1、第三节第三节 二元一次不等式二元一次不等式(组组)与简单的线性规划问题与简单的线性规划问题 【知识重温】【知识重温】 一、必记 6 个知识点 1二元一次不等式表示平面区域 在平面直角坐标系中，平面内所有的点被直线 AxByC0 分成三类： (1)满足 AxByC0 的点 (2)满足 AxByC0 的点 (3)满足 AxByC0 或 AxByC0 时，区域为直线 AxByC0 的上方 (2)当 B(AxByC)0(a0) 2线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函数取得最值的点不一 定只有一个，也可能有无数多个，也可能没有 【小题热身】【小题热身】 一、判断正误 1判断下列说法是
2、否正确(请在括号中打“”或“”) (1)不等式 AxByC0 表示的平面区域一定在直线 AxByC0 的上方( ) (2)任何一个二元一次不等式组都表示平面上的一个区域( ) (3)线性目标函数的最优解可能是不唯一的( ) (4)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上( ) (5)目标函数zaxby(b0)中， z的几何意义是直线axbyz0在y轴上的截距 ( ) 二、教材改编 2不等式组 x3y60， xy20 表示的平面区域是( ) 3下面给出的四个点中，位于 xy10 表示的平面区域内的点是( ) A(0,2) B(2,0) C(0，2) D(2,0) 三、易错易混 4202
3、1 江西省名校高三教学质量检测若实数 x，y 满足约束条件 xy40 3x5y40 5x3y40 ，则 z2xy 的最大值为_ 52021 广州市高三年级调研检测已知实数 x，y 满足 2xy20 3xy30 x2y40 ，则 zx3y 的 最小值为( ) A7 B6 C1 D6 四、走进高考 62020 全国卷，13若 x，y 满足约束条件 2xy20， xy10， y10， 则 zx7y 的最大值为 _ 考点一 二元一次不等式(组)表示的平面区域 互动讲练型 例 1 2019 全国卷记不等式组 xy6， 2xy0 表示的平面区域为 D. 命题 p：(x， y)D，2xy9；命题 q：(x，
4、y)D,2xy12. 下面给出了四个命题 pq (綈 p)q p(綈 q) (綈 p)(綈 q) 这四个命题中，所有真命题的编号是( ) A B C D 悟 技法 平面区域面积问题的解题思路 (1)求平面区域的面积： 首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等 式组问题，从而再作出平面区域； 对平面区域进行分析， 若为三角形应确定底与高， 若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)， 可利用面积公式直接求解若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和即可 (2)利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用数形结合的方法去求解. 变式练(着眼于举一
5、反三) 12021 济南模拟设不等式组 xy10， xy10， 2xy20 表示的平面区域为 M，若直线 kxy1 0(kR)将区域 M 的面积分为相等的两部分，则实数 k 的值为( ) A.1 3 B. 1 2 C 1 2 D 1 3 2 已知约束条件 x1， xy40， kxy0 表示面积为1的直角三角形区域， 则实数k的值为( ) A1 B1 C0 D2 考点二 求目标函数的最值分层深化型 考向一：形如 zaxby 例 2 2020 全国卷，13若 x，y 满足约束条件 xy0， 2xy0， x1， 则 z3x2y 的最大值 为_ 考向二：形如 z(xa)2(yb)2 例 3 2021
6、山西省六校高三阶段性测试将满足约束条件 xy20， 2xy20， x2y20 的实数对 (x，y)所组成的集合记作 D，设 z(x1)2(y2)2，则 z 的取值范围是_ 考向三：形如 zyb xa 例 4 2021 湖南省长沙市高三调研试题设实数 x， y 满足约束条件 2xy40 x2y60 x2 ， 则 z y x1的取值范围为( ) A. 8 3， 16 3 B. 2 3， 5 6 C. 2 3， 8 3 D. 2 3， 16 3 听课笔记： 悟 技法 1.求目标函数的最值 3 步骤 (1)作图画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一 条直线； (2)平移
