则an bn仍为等差数列 (6)am，amk，am2
3、k，am3k，仍是等差数列，公差为 kd. (7)数列 Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差数列 (8)S2n1(2n1)an. (9)若 n 为偶数，则 S偶S奇n 2d. 若 n 为奇数，则 S奇S偶a中(中间项) 二、必明 2 个易误点 1要注意概念中的“从第 2 项起”如果一个数列不是从第 2 项起，而是从第 3 项或第 4 项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列 2注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别 【小题热身】【小题热身】 一、判断正误 1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)若一个数列从第 2 项起每一项与它的前一项的差都是常
4、数，则这个数列是等差数 列( ) (2)数列an为等差数列的充要条件是对任意 nN*，都有 2an1anan2.( ) (3)数列an为等差数列的充要条件是其通项公式为 n 的一次函数( ) (4)已知数列an的通项公式是 anpnq(其中 p，q 为常数)，则数列an一定是等差数 列( ) (5)等差数列的前 n 项和公式是常数项为 0 的二次函数( ) 二、教材改编 2设数列an是等差数列，其前 n 项和为 Sn，若 a62 且 S530，则 S8等于( ) A31 B32 C33 D34 3在等差数列an中，若 a3a4a5a6a7450，则 a2a8_. 三、易错易混 4一个等差数列的
5、首项为 1 25，从第 10 项起开始比 1 大，则这个等差数列的公差 d 的取 值范围是( ) Ad 8 75 Bd 3 25 C. 8 75d 3 25 D. 8 75d 3 25 5若等差数列an满足 a7a8a90，a7a100，则当 n_时，an的前 n 项 和最大 四、走进高考 62019 全国卷记 Sn为等差数列an的前 n 项和已知 S40，a55，则( ) Aan2n5 Ban3n10 CSn2n28n DSn1 2n 22n 考点一 等差数列的基本运算自主练透型 12020 全国卷记 Sn为等差数列an的前 n 项和若 a12，a2a62 则 S10 _. 22020 六校
6、联盟联考设等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 a4S52，S714，则 a10 ( ) A18 B16 C14 D12 32021 河南部分重点高中联考记等差数列an的前 n 项和为 Sn.若 3S55S3135，则 数列an的公差 d_. 考点二 等差数列的判定与证明互动讲练型 例 1 2021 湖北检测已知数列an满足 a12，n(an1n1)(n1)(ann)(nN*) (1)求证：数列 an n 是等差数列，并求其通项公式； (2)设 bn 2an15，求数列bn的前 n 项和 Sn. 悟 技法 等差数列的判定方法 (1)等差数列的判定通常有两种方法：第一种是定义法，anan1d(
7、常数)(n2)；第二种是利 用等差中项法，即 2anan1an1(n2) (2)解答选择题和填空题时也可以用通项公式与前 n 项和公式直接判定 (3)若判定一个数列不是等差数列，则只需要说明某连续 3 项(如前三项)不是等差数列即可. 变式练(着眼于举一反三) 1已知 a13 5，an2 1 an1(n2，nN *)，数列b n满足 bn 1 an1(nN *) 求证：数列bn是等差数列 考点三 等差数列的性质分层深化型 考向一：等差数列通项性质的应用 例 2 (1)已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，且 2a5a210，则 S15( ) A20 B75 C300 D150 (2)设公差为
8、3 的等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 S2 0192 019，则 a3a6a9 a2 019( ) A673 B1 346 C673 D1 346 考向二：等差数列前 n 项和性质的应用 例 3 (1)已知 Sn是等差数列an的前 n 项和， 若 a12 014，S2 014 2 014 S2 008 2 0086， 则 S2 020 _. (2)2021 太原模拟一个等差数列的前 12 项的和为 354， 前 12 项中偶数项的和与奇数项的 和的比为 32：27，求该数列的公差 d. 悟 技法 应用等差数列的性质解题的三个注意点 (1)如果an为等差数列，mnpq，则 amanapa
