1、第四节第四节 基本不等式基本不等式 【知识重温】【知识重温】 一、必记 3 个知识点 1基本不等式 abab 2 (1)基本不等式成立的条件：_. (2)等号成立的条件：当且仅当_时取等号 (3)两个平均数：ab 2 称为正数 a，b 的_， ab称为正数 a，b 的_. 2几个重要不等式 (1)a2b2_(a，bR) (2)ab_(a，bR) (3) ab 2 2_(a，bR) (4)b a a b_(a b0) (5) 2 1 a 1 b abab 2 a2b2 2 (a0，b0) 3利用基本不等式求最值问题 已知 x0，y0，则 (1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当_时，xy 有
2、最小值是_(简记： “积定和最小”) (2)如果和 xy 是定值 s，那么当且仅当_时，xy 有最大值是_(简记： “和定积最大”) 二、必明 2 个易误点 1求最值时要注意三点：一是各项为正；二是寻求定值；三是考虑等号成立的条件 2多次使用基本不等式时，易忽视取等号的条件的一致性 【小题热身】【小题热身】 一、判断正误 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)函数 yx1 x的最小值是 2.( ) (2)函数 f(x)cos x 4 cos x，x 0， 2 的最小值等于 4.( ) (3)“x0 且 y0”是“x y y x2”的充要条件( ) (4)若 a0，则 a3 1
3、 a2的最小值为 2 a.( ) (5)不等式 a2b22ab 与ab 2 ab有相同的成立条件( ) (6)a2b2c2abbcca(a、b、cR)( ) 二、教材改编 2已知 x1，则 x 1 x1的最小值为( ) A2 B3 C4 D6 3若 a，b0，且 abab3，则 ab 的取值范围为_ 三、易错易混 4已知 0 x3，则 yx16 x 的最小值为( ) A.25 3 B8 C20 D10 5y2x5 x(x0，y0，x2y5，则x12y1 xy 的最小值为_ 考点一 利用基本不等式求最值分层深化型 考向一：配凑法求最值 例 1 (1)已知 x5 4，则 f(x)4x2 1 4x5
4、的最小值为_ (2)若函数 f(x)x 1 x2(x2)在 xa 处取最小值，则 a 等于( ) A1 2 B1 3 C3 D4 考向二：常值代换法求最值 例 2 2021 广东珠海高三检测已知 x0，y0，z0，且 9 yz 1 x1，则 xyz 的最小 值为( ) A8 B9 C12 D16 考向三：消元法求最值 例 3 2020 江苏卷，12已知 5x2y2y41(x，yR)，则 x2y2的最小值是_ 悟 技法 (1)配凑法的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变 形；变形的目的是配凑出和或积为定值 (2)常值代换法：根据已知条件或其变形确定定值(常数)，
5、再把其变形为 1，再把“1”的表达 式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式 (3)消元法：根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解. 变式练(着眼于举一反三) 12021 山东泰安一中联考已知 a0，b0，ab2，则 y1 a 4 b的最小值是( ) A.7 2 B. 9 2 C5 D4 22020 山东质量测评联盟联考若 x2，则函数 y4x 3 x2的最小值为_ 3若 a，b，c 都是正数，且 abc2，则 4 a1 1 bc的最小值是_ 考点二 利用基本不等式证明不等式 互动讲练型 例 4 已知 a，b，c0，求证：a 2 b b 2 c c 2
6、 aabc. 悟 技法 利用基本不等式证明不等式时，要先观察题中要证明的不等式的结构特征，若不能直接 使用基本不等式证明，则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等，使之转化为能使用基本不 等式的形式；若题目中还有已知条件，则先观察已知条件和所证不等式之间的联系，当已知 条件中含有“1”时，要注意“1”的代换，另外，解题时要时刻注意等号能否取到. 变式练(着眼于举一反三) 4已知 ab，ab1，求证：a2b22 2(ab) 考点三 利用基本不等式探求参数范围 互动讲练型 例 5 (1)已知函数 f(x)4xa x(x0，a0)在 x3 时取得最小值，则 a_； (2)2021 江西吉安期中设正数 x
