1、第一节第一节 数列的概念与简单表示法数列的概念与简单表示法 【知识重温】【知识重温】 一、必记 5 个知识点 1数列的有关概念 概念 含义 数列 按照_排列的一列数 数列的项 数列中的_ 数列的通项 数列an的第 n 项 an 通项公式 数列an的第 n 项 an与 n 之间的关系能用公式_表示， 这个公式叫做数列的通项公式 前 n 项和 数列an中，Sn_叫做数列的前 n 项和 2.数列的表示方法 列表法 列表格表示 n 与 an的对应关系 图象法 把点_画在平面直角坐标系中 公式 法 通项 公式 把数列的通项使用_表示的方法 递推 公式 使用初始值 a1和 an1f(an)或 a1， a2
2、和 an1f(an， an1)等表示数列的方法 3.an与 Sn的关系 若数列an的前 n 项和为 Sn， 则 an ，n1， ，n2. 4数列的分类 单调性 递增数列 nN*，_ 递减数列 nN*，_ 常数列 nN*，an1an 摆动数列 从第 2 项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 周期性 周期数列 nN*，存在正整数常数 k，ankan 5.常见数列的通项公式 自然数列：(1,2,3,4，) ann； 奇数列：(1,3,5,7，) an2n1； 偶数列：(2,4,6,8，) an2n； 平方数列：(1,4,9,16，) ann2； 2 的乘方数列：(2,4,8,16，
3、) an2n； 倒数列： 1，1 2， 1 3， 1 4， an 1 n； 乘积数列：(2,6,12,20，) 可化为(12,23,34,45，) ann(n1)； 重复数串列：(9,99,999,9 999，) an10n1； (0.9,0.99,0.999,0.999 9，) an110 n； 符号调整数列：(1,1，1,1，) an(1)n. 二、必明 2 个易误点 1数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还 与这些“数”的排列顺序有关 2项与项数是两个不同的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的 项对应的位置序号 【小题热身】【小题热身
4、】 一、判断正误 1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个( ) (2)1,1,1,1，不能构成一个数列( ) (3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列( ) (4)如果数列an的前 n 项和为 Sn，则对nN*，都有 an1Sn1Sn.( ) 二、教材改编 2必修 5 P67T2改编数列an的前几项为1 2，3， 11 2 ，8，21 2 ，则此数列的通项可能是 ( ) Aan5n4 2 Ban3n2 2 Can6n5 2 Dan10n9 2 3必修 5 P33T4改编在数列an中，a11，an11 n an1 (n2)，则
5、 a5_. 三、易错易混 4在数列an中，ann26n7，当前 n 项和 Sn取最大值时，n_. 5已知 Sn2n3，则 an_. 四、走进高考 62018 全国卷记 Sn为数列an的前 n 项和若 Sn2an1，则 S6_. 考点一 数列的有关概念及通项公式 自主练透型 1已知数列的通项公式为 ann28n15，则 3( ) A不是数列an中的项 B只是数列an中的第 2 项 C只是数列an中的第 6 项 D是数列an中的第 2 项或第 6 项 2数列3 2， 5 4， 7 8， 9 16，的一个通项公式为( ) Aan(1)n 2n1 2n Ban(1)n 2n1 2n Can(1)n 1
6、 2n1 2n Dan(1)n 1 2n1 2n 3 已知 nN*， 给出 4 个表达式： an 0，n为奇数， 1，n为偶数， an11 n 2 ， an1cos n 2 ， an sin n 2 .其中能作为数列：0,1,0,1,0,1,0,1，的通项公式的是( ) A B C D 悟 技法 由数列的前几项求数列通项公式的策略 (1)根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征，并对 此进行归纳、联想，具体如下： 分式中分子、分母的特征； 相邻项的变化特征； 拆项后的特征； 各项符号特征等 (2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是利用不完全归纳法，它蕴含着
