1、第七节第七节 数学归纳法数学归纳法 【知识重温】【知识重温】 一、必记 3 个知识点 1归纳法 由一系列有限的特殊事例得出_的推理方法叫归纳法根据推理过程中考查的 对象是涉及事物的全体或部分可分为_归纳法和_归纳法 2数学归纳法 数学归纳法：一个与自然数相关的命题，如果：(1)当 n 取第 1 个值 n0时命题成立；(2)假 设当 nk，(kN，且 kn0)时，命题成立的前提下，推出当 nk1 时命题也成立，那么 可以断定这个命题对于 n 取第 1 个值后面的所有正整数成立 3数学归纳法证题的步骤 (1)(归纳奠基)证明当 n 取第一个值_时，命题成立 (2)(归纳递推)假设_(kn0，kN*
2、)时命题成立，证明当_时命题也成 立 只要完成这两个步骤就可以断定命题对从 n0开始的所有正整数 n 都成立 二、必明 2 个易误点 应用数学归纳法时应注意两点： 1数学归纳法证题时，误把第一个值 n0认为是 1，如证明多边形内角和定理(n2) 时， 初始值 n03. 2数学归纳法证题的关键是第二步，证题时应注意：必须利用归纳假设作基础；证 明中可利用综合法、分析法、反证法等方法；解题时要搞清从 nk 到 nk1 增加了哪些 项或减少了哪些项 【小题热身】【小题热身】 一、判断正误 1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)与正整数 n 有关的数学命题的证明只能用数学归纳法( )
3、 (2)数学归纳法的第一步 n0的初始值一定为 1.( ) (3)数学归纳法的两个步骤缺一不可( ) 二、教材改编 2下列结论能用数学归纳法证明的是( ) Axsin x，x(0，) Bexx1(xR) C11 2 1 22 1 2n 12 1 2 n1(nN*) Dsin()sin cos cos sin (，R) 3若 f(n)11 2 1 3 1 6n1(nN )，则 f(1)为( ) C11 2 1 3 1 4 1 5 D非以上答案 三、易错易混 4已知 f(n)1 n 1 n1 1 n2 1 n2，则( ) Af(n)中共有 n 项，当 n2 时，f(2)1 2 1 3 Bf(n)中
4、共有 n1 项，当 n2 时，f(2)1 2 1 3 1 4 Cf(n)中共有 n2n 项，当 n2 时，f(2)1 2 1 3 Df(n)中共有 n2n1 项，当 n2 时，f(2)1 2 1 3 1 4 5用数学归纳法证明：“11 2 1 3 1 2n11)”，由 nk(k1)不等式成立，推证 nk1 时，左边应增加的项的项数是_ 考点一 用数学归纳法证明等式自主练透型 1求证：1222n2nn12n1 6 . 2设 f(n)11 2 1 3 1 n(nN *)求证：f(1)f(2)f(n1)nf(n)1(n2， nN*) 悟 技法 用数学归纳法证明恒等式应注意 (1)明确初始值 n0的取
5、值并验证 nn0时等式成立 (2)由 nk 证明 nk1 时，弄清左边增加的项，且必须用上假设. 考点二 用数学归纳法证明不等式 互动讲练型 例 1 已知数列an，an0，a10，a2n1an11a2n.求证：当 nN*时，an1 且 x0，整数 p1 时，(1x)p1px. 考点三 归纳、猜想、证明互动讲练型 例 2 已知数列an的前 n 项和 Sn满足：Snan 2 1 an1，且 an0，nN *. (1)求 a1，a2，a3，并猜想an的通项公式； (2)证明通项公式的正确性 悟 技法 “归纳猜想证明”的一般环节 变式练(着眼于举一反三) 2已知数列an满足 Snan2n1. (1)写