7、，y 满足 xy1，若不等式1 x a y4 对任意的 x，y 成立， 则正实数 a 的取值范围是( ) A4，) B(1，) C1，) D(4，) 悟 技法 利用基本不等式求解含参数的不等式的策略 (1)观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围 (2)在处理含参数的不等式恒成立问题时，往往将已知不等式看作关于参数的不等式，体 现了主元与次元的转化. 变式练(着眼于举一反三) 52021 福建四地六校联考已知函数 f(x)xa x2 的值域为(，04，)，则 a 的值是( ) A.1 2 B. 3 2 C1 D2 6已知函数 yx4 9 x1(x1)，当 xa 时
8、，y 取得最小值 b，则 ab 等于( ) A3 B2 C3 D8 第四节第四节 基本不等式基本不等式 【知识重温】【知识重温】 a0，b0 ab 算术平均数 几何平均数 2ab ab 2 2 a 2b2 2 2 xy 2 p xy s 2 4 【小题热身】【小题热身】 1答案：(1) (2) (3) (4) (5) (6) 2解析：x1，x10 x 1 x1(x1) 1 x112 x1 1 x113 当且仅当 x1 1 x1，即 x2 时，取“” x 1 x1的最小值为 3.故选 B. 答案：B 3解析：a，b0，ab2 ab abab32 ab3 ab2 ab30 ( ab1)( ab3)
9、0 又 ab10， ab30 ab9 当且仅当 ab 时，即 ab3 时，ab 取最小值 9. 答案：9，+ ） 4解析：由 yx16 x 2 x 16 x 8，当且仅当 x4 时取等号又0 x3 时，yx 16 x 的值随着 x 的增大而减小，当 x3 时，y 取得最小值为 316 3 25 3 .故选 A. 答案：A 5解析：x0 y2x5 x2(x 5 x) 又x5 x2 x 5 x2 5 y2x5 x2(x 5 x)22 5 当且仅当x5 x，且 x5 4，4x50 f(x)4x2 1 4x5 (4x5) 1 4x53 2 4x5 1 4x53 235 当且仅当 4x5 1 4x5，即
10、 x 3 2时取等号，所以 f(x)的最小值为 5. (2)x2，x20 f(x)x 1 x2(x2) 1 x22 2 x2 1 x22 224， 当且仅当 x2 1 x2，即 x3 时取等号，所以 a3.故选 C. 答案：(1)5 (2)C 例 2 解析：y0，z0，yz0，又 9 yz 1 x1，x0， xyzx(yz) 1 x 9 yz 10 9x yz yz x 102 9x yz yz x 16，当且仅当 9x yz yz x ，即 yz3x 时等号成立，xyz 的最小值为 16.故选 D. 答案：D 例 3 解析：解法一 由 5x2y2y41 得 x2 1 5y2 y2 5，则 x
11、 2y21 5y2 4y2 5 2 1 5y2 4y2 5 4 5，当且仅当 1 5y2 4y2 5 ，即 y21 2时取等号，则 x 2y2的最小值是4 5. 解法二 4(5x2y2) 4y2 5x2y24y2 2 225 4 (x2y2)2，则 x2y24 5，当且仅当 5x 2 y24y22，即 x2 3 10，y 21 2时取等号，则 x 2y2的最小值是4 5. 答案：4 5 变式练 1解析：a0，b0，ab2 y1 a 4 b (1 a 4 b) 1 2(ab) 5 2 1 2( b a 4a b ) 5 2 1 22 b a 4a b 9 2 当且仅当b a 4a b ，即 a2
12、 3，b 4 3时取等号故选 B. 答案：B 2解析：x2，x20 y4x 3 x24(x2) 3 x28 2 4x2 3 x28 4 38 当且仅当 4(x2) 3 x2，即 x2 3 2 时取等号 答案：84 3 3解析：abc2，a0，b0，c0 bc2a0，0a0，b0，c0 a 2 bb2a， b2 c c2b，c 2 aa2c a 2 b b2 c c 2 aabc2a2b2c 故a 2 b b2 c c 2 aabc 当且仅当 abc 时，等号成立 变式练 4证明：ab，ab0，又 ab1 a 2b2 ab a 2b22ab2ab ab ab 22ab ab ab 2 ab2 a
13、b 2 ab2 2 即 a2b22 2(ab) 当且仅当 ab 2 ab，即 ab 2时取等号 考点三 例 5 解析：(1)x0，a0， f(x)4xa x2 4x a x4 a， 当且仅当 4xa x，即 4x 2a 时，f(x)取得最小值 又f(x)在 x3 时取得最小值，a43236. (2)xy1, 且 x0，y0，a0，1 x a y 1 x a y (xy)a1y x ax y a12 a，a 2 a14，即 a2 a30，解得 a1，故选 C. 答案：(1)36 (2)C 变式练 5解析：由题意可得 a0，当 x0 时，f(x)xa x22 a2，当且仅当 x a时取 等号；当 x1，所以 x10， 9 x10，所以由 基本不等式，得 yx1 9 x152 x1 9 x151，当且仅当 x1 9 x1，即(x 1)29，即 x13，x2 时取等号，所以 a2，b1，ab3.故选 C. 答案：C