7、将 l 平行移动，以确定最优解的对应点的位置； (3)求值解方程组求出对应点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值 2常见的 3 类目标函数 (1)截距型：形如 zaxby. 求这类目标函数的最值常将函数 zaxby 转化为直线的斜截式：ya bx z b，通过求直线的 截距z b的最值间接求出 z 的最值 (2)距离型：形如 z(xa)2(yb)2. (3)斜率型：形如 zyb xa. 提醒 注意转化的等价性及几何意义. 同类练(着眼于触类旁通) 32021 湖北省部分重点中学高三起点考试已知实数 x，y 满足 x2y10 xy10 x2 ，则 z 2xy 的取值范围是_ 42021
8、安徽省部分重点校高三联考试题已知变量 x，y 满足约束条件 xy20 xy10 x0 ， 则 zx3y 的最小值为_ 变式练(着眼于举一反三) 5 2021 黑龙江鹤岗一中月考设实数 x， y 满足不等式组 xy2， yx2， y1， 则 x2y2的取值范 围是( ) A1,2 B1,4 C 2，3 D2,4 62021 石家庄市高三年级阶段性训练题已知实数 x，y 满足约束条件 xy20 2xy50 y1 ， 则 z y x3的最大值为( ) A.3 5 B. 4 5 C. 3 4 D. 3 2 拓展练(着眼于迁移应用) 72021 山西晋中月考已知变量 x，y 满足约束条件 x2y40，
9、y2， x4yk0， 且 z3xy 的最 小值为1，则常数 k_. 82021 湖南师大附中月考已知 x，y 满足约束条件 x2y20， 2xy20， xy20， 若 axy 取得最大 值的最优解不唯一，则实数 a 的值为( ) A.1 2或1 B2 或 1 2 C2 或 1 D2 或1 考点三 线性规划的实际应用互动讲练型 例 5 2016 全国卷某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料生 产一件产品 A 需要甲材料 1.5 kg， 乙材料 1 kg， 用 5 个工时； 生产一件产品 B 需要甲材料 0.5 kg， 乙材料 0.3 kg， 用 3 个工时 生产一件产品 A
10、 的利润为 2 100 元， 生产一件产品 B 的利润为 900 元该企业现有甲材料 150 kg，乙材料 90 kg，则在不超过 600 个工时的条件下，生产产品 A、 产品 B 的利润之和的最大值为_元 悟 技法 1.解线性规划应用题 3 步骤 (1)转化设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题 (2)求解解这个纯数学的线性规划问题 (3)作答将数学问题的答案还原为实际问题的答案 2求解线性规划应用题的 3 个注意点 (1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件是否能够取到等号 (2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数 x，y 的取值范围，特别注意分
11、析 x，y 是否 是整数、是否是非负数等 (3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式. 变式练(着眼于举一反三) 92021 河北省“五个一名校联盟”考试某企业生产甲、乙两种产品均需用 A，B 两种 原料，已知生产 1 吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示如果生产 1 吨甲、 乙产品可获利润分别为 3 万元、4 万元，则该企业每天可获得的最大利润为( ) 甲 乙 原料限额 A/吨 3 2 12 B/吨 1 2 8 A.15 万元 B16 万元 C17 万元 D18 万元 第三节第三节 二元一次不等式二元一次不等式(组组)与简单的线性规划问题与简单的线性规划问题 【小题热身
12、】【小题热身】 1答案：(1) (2) (3) (4) (5) 2解析：x3y60 表示直线 x3y60 左上方部分，xy20 表示直线 xy2 0 及其右下方部分 故不等式组表示的平面区域为选项 C 所示部分故选 C. 答案：C 3解析：将四个点的坐标分别代入不等式组 xy10， 满足条件的是(0，2)故选 C. 答案：C 4解析：作出可行域如图中阴影部分所示，易知 A(2，2)，作出直线 2xy0，并平 移，数形结合可知，当经过点 A(2，2)时，z2xy 取得最大值，所以 zmax2222. 答案：2 5解析：画出可行域如图中阴影部分所示，由图可知，向上平移基准直线 x3y0 到可 行域
13、边界 B(2,3)的位置时，z 取得最小值，此时 z2337.故选 A. 答案：A 6 解析： 作出可行域如图， 由 zx7y 得 yx 7 z 7， 易知当直线 y x 7 z 7经过点 A(1,0) 时，z 取得最大值，zmax1701. 答案：1 课堂考点突破课堂考点突破 考点一 例 1 解析：由不等式组画出平面区域 D，如图阴影部分所示， 在图中画出直线 2xy9，可知命题 p 正确， 作出直线 2xy12,2xy12 表示直线及其下方区域，易知命题 q 错误 綈 p 为假，綈 q 为真， pq 为真，綈 pq 为假，p綈 q 为真，綈 p綈 q 为假. 故真命题的编号为，故选 A.