9、q(m，n，p，qN*)因此，若出现 amn，am，amn等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与 am(或其他项)有关的条件；若求 am项，可由 am1 2(amnamn)转化为求 amn，amn或 amnamn的值 (2)要注意等差数列通项公式及前 n 项和公式的灵活应用， 如 anam(nm)d， danam nm ， S2n 1(2n1)an，Snna 1an 2 na2an 1 2 (n，mN*)等 (3)当项数为偶数 2n 时，S偶S奇 nd；项数为奇数 2n1 时，S奇S偶a中，S奇：S偶n： (n1). 变式练(着眼于举一反三) 2设等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 S3
10、9，S636，则 a7a8a9等于( ) A63 B45 C36 D27 3 设等差数列an的前 n 项和为 Sn， 已知前 6 项和为 36， 最后 6 项的和为 180， Sn324(n 6)，则数列an的项数为_ 考点四 等差数列前 n 项和的最值问题 互动讲练型 例 4 (1)2021 湖北襄阳四中联考已知数列an为等差数列，a1a2a3165，a2a3 a4156，an的前 n 项和为 Sn，则使 Sn达到最大值的 n 的值是( ) A19 B20 C21 D22 (2)2021 西安八校联考设等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 S6S7S5, 则满足 SnSn10 的正整数 n
11、 的值为( ) A10 B11 C12 D13 悟 技法 求等差数列前 n 项和 Sn最值的两种方法 (1)函数法：等差数列前 n 项和的函数表达式 Snan2bna n b 2a 2b 2 4a，求“二次函数”最 值 (2)邻项变号法 当 a10，d0 时，满足 am0，am10 的项数 m 使得 Sn取得最大值为 Sm； 当 a10，d0 时，满足 am0，am10 的项数 m 使得 Sn取得最小值为 Sm. 变式练(着眼于举一反三) 42019 北京高考设等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 a23，S510，则 a5 _，Sn的最小值为_ 52021 南昌模拟已知等差数列an的公差
12、d0，前 n 项和为 Sn，若 S510a6，则当 Sn 最大时，n( ) A8 B9 C7 或 8 D8 或 9 第二节第二节 等差数列及其前等差数列及其前 n 项和项和 【知识重温】【知识重温】 同一个常数同一个常数 公差公差 an 1and a1(n1)d a b 2 n a1 an 2 na1n n 1 2 d 2am 【小题热身】【小题热身】 1答案：(1) (2) (3) (4) (5) 2解析：由已知可得 a15d2， 5a110d30， 解得 a126 3 ， d4 3， S88a187 2 d32. 答案：B 3解析：由等差数列的性质，得 a3a4a5a6a75a5450，a
13、590，a2a8 2a5180. 答案：180 4解析：由题意可得 a101， a91， 即 1 259d1， 1 258d1， 所以 8 75d 3 25.故选 D. 答案：D 5解析：因为数列an是等差数列，且 a7a8a93a80. 所以 a80.又 a7a10a8a90，所以 a90. 故当 n8 时，其前 n 项和最大 答案：8 6解析：设an的公差为 d， 依题意得，4a143 2 d0，a14d5， 联立，解得 a13，d2.所以 an2n5，Snn24n.故选 A. 答案：A 课堂考点突破课堂考点突破 考点一 1解析：通解 设等差数列an的公差为 d，则由 a2a62，得 a1
14、da15d2，即 46d2，解得 d1，所以 S1010(2)109 2 125. 优解 设等差数列an的公差为 d，因为 a2a62a42, 所以 a41，所以 da4a1 41 12 3 1，所以 S1010(2)109 2 125. 答案：25 2解析：设 an的公差为 d，由 a13d5a154 2 d2 7a176 2 d14 ， 可得 6a113d2 a13d2 ，解得 a14 d2 ，所以 a1049214.选 C. 答案：C 3解析：因为 3S55S3135， 所以 3 5a154 2 d 5 3a132 2 d 135， 所以 15d135，解得 d9. 答案：9 考点二 例