7、“从特殊到一 般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化， 可用(1)n或(1)n 1 来调整. 考点二 由 an与 Sn的关系求通项 an 互动讲练型 例 1 (1)已知数列an的前 n 项和 Snn22n1，则 an_； (2)设 Sn为数列an的前 n 项和，若 2Sn3an3，则 a4等于( ) A27 B81 C93 D243 悟 技法 已知 Sn求 an的三个步骤 (1)先利用 a1S1求出 a1. (2)用 n1 替换 Sn中的 n 得到一个新的关系，利用 anSnSn1(n2)便可求出当 n2 时 an 的表达式 (3)对 n1 时的结果进行
8、检验，看是否符合 n2 时 an的表达式，如果符合，则可以把数列的 通项公式合写；如果不符合，则应该分 n1 与 n2 两段来写(如本例(1). 变式练(着眼于举一反三) 1若数列an的前 n 项和为 Sn，首项 a10，且 2Sna2nan(nN*)则数列an的通项 公式为_ 2设 Sn是数列an的前 n 项和，且 a11，an1SnSn1，则 Sn_. 考点三 由递推关系式求数列的通项公式 互动讲练型 考向一：形如 an1anf(n)，求 an 例 2 设数列an满足 a11，且 an1ann1(nN*)，求数列an的通项公式 考向二：形如 an1anf(n)，求 an 例 3 在数列an
9、中，a11，ann1 n an1(n2)，求数列an的通项公式 考向三：形如 an1AanB(A0 且 A1)，求 an 例 4 已知数列an满足 a11，an13an2，求数列an的通项公式 考向四：形如 an1 Aan BanA(A，B 为常数)，求 an 例 5 已知数列an中， a11， an1 2an an2(nN *)， 则数列a n的通项公式 an_. 悟 技法 典型的递推数列及处理方法 递推式 方法 示例 an1anf(n) 累加法 a11，an1an2n an1anf(n) 累乘法 a11，an 1 an 2n an1AanB (A0,1，B0) 化为等 比数列 a11，an
10、12an1 an1 Aan BanA 化为等 差数列 a11，an1 2an an2 变式练(着眼于举一反三) 3累加法在数列an中，a13，an1an 1 nn1，则通项公式 an_. 4累乘法已知 a12，an12nan，则数列an的通项公式 an_. 5待定系数法已知数列an中， a13，且点 Pn(an， an1)(nN*)在直线 4xy10 上， 则数列an的通项公式为_ 6取倒数法已知数列an满足 a11，an1 an an2(nN *)，求通项公式 a n_. 第六章第六章 数列数列 第一节第一节 数列的概念与简单表示法数列的概念与简单表示法 【知识重温】【知识重温】 一定顺序
11、每一个数 anf(n) a1a2an (n，an) 公式 S1 SnSn1 an1an an1an 【小题热身】【小题热身】 1答案：(1) (2) (3) (4) 2解析：数列为1 2， 6 2， 11 2 ，16 2 ，21 2 ，其分母为 2，分子是首项为 1，公差为 5 的等差 数列，故通项公式为 an5n4 2 . 答案：A 3解析：a211 2 a1 2，a311 3 a2 1 2，a41 14 a3 3，a511 5 a4 2 3. 答案：2 3 4解析：令 ann26n70 得 1n7(nN*)，所以该数列的第 7 项为 0，且从第 8 项开始 an0，则该数列的前 6 项或前