14、答案：A 变式练 1解析： 如图所示，阴影区域ABC 为不等式组 xy10 xy10 2xy20 表示的平面区域 M，因为直线 l：kxy10(kR)过定点(0,1)，所以直 线 l 过点 B(0,1)又直线 l 将区域 M，即ABC 的面积分为相等的两部分，所以直线 l 需过 AC 的中点 D(2,2)，代入 kxy10，得 k1 2，故选 B. 答案：B 2解析：先作出不等式组 x1， xy4 对应的平面区域，如图： 要使阴影部分为直角三角形， 当 k0 时，此三角形的面积为1 233 9 21，所以不成立当 k1 时，此三角形面积 为1 2211，故选 A. 答案：A 考点二 例 2 解
15、析：如图所示，x，y 满足的可行域为AOB 及其内部 由目标函数 z3x2y 得 y3 2x z 2. 当直线 y3 2x z 2过点 A(1,2)时，z 取最大值，最大值为 7. 答案：7 例 3 解析： 作出可行域 D 如图中阴影部分所示(不含边界 AB)， 其中 A(0,2)， B(2,0)， C( 2， 2) z(x1)2(y2)2表示可行域 D 内的点到点(1,2)的距离的平方， 数形结合知点 C( 2，2)与点(1,2)间的距离最大，故 zmax(21)2(22)225；点(1,2)到直线 xy2 0 的距离 d 1 2，故 zd 21 2.因此 z 的取值范围是 1 2，25 .
16、 答案： 1 2，25 例 4 解析： 解法一 作出可行域如图中阴影部分所示 z y x1表示可行域中的点与点( 1,0)连线的斜率易知在 A(2,2)点处 z 取得最小值2 3，在 C 2 5， 16 5 点处 z 取得最大值16 3 ，所以 z 2 3， 16 3 .故选 D. 解法二 由 x2 x2y60 ，解得 x2 y2 ，此时 z2 3；由 x2 2xy40 ，解得 x2 y8 ， 此时 z8 3； 由 2xy40 x2y60 ， 解得 x2 5 y16 5 ， 此时 z16 3 .综上所述， z 的取值范围为 2 3， 16 3 ， 故选 D. 答案：D 同类练 3解析：画出不等
17、式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线 2xy0，平移 可知过点 C 时 z 最小，联立得 x2y10 xy10 ，解得 x1 3 y2 3 ，即 C 1 3， 2 3 ，所以 zmin21 3 2 30， 由 xy10 x2 ，解得 x2 y1 ，即 B(2，1)，将直线 2xy0 往右下方平移的过程 中，z 的值逐渐增大，所以 zmax2 时，直线 yaxz 经过点 A(2，2)时纵截距最大，此时最优解仅有 一个，故不符合题意；当a2 时，直线 yaxz 与 y2x2 重合时纵截距最大，此时最 优解不唯一，故符合题意；当1a2 时，直线 yaxz 经过点 B(0,2)时纵截距最大，
18、此 时最优解仅有一个，故不符合题意；当a1 时，直线 yaxz 与 yx2 重合时纵 截距最大，此时最优解不唯一，故符合题意；当a1 时，直线 yaxz 经过点 C(2,0) 时纵截距最大，此时最优解仅有一个，故不符合题意综上，当 a2 或 a1 时最优解不 唯一，符合题意. 故选 C. 答案：C 考点三 例 5 解析：由题意，设产品 A 生产 x 件，产品 B 生产 y 件，则总利润 z2 100 x900y， 约束条件为 1.5x0.5y150， x0.3y90， 5x3y600， xN， yN， 作出不等式组表示的可行域如图阴影部分(包括边界)中 的整数点所示 由 xN， yN， 可知 z 取得最大值时的最优解为(60,100)， 所以 zmax2 10060900100 216 000(元) 答案：216 000 变式练 9 解析： 设生产甲产品 x 吨， 乙产品 y 吨， 获利润 z 万元， 由题意可知， 3x2y12， x2y8， x0， y0， z3x4y，画出可行域如图中阴影部分所示，直线 z3x4y 过点 M 时，z3x4y 取得最大 值，由 3x2y12， x2y8， 得 x2， y3， M(2,3)，故 z3x4y 的最大值为 18，故选 D. 答案：D