1、第五节第五节 合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理 【知识重温】【知识重温】 二、必明 1 个易误点 演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密 性，书写格式的规范性 【小题热身】【小题热身】 一、判断正误 1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)类比推理得到的结论可以作为定理应用( ) (2)由个别到一般的推理为归纳推理( ) (3)演绎推理的结论一定是正确的( ) (4)演绎推理是由特殊到一般再到特殊的推理( ) 二、教材改编 2把 1,3,6,10,15,21，这些数叫作三角形数，如图所示，则第七个三角形数是( ) A27 B28 C29
2、 D30 3下列几种推理过程是演绎推理的是( ) A某校高三(1)班有 55 人，(2)班有 54 人，(3)班有 52 人，由此得高三所有班的人数均超 过 50 人 B两条直线平行，同旁内角互补，若A 与B 是两条平行直线的同旁内角，则A B180 C由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质 D在数列an中，a11，an1 2(an1an1)(n2)，由此归纳出an的通项公式 三、易错易混 4在ABC 中，E，F 分别为 AB，AC 的中点，则有 EFBC，这个推理的小前提为( ) AEFBC B三角形的中位线平行于第三边 C三角形的中位线等于第三边的一半 D线段 EF 为ABC 的中位线
3、5在平面上，若两个正三角形的边长的比为 1：2，则它们的面积比为 1：4.类似地，在 空间中，若两个正四面体的棱长的比为 1：2，则它们的体积比为_ 四、走进高考 62016 全国卷有三张卡片，分别写有 1 和 2,1 和 3,2 和 3.甲，乙，丙三人各取走一 张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是 2.”乙看了丙的卡片后说： “我与丙的卡片上相同的数字不是 1.”丙说：“我的卡片上的数字之和不是 5.”则甲的卡片 上的数字是_ 考点一 类比推理自主练透型 12021 湖北孝感模拟二维空间中，圆的一维测度(周长)l2r，二维测度(面积)Sr2， 三维空间中，球的二维测度(
4、表面积)S4r2，三维测度(体积)V4 3r 3，应用合情推理，若四维 空间中，“超球”的三维测度 V8r3，则其四维测度 W( ) A2r4 B3r4 C4r4 D6r4 2已知等差数列an中，有a11a12a20 10 a1a2a30 30 ，则在等比数列bn中， 会有类似的结论：_. 悟 技法 在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比，且要注意以下两点： 找两类对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积等等；找对 应元素的对应关系，如：两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等. 考点二 归纳推理分层深化型 考向一：与数字有关的推理
5、例 1 观察下列等式： 照此规律，第 n 个等式为_ 考向二：与式子有关的推理 例 2 已知 f(x) x 1x，x0，若 f1(x)f(x)，fn 1(x)f(fn(x)，nN*，则 f2 017(x)的表达 式为_ 考向三：与图形有关的推理 例 3 下面图形由小正方形组成，请观察图 1 至图 4 的规律，并依此规律，写出第 n 个 图形中小正方形的个数是_ 悟 技法 归纳推理问题的常见类型及解题策略 常见类型 解题策略 与数字有关的等式的推理 观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解 与式子有关的推理 观察每个式子的特点，找到规律后可解 与图形变化有关的推理 合理利用特殊图形归纳推理
6、得出结论，并用赋值检验法验证其 真伪性 变式练(着眼于举一反三) 1已知不等式 11 4 3 2，1 1 4 1 9 5 3，1 1 4 1 9 1 16 7 4，照此规律总结出第 n(nN *)个不等 式为_ 2某种平面分形图如图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为 1，两两 夹角为 120 ；二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来1 3的线 段，且这两条线段与原线段两两夹角为 120 ，依此规律得到 n 级分形图 n 级分形图中共有_条线段 考点三 把演绎推理写成三段论形式 互动讲练型 例 4 用三段论的形式写出下列演绎推理 (1)菱形的对角线相互垂直
7、，正方形是菱形，所以正方形的对角线相互垂直； (2)若两角是对顶角，则此两角相等，所以若两角不相等，则此两角不是对顶角； (3)一切奇数都不能被 2 整除，21001 是奇数，所以 21001 不能被 2 整除； (4)三角函数是周期函数，ytan 是三角函数，因此 ytan 是周期函数 悟 技法 运用三段论时的注意事项 用三段论写演绎推理的过程，关键是明确大前提、小前提，大前提提供了一个一般性的 原理，在演绎推理的过程中往往省略，而小前提指出了大前提下的一个特殊情况，只有将二 者结合起来才能得到完整的三段论一般地，在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分 条件作为大前提. 变式练(着眼于举一