6、出 a1，a2，a3，推测 an的表达式； (2)用数学归纳法证明所得结论 第七节第七节 数学归纳法数学归纳法 【知识重温】【知识重温】 一般结论 完全 不完全 nn0 nk nk1 【小题热身】【小题热身】 1答案：(1) (2) (3) 2解析：数学归纳法是用来证明与自然数有关的命题的一种方法，由此可知选项 C 符合 题意 答案：C 3解析：等式右边的分母是从 1 开始的连续的自然数，且最大分母为 6n1，则当 n1 时，最大分母为 5，故选 C. 答案：C 4解析：由 f(n)可知，共有 n2n1 项，且 n2 时，f(2)1 2 1 3 1 4. 答案：D 5解析：当 nk 时， 不等
7、式为 11 2 1 3 1 2k1k. 则 nk1 时，左边应为： 11 2 1 3 1 2k1 1 2k 1 2k1 1 2k 11 则增加的项数为 2k 112k12k. 答案：2k 课堂考点突破课堂考点突破 考点一 1证明：(1)当 n1 时，左边1， 右边11121 6 1， 左边右边，等式成立 (2)假设 nk(kN*，且 k1)时，等式成立，即 1222k2kk12k1 6 ， 则当 nk1 时， 1222k2(k1)2 kk12k1 6 (k1)2 k1k112k11 6 ， 所以当 nk1 时，等式仍然成立， 由(1)、(2)可知，对于nN*等式恒成立 2证明：(1)当 n2
8、时，左边f(1)1， 右边2 11 21 1， 左边右边，等式成立 (2)假设 nk(k2，kN*)时，结论成立，即 f(1)f(2)f(k1)kf(k)1， 那么，当 nk1 时， f(1)f(2)f(k1)f(k)kf(k)1f(k)(k1)f(k)k(k1) fk1 1 k1 k (k1)f(k1)(k1)(k1)f(k1)1， 当 nk1 时结论仍然成立 由(1)(2)可知：f(1)f(2)f(n1)nf(n)1(n2，nN*) 考点二 例 1 证明： (1)当 n1 时， 因为 a2是方程 a22a210 的正根， 所以 a2 51 2 ， 即 a1a2 成立 (2)假设当 nk(k
9、N*，k1)时，0ak0， 又 ak1ak0， 所以 ak2ak110， 所以 ak1ak2，即当 nk1 时，anan1也成立 综上，由(1)(2)可知 an12x，原不等式成立 (2)假设 pk(k2，kN*)时，不等式(1x)k1kx 成立 当 pk1 时，(1x)k 1(1x)(1x)k(1x)(1kx)1(k1)xkx21(k1)x. 所以当 pk1 时，原不等式也成立 综合(1)(2)可得，当 x1 且 x0 时，对一切整数 p1，不等式(1x)p1px 均成立 考点三 例 2 解析：(1)当 n1 时，由已知得 a1a1 2 1 a11，a 2 12a120. a1 31(a10
10、) 当 n2 时，由已知得 a1a2a2 2 1 a21， 将 a1 31 代入并整理得 a222 3a220. a2 5 3(a20)同理可得 a3 7 5. 猜想 an 2n1 2n1(nN*) (2)证明：由(1)知，当 n1,2,3 时，通项公式成立 假设当 nk(k3，kN*)时，通项公式成立， 即 ak 2k1 2k1. 由于 ak1Sk1Skak 1 2 1 ak1 ak 2 1 ak， 将 ak 2k1 2k1代入上式，整理得 a2k12 2k1ak120， ak1 2k3 2k1， 即 nk1 时通项公式成立 由可知对所有 nN*，an 2n1 2n1都成立 变式练 2 解析： (1)由 Snan2n1， 得 a13 2， a2 7 4， a3 15 8 ， 推测 an2 n11 2n 2 1 2n(nN *) (2)证明：an2 1 2n(nN *)， 当 n1 时，a12 1 21 3 2，结论成立 假设当 nk(k1，kN*)时结论成立，即 ak2 1 2k， 那么当 nk1 时，a1a2akak1ak12(k1)1， a1a2ak2k1ak， 2ak1ak2，2ak14 1 2k，ak12 1 2k 1， 当 nk1 时结论成立 由知对于任意正整数 n，结论都成立