1、第二节第二节 空间几何体的表面积和体积空间几何体的表面积和体积 【知识重温】【知识重温】 一、必记 4 个知识点 1柱、锥、台和球的侧面积和体积 面积 体积 圆柱 S侧_ V_ 圆锥 S侧_ V_ 1 3r 2 l2r2 圆台 S侧_ V1 3(S 上S下 S上S下)h 1 3(r 2 1r 2 2r1r2)h 直棱柱 S侧_ V_ 正棱锥 S侧_ V_ 正棱台 S侧_ V1 3(S 上S下 S上S下)h 球 S球面_ V_ 2.长方体的外接球 (1)球心：体对角线的交点 (2)半径：r a2b2c2 2 (a，b，c 为长方体的长、宽、高) 3正方体的外接球、内切球及与各条棱相切的球 (1)
2、外接球：球心是正方体中心；半径 r 3 2 a(a 为正方体的棱长) (2)内切球：球心是正方体中心；半径 ra 2(a 为正方体的棱长) (3)与各条棱都相切的球：球心是正方体中心；半径 r 2 2 a(a 为正方体的棱长) 4正四面体的外接球与内切球(正四面体可以看作是正方体的一部分) (1)外接球：球心是正四面体的中心；半径 r 6 4 a(a 为正四面体的棱长) (2)内切球：球心是正四面体的中心；半径 r 6 12a(a 为正四面体的棱长) 二、必明 3 个易误点 1求组合体的表面积时：组合体的衔接部分的面积问题易出错 2由三视图计算几何体的表面积与体积时，由于几何体的还原不准确及几
3、何体的结构特 征认识不准易导致失误 3易混侧面积与表面积的概念 【小题热身】【小题热身】 一、判断正误 1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)圆柱的一个底面积为 S， 侧面展开图是一个正方形， 那么这个圆柱的侧面积是2S.( ) (2)锥体的体积等于底面面积与高之积( ) (3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差( ) (4)球的体积之比等于半径之比的平方( ) 二、教材改编 2 如图， 八面体的每一个面都是正三角形， 并且 4 个顶点 A， B， C， D 在同一个平面内 如 果四边形 ABCD 是边长为 30 cm 的正方形，那么这个八面体的表面积为( ) A225 3
4、 cm2 B1 000 3 cm2 C1 800 3 cm2 D9002 000 3 cm2 3如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的体积之比为_ 三、易错易混 4圆柱的侧面展开图是边长为 6 和 4 的矩形，则圆柱的表面积为( ) A6(43) B8(31) C6(43)或 8(31) D6(41)或 8(32) 5 九章算术商功章有题：一圆柱形谷仓，高 1 丈 3 尺 31 3寸，容纳米 2 000 斛(1 丈 10 尺，1 尺10 寸，斛为容积单位，1 斛1.62 立方尺，3)，则圆柱底面圆周长约为( ) A1 丈 3 尺 B5 丈 4 尺 C9 丈 2 尺 D48 丈 6
5、 尺 四、走进高考 62020 全国卷埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四 棱锥以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面 三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( ) A. 51 4 B. 51 2 C. 51 4 D. 51 2 考点一 空间几何体的侧面积和表面积 自主练透型 12020 全国卷如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是( ) A64 2 B44 2 C62 3 D42 3 2某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为( ) A6 3 B62 3 C12 3 D122 3 32021 南昌市