12、 7 项的和最大 答案：6 或 7 5解析：当 n1 时，a1S1235， 当 n2 时，anSnSn12n32n 132n1. 由于 a15 不满足上式， 所以 an 5，n1， 2n 1，n2. 答案： 5，n1， 2n 1，n2. 6解析：根据 Sn2an1，可得 Sn12an11，两式相减得 an12an12an，即 an1 2an，当 n1 时，S1a12a11，解得 a11，所以数列an是以1 为首项，2 为公比 的等比数列，所以 S6112 5 12 63. 答案：63 课堂考点突破课堂考点突破 考点一 1解析：令 an3，即 n28n153，解得 n2 或 6，故 3 是数列a
13、n中的第 2 项或第 6 项 答案：D 2解析：该数列是分数形式，分子为奇数 2n1，分母是指数 2n，各项的符号由(1)n 1 来确定，所以 D 选项正确 答案：D 3解析：检验知都是所给数列的通项公式 答案：A 考点二 例 1 解析：(1)当 n1 时，a1S11214，当 n2 时，anSnSn12n1，经 检验 a14 不适合 an2n1，故 an 4n1， 2n1n2. (2)根据 2Sn3an3， 可得 2Sn13an13， 两式相减得 2an13an13an， 即 an13an， 当 n1 时，2S13a13，解得 a13，所以数列an是以 3 为首项，3 为公比的等比数列，所
14、以，a4a1q33481.故选 B. 答案：(1) 4n1， 2n1n2 (2)B 变式练 1 解析： 当 n1 时， 2S1a21a1， 则 a11.当 n2 时， anSnSn1a 2 nan 2 a 2 n1an1 2 ， 即(anan1)(anan11)0anan1或 anan11，所以 an(1)n 1或 a nn. 答案：an(1)n 1 或 ann 2解析：由已知得 an1Sn1SnSnSn1，两边同时除以 SnSn1得 1 Sn 1 Sn11，即 1 Sn1 1 Sn1.又 1 S11， 1 Sn 是首项为1，公差为1 的等差数列， 1 Sn1(n1)(1) n，即 Sn1 n
15、. 答案：1 n 考点三 例 2 解析：由题意有 a2a12，a3a23，anan1n(n2) 以上各式相加，得 ana123nn12n 2 n 2n2 2 . 又a11，ann 2n 2 (n2) 当 n1 时也满足此式，ann 2n 2 (nN*) 例 3 解析：ann1 n an1(n2)， an1n2 n1an 2，an2n3 n2an 3，a21 2a1. 以上(n1)个式子相乘得 ana1 1 2 2 3 n1 n a1 n 1 n. 当 n1 时，a11，上式也成立an1 n(nN *) 例 4 解析：an13an2，an113(an1)， an 11 an1 3，数列an1为等
16、比数列，公比 q3， 又 a112，an12 3n 1， an2 3n 11(nN*) 例 5 解析：an1 2an an2， 1 an1 an2 2an 1 an 1 2， 1 an1 1 an 1 2. 又 a11， 1 a11， 1 an 是以 1 为首项，1 2为公差的等差数列， 1 an1(n1) 1 2 n1 2 ， an 2 n1. 答案： 2 n1 变式练 3解析：原递推公式可化为 an1an1 n 1 n1， 则 a2a111 2，a3a2 1 2 1 3， a4a31 3 1 4，an1an2 1 n2 1 n1，anan 1 1 n1 1 n，逐项相加得， ana111
17、n，故 an4 1 n. 答案：41 n 4解析：an12nan，an 1 an 2n，当 n2 时，an an an1 an1 an2 a2 a1 a12 n1 2n2 2 2 2n 2n2 2 .又 a11 也符合上式，an2n 2n2 2 . 答案：2n 2n2 2 5解析：因为点 Pn(an，an1)(nN*)在直线 4xy10 上， 所以 4anan110. 所以 an11 34 an1 3 . 因为 a13，所以 a11 3 10 3 . 故数列 an1 3 是首项为10 3 ，公比为 4 的等比数列 所以 an1 3 10 3 4n 1， 故数列an的通项公式为 an10 3 4n 11 3. 答案：an10 3 4n 11 3 6解析：由 an1 an an2，得 1 an11 2 an，所以 1 an112 1 an1 ，故 1 an1 是首项为 1 a1 12，公比为 2 的等比数列，则 1 an12 n.a n 1 2n1. 答案： 1 2n1