8、反三) 3把下列演绎推理写成三段论的形式 (1)循环小数是有理数，0.332 是循环小数，所以 0.332 是有理数； (2)矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以正方形的对角线相等； (3)通项公式 an2n3 表示的数列an为等差数列 第五节第五节 合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理 【知识重温】【知识重温】 归纳推理 全部对象 部分 个别 类比推理 这些特征 由特殊到特殊 一般原理 对象 特殊问题 一般 特殊 【小题热身】【小题热身】 1答案：(1) (2) (3) (4) 2解析：第一个三角形数是 1， 第二个三角形数是 123， 第三个三角形数是 1236， 第四个三角形数是 123
9、410. 因此，归纳推理得第 n 个三角形点数是 1234n1nn 2 (个)由此可以得出 第七个三角形点数是 28.故选 B. 答案：B 3解析：A、D 为归纳推理，C 为类比推理，B 为演绎推理故选 B. 答案：B 4 解析： 大前提是三角形的中位线平行于第三边， 小前提是线段 EF 为ABC 的中位线 故 选 D. 答案：D 5解析：由题意知，在平面上，两个正三角形的面积比是边长比的平方 由类比推理知：体积比是棱长比的立方 即可得它们的体积比为 答案： 6解析：由丙说的话可知丙的卡片上的数字一定不是 2 和 3.若丙的卡片上的数字是 1 和 2，则乙的卡片上的数字是 2 和 3，甲的卡片
10、上的数字是 1 和 3，满足题意；若丙的卡片上的 数字是 1 和 3，则乙的卡片上的数字是 2 和 3，此时，甲的卡片上的数字只能是 1 和 2，不满 足题意故甲的卡片上的数字是 1 和 3. 答案：1 和 3 课堂考点突破课堂考点突破 考点一 1解析：二维空间中，圆的一维测度(周长)l2r，二维测度(面积)Sr2，(r2)2r， 三维空间中，球的二维测度(表面积)S4r2，三维测度(体积)V4 3r 3， 4 3r 3 4r2，四维 空间中，“超球”的三维测度 V8r3，(2r4)8r3， “超球”的四维测度 W2r4，故选 A. 答案：A 2解析：由等比数列的性质可知 b1b30b2b29
11、b11b20， 10b11b12b2030b1b2b30. 答案：10b11b12b2030b1b2b30 考点二 例 1 解析：由前 4 个等式可知，第 n 个等式的左边第一个数为 n，且连续 2n1 个整数 相加，右边为(2n1)2，故第 n 个等式为 n(n1)(n2)(3n2)(2n1)2. 答案：n(n1)(n2)(3n2)(2n1)2 例 2 解析：f1(x) x 1x，f2(x) x 1x 1 x 1x x 12x， f3(x) x 12x 1 x 12x x 13x，归纳可得 f2 017(x) x 12 017x. 答案：f2 017(x) x 12 017x 例 3 解析：
12、由题图知第 n 个图形的小正方形个数为 123n.总个数为nn1 2 . 答案：nn1 2 变式练 1解析：由已知，三个不等式可以写成 1 1 22 221 2 ， 1 1 22 1 32 231 3 ， 1 1 22 1 32 1 42 241 4 ， 所以照此规律可得到第 n 个不等式为 1 1 22 1 32 1 n2 1 n12 2n11 n1 2n1 n1 . 答案：1 1 22 1 32 1 n2 1 n12 2n1 n1 2解析：分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段， 由题图知，一级分形图有 3(323)条线段， 二级分形图有 9(3223)条线段， 三级分形图有 21(32
13、33)条线段， 按此规律 n 级分形图中的线段条数 an32n3. 答案：32n3 考点三 例 4 解析：(1)每个菱形的对角线相互垂直，(大前提) 正方形是菱形，(小前提) 所以，正方形的对角线相互垂直(结论) (2)两个角是对顶角则两角相等，(大前提) 1 和2 不相等，(小前提) 所以，1 和2 不是对顶角(结论) (3)一切奇数都不能被 2 整除，(大前提) 21001 是奇数，(小前提) 21001 不能被 2 整除(结论) (4)三角函数都是周期函数，(大前提) ytan 是三角函数，(小前提) ytan 是周期函数(结论) 变式练 3解析：(1)所有的循环小数是有理数，(大前提) 0332 是循环小数，(小前提) 所以，0.332 是有理数(结论) (2)每一个矩形的对角线相等，(大前提) 正方形是矩形，(小前提) 正方形的对角线相等(结论) (3)数列an中，如果当 n2 时，anan1为常数，则an为等差数列，(大前提) 通项公式 an2n3 时，若 n2， 则 anan12n32(n1)32(常数)，(小前提) 通项公式 an2n3 表示的数列为等差数列(结论)