6、NCS 模拟考试一个正三棱柱的正(主)视图如图，则该正三棱柱的侧面积 是( ) A16 B12 C8 D6 悟 技法 几何体表面积的求法 (1)多面体：其表面积是各个面的面积之和 (2)旋转体：其表面积等于侧面面积与底面面积的和 计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形来解决 (3)简单组合体：应搞清各构成部分，并注意重合部分的处理 (4)若以三视图的形式给出，解题的关键是对给出的三视图进行分析，从中发现几何体中各元 素间的位置关系及数量关系，得到几何体的直观图，然后根据条件求解. 考点二 空间几何体的体积自主练透型 42020 浙江卷某几何体的三视图(单位：c
7、m)如图所示，则该几何体的体积(单位：cm3) 是( ) A.7 3 B. 14 3 C3 D6 52020 江苏卷如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的已知螺 帽的底面正六边形边长为 2 cm，高为 2 cm，内孔半径为 0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是 _ cm3. 62021 惠州市高三调研考试试题某几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图均 是由三角形与半圆构成的，俯视图由圆与内接三角形构成，则该几何体的体积为( ) A. 2 3 1 6 B. 2 6 1 2 C. 2 6 1 6 D. 2 3 1 2 悟 技法 空间几何体体积的求法 (1)求简单几何体的体积若
8、所给的几何体为柱体、锥体或台体，则可直接利用公式求解 (2)求组合体的体积若所给定的几何体是组合体，不能直接利用公式求解，则常用转换法、 分割法、补形法等进行求解 (3)求以三视图为背景的几何体的体积应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件 求解. 考点三 空间几何体的外接球与内切球 互动讲练型 例 (1)2020 全国卷已知 A，B，C 为球 O 的球面上的三个点，O1为ABC 的外接 圆若O1的面积为 4，ABBCACOO1，则球 O 的表面积为( ) A64 B48 C36 D32 (2)2020 全国卷已知圆锥的底面半径为 1，母线长为 3，则该圆锥内半径最大的球的体 积为_ 悟
9、 技法 空间几何体与球接、切问题的求解方法 (1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截图，把空间问题转化为 平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解 (2)若球面上四点 P，A，B，C 构成的三条线段 PA，PB，PC 两两互相垂直，且 PAa，PBb， PCc，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用 4R2a2b2c2求解. 变式练(着眼于举一反三) 12021 深圳市普通高中高三年级统一考试如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线 画出的是某四面体的三视图，则该四面体的外接球的表面积为( ) A.32 3 3 B32 C36 D
10、48 2 2021 唐山市高三年级摸底考试在三棱锥 PABC 中， BACPBAPCA90 ， PBPC 2，点 P 到底面 ABC 的距离为 1，则三棱锥 PABC 的外接球的表面积为( ) A3 B. 3 2 C4 D.3 4 第二节第二节 空间几何体的表面积和体积空间几何体的表面积和体积 【知识重温】【知识重温】 2rh Sh r2h rl 1 3Sh 1 3r 2h (r 1r2)l Ch Sh 1 2Ch 1 3Sh 1 2(CC)h 4R 2 4 3R 3 【小题热身】【小题热身】 1答案：(1) (2) (3) (4) 2 解析： 每个三角形面积为S1 23015 3225 3，
11、 则表面积为S8225 31 800 3 (cm2)，故选 C. 答案：C 3解析：设球的半径为 R，则圆柱的底面半径为 R，高为 2R， V球4 3R 3，V 圆柱R2 2R2R3， V球V圆柱4R 3 3 2R32 3. 答案：2 3 4解析：设圆柱的底面半径为 r， 分两种情况若 62r，r3， 圆柱的表面积为：462r2242186(43) 若 42r，r2，圆柱的表面积为：462r224288(31)，故选 C. 答案：C 5解析：设圆柱底面半径为 r 尺，高为 h 尺，依题意，圆柱体积为 Vr2h2 0001.623r213.33，所以 r281，即 r9，所以圆柱底面圆周长为 2