15、 1 解析：(1)证明：n(an1n1)(n1)(ann)(nN*)， nan1(n1)an2n(n1)， an1 n1 an n2， 数列 an n 是等差数列，其公差为 2，首项为 2， an n22(n1)2n. (2)由(1)知 an2n2，bn 2an152n15， 则数列bn前 n 项和 Snn132n15 2 n214n. 变式练 1 解析： 证明： 因为 an2 1 an1(n2， nN *)， b n 1 an1(nN *)， 所以 b n1bn 1 an11 1 an1 1 2 1 an 1 1 an1 an an1 1 an11.又 b1 1 a11 5 2.所以数列bn
16、是以 5 2为首 项，1 为公差的等差数列 考点三 例 2 解法一 设数列an的公差为 d，由 2a5a210，得 2(a14d)(a1d)10，整理 得 a17d10，S1515a11514 2 d15(a17d)1510150.故选 D. 解法二 由题意知， a2a82a5， 所以 2a5a2a810， S1515a1a15 2 152a8 2 150. 故选 D. (2)解析：(1)解法一 设等差数列an的首项为 a1，则 S2 0192 019a11 22 0192 018(3)2 019，解得 a13 028，所以 a33 022，则 a3a6a9a2 0193 022673 1 2
17、673672(9)1 346.故选 B. 解法二 S2 019(a1a4a7a2 017)(a2a5a8a2 018)(a3a6a9a2 019) (a3a6a9a2 019)673(6)(a3a6a9a2 019)673(3)(a3a6a9 a2 019)3(a3a6a9a2 019)673(9)2 019，解得 a3a6a9a2 019 1 346.故选 B. 答案：(1)D (2)B 例 3 解析：(1)由等差数列的性质可得 Sn n 也为等差数列 设其公差为 d， 则S2 014 2 014 S2 008 2 0086d6， d1.故 S2 020 2 020 S1 1 2 019d2
18、 0142 0195， S2 02052 02010 100. (2)设等差数列的前 12 项中奇数项的和为 S奇，偶数项的和为 S偶，等差数列的公差为 d. 由已知条件，得 S奇S偶354， S偶S奇， ，解得 S偶192， S奇162. 又 S偶S奇6d，所以 d192162 6 5. 答案：(1)10 100 (2)见解析 变式练 2解析：由an是等差数列，得 S3，S6S3，S9S6为等差数列，即 2(S6S3)S3(S9 S6)，得到 S9S62S63S345，故选 B. 答案：B 3解析：由题意知 a1a2a636， anan1an2an5180， 得(a1an)(a2an1)(a
19、6an5)6(a1an)216，a1an36， 又 Snna1an 2 324，18n324，n18. 答案：18 考点四 例 4 解析：(1)设等差数列an的公差为 d，则(a2a3a4)(a1a2a3)3d156165 9，所以 d3.因为 a1a2a33a13d3a19165，所以 a158.所以 ana1(n 1)d58(n1) (3)613n.令 an613n0，得 n61 3 .因为 nN*，所以当 n20 时， Sn达到最大值故选 B. (2)由 S6S7S5，得 S7S6a7S6，S7S5a6a7S5，所以 a70，a6a70，所以 an为递减数列，又 S1313a1a13 2
20、 13a70，S1212a1a12 2 6(a6a7)0，所以 S12S13 0，即满足 SnSn10 的正整数 n 的值为 12，故选 C. 答案：(1)B (2)C 变式练 4解析：设等差数列an的首项为 a1，公差为 d.由 S55 2(a1a5) 5 22a310，得 a3 2，da3a22(3)1，a1314，a5a14d440. 解法一 a14，d1，Sn4nnn1 2 11 2(n 29n)1 2 n9 2 281 8 . nN*，当 n4 或 5 时，Sn取最小值，为 S4S510. 解法二 a14，d1，an4(n1)1n5.由 an0 得 n5，且 n5 时， a50，故当 n4 或 5 时，Sn取最小值，为 S4S5540 2 10. 答案：0 10 5解析：解法一 由 S510a6，可得5a1a14d 2 10(a15d)，解得 a18d，所以 Snna11 2n(n1)d d 2 n17 2 2289 4 .因为 d0，所以当 n8 或 9 时，Sn最大故选 D. 解法二 因为S55a1a5 2 52a3 2 5a3， 所以5a310a6， 所以5(a12d)10(a15d)， 化简可得 a18d0，即 a90.因为 d0，所以当 n8 或 9 时，Sn最大故选 D. 答案： D