12、r54,54 尺5 丈 4 尺，即圆柱底面圆周长约为 5 丈 4 尺，故选 B. 答案：B 6解析：如图，设正四棱锥的底面边长 BCa，侧面等腰三角形底边上的高 PMh，则 正四棱锥的高 POh2a 2 4 ， 以|PO|为边长的正方形面积为 h2a 2 4 ， 一个侧面三角形面积为1 2ah， h2a 2 4 1 2ah， 4h22aha20， 两边同除以 a2可得 4 h a 22 h a10， 解得h a 1 5 4 ， 又h a0， h a 51 4 .故选 C. 答案：C 课堂考点突破课堂考点突破 考点一 1解析：在正方体中还原几何体如图 几何体为正方体的一部分：三棱锥 PABC，
13、S表面积SPACSPABSPBCSBAC 1 22 22 2 3 2 1 222 1 222 1 2222 36.故选 C. 答案：C 2解析：由题图知，该三棱柱为正三棱柱，且底面是边长为 2 的正三角形，高为 2，其 表面积为 2 3 4 22322122 3.故选 D. 答案：D 3解析：由正(主)视图可知，该正三棱柱的底面是边长为 2 的正三角形，且该正三棱柱 的高为 2，所以该正三棱柱的侧面积为 32212.故选 B. 答案：B 考点二 4解析：由三视图可知，该几何体是三棱柱和三棱锥的组合体，结合图中数据可得该几 何体的体积 V1 2212 1 3 1 2211 7 3(cm 3)，故
14、选 A. 答案：A 5解析：正六棱柱的体积为 6 3 4 22212 3(cm3)，圆柱的体积为 0.522 2 (cm3)，则该六角螺帽毛坯的体积为 12 3 2 cm3. 答案：12 3 2 6 解析： 由三视图可知该几何体是一个半球上面有一个三棱锥， 其体积 V1 3 1 2111 1 2 4 3 2 2 3 2 6 1 6，故选 C. 答案：C 考点三 例 解析： (1)如图， 由题意知ABC 为等边三角形， 圆 O1的半径 r2， 即 O1B2， BC 2 3OO1， 在 RtOO1B 中，OB2OO21O1B216，球 O 的半径 ROB4，则 S球O4R264. 故选 A. (2
15、)如图为圆锥内球半径最大时的轴截面图 其中球心为 O，设其半径为 r，AC3，O1C1， AO1 AC2O1C22 2. OO1OMr，AOAO1OO12 2r， 又AMOAO1C，OM O1C AO AC，即 r 1 2 2r 3 ，故 3r2 2r，r 2 2 .该圆锥 内半径最大的球的体积 V4 3 2 2 3 2 3 . 答案：(1)A (2) 2 3 变式练 1解析：由三视图可知该四面体为 PBCD，如图，将它补形成棱长为 4 的正方体，则正 方体的体对角线 PC 就是该四面体的外接球的直径，所以外接球的直径 2R 342，所以 R 2 3，则该四面体的外接球的表面积为 4R24(2
16、 3)248，故选 D. 答案：D 2解析：通解 如图，令 O 为 PA 的中点，连接 OB，OC，因为PBAPCA90 ， 所以 OAOBOPOC，即 O 为三棱锥 PABC 的外接球的球心，又BAC90 ，所以点 O 在底面 ABC 上的射影为 BC 的中点 D，连接 AD，OD，因为点 P 到平面 ABC 的距离为 1， 所以 OD1 2.因为 PBPC 2，PBAPCA90 ，PAPA，所以PABPAC，所以 ABAC.令 ABACa，则 PA 2a2，BC 2a，所以 OA 2a2 2 ，AD 2 2 a，又 OD2 AD2OA2，所以1 4 1 2a 22a 2 4 ，所以 a1，所以三棱锥 PABC 的外接球的半径 ROA 3 2 ，所以三棱锥 PABC 的外接球的表面积 S4R23.故选 A. 优解 把三棱锥 PABC 放在正方体中，如图所示，因为点 P 到平面 ABC 的距离为 1， 所以正方体的棱长为 1.三棱锥 PABC 的外接球即此正方体的外接球，所以三棱锥 PABC 的外接球的半径 R1 2AP 3 2 ，所以三棱锥 PABC 的外接球的表面积 S4R23.故选 A. 答案：A