1、第四节第四节 直线直线、平面平行的判定和性质平面平行的判定和性质 【知识重温】【知识重温】 一、必记 3 个知识点 1直线与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 平面外一条直线与此 平面内的一条直线平 行，则该直线与此平 面平行(线线平行 线面平行) 因为_， _， _， 所以 l 性质定理 一条直线与一个平面 平行，则过这条直线 的任一平面与此平面 的交线与该直线平行 (简记为“线面平行 线线平行”) 因为_， _， _， 所以 lb 2.平面与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面内的两条相 交直线与另一个平面 平行，
2、则这两个平面 平行(简记为“线面 平行面面平行”) 因为_， _， _， _， _， 所以 性质定理 如果两个平行平面同 时和第三个平面相 交，那么它们的交线 平行 因为_， _， _， 所以 ab 3.平行关系中的两个重要结论 (1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若 a，a，则 . (2)平行于同一平面的两个平面平行，即若 ，则 . 二、必明 3 个易误点 1直线与平面平行的判定中易忽视“线在面内”这一关键条件 2面面平行的判定中易忽视“面内两条相交线”这一条件 3如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，易误认为这两个平面平行，实质上 也可以相交 【小题热身】【小题热身】 一、判断正
3、误 1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行( ) (2)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面( ) (3)若直线 a 与平面 内无数条直线平行，则 a.( ) (4)若直线 a平面 ，P，则过点 P 且平行于直线 a 的直线有无数条( ) (5)若平面 平面 ，直线 a平面 ，则直线 a平面 .( ) 二、教材改编 2如果直线 a，P，那么过点 P 且平行于直线 a 的直线( ) A只有一条，不在平面 内 B有无数条，不一定在平面 内 C只有一条，且在平面 内 D有无数条，一定在平面 内 3下
4、列命题中正确的是( ) A如果直线 ab，那么 a 平行于经过 b 的任何平面 B如果直线 a 和平面 满足 a，那么 a 与 内的任何直线平行 C如果直线 a，b 和平面 满足 a，b，那么 ab D如果直线 a，b 和平面 满足 ab，a，b，那么 b 三、易错易混 4 若平面 平面 ， 直线 a平面 ， 点 B， 则在平面 内且过 B 点的所有直线中( ) A不一定存在与 a 平行的直线 B只有两条与 a 平行的直线 C存在无数条与 a 平行的直线 D存在唯一与 a 平行的直线 5设 ， 为三个不同的平面，a，b 为直线，给出下列条件： a，b，a，b；，；，；a，b，ab. 其中能推出
5、 的条件是_(填上所有正确的序号) 四、走进高考 62019 全国卷设 ， 为两个平面，则 的充要条件是( ) A 内有无数条直线与 平行 B 内有两条相交直线与 平行 C、 平行于同一条直线 D、 垂直于同一平面 考点一 直线与平面平行的判定和性质 互动讲练型 例 1 2019 全国卷 如图，直四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA14，AB2，BAD60 ，E，M， N 分别是 BC，BB1，A1D 的中点 (1)证明：MN平面 C1DE； (2)求点 C 到平面 C1DE 的距离 悟 技法 1.判定线面平行的 4 种方法 (1)利用线面平行的定义(无公共点) (2)利用线面平
6、行的判定定理(a，b，aba) (3)利用面面平行的性质定理(，aa) (4)利用面面平行的性质(，a，a，aa) 2解决直线与平面平行的 3 个思维趋向 (1)利用线面平行的判定定理证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线 平行的直线 (2)构造平行的常见形式：三角形的中位线、平行四边形、利用比例关系证明两直线平行等 (3)在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平 行”到“线面平行”，再到“面面平行”，而在应用性质定理时，其顺序恰好相反. 变式练(着眼于举一反三) 12021 广东省七校联合体高三联考如图所示，四棱锥 PABCD 中，PA
7、底面 ABCD， PA2，ABC90 ，AB 3，BC1，AD2 3，CD4，E 为 CD 的中点 (1)求证：AE平面 PBC； (2)求三棱锥 CPBE 的体积 考点二 平面与平面平行的判定和性质 互动讲练型 例 2 2021 广东肇庆实验中学月考如图， 已知 ABCDA1B1C1D1是棱长为 2 的正方体 (1)求 B1C1D1ABCD 的体积； (2)求证：平面 AB1D1平面 C1BD. 悟 技法 判定平面与平面平行的 5 种方法 (1)面面平行的定义，即证两个平面没有公共点(不常用) (2)面面平行的判定定理(主要方法) (3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(客观题可用) (4
8、)利用平面平行的传递性，两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行(客观 题可用) (5)利用向量法，通过证明两个平面的法向量平行证得两平面平行. 变式练(着眼于举一反三) 22021 四川成都五校联考如图，在四棱锥 PABCD 中，平面 PAD平面 ABCD，PA PD，ABAD，PAPD，ADCD，BAD60 ，M、N 分别为 AD、PA 的中点 (1)证明：平面 BMN平面 PCD； (2)若 AD6，求三棱锥 PBMN 的体积 考点三 立体几何中的探索性问题 互动讲练型 例 3 2021 江西南昌重点中学段考如图， 四边形 ABCD 是梯形， 四边形 CDEF 是矩形， 且平面
9、ABCD平面 CDEF，BADCDA90 ，ABADDE1 2CD2，M 是线段 AE 上的动点 (1)试确定点 M 的位置，使 AC平面 MDF，并说明理由； (2)在(1)的条件下，求平面 MDF 将几何体 ADEBCF 分成上、下两部分的体积之比 悟 技法 1.平行关系中的探索性问题，主要是对点的存在性问题的探索，一般用转化方法求解，即先确 定点的位置，把问题转化为证明问题，而证明线面平行时又有两种转化方法，一是转化为线 线平行，二是转化为面面平行 2这类问题也可以按类似于分析法的格式书写步骤：从结论出发“要使成立”，“只需 使成立”. 变式练(着眼于举一反三) 3如图所示，在三棱柱 A
10、BCA1B1C1中，D 是棱 CC1的中点，问在棱 AB 上是否存在一 点 E，使 DE平面 AB1C1？若存在，请确定点 E 的位置；若不存在，请说明理由 第四节第四节 直线直线、平面平行的判定和性质平面平行的判定和性质 【知识重温】【知识重温】 la a l l l b a b abP a b a b 【小题热身】【小题热身】 1答案：(1) (2) (3) (4) (5) 2解析：过 a 与 P 作一平面 ，平面 与平面 的交线为 b，因为 a，所以 ab，在 同一个平面内，过点作已知直线的平行线有且只有一条，故选 C. 答案：C 3解析：A 中，a 可能在经过 b 的平面内，故 A 错
11、误；B 中，a 还可以与平面 内的直 线异面，故 B 错误；C 中，a 可以与直线 b 平行、异面、相交，故 C 错误；D 中，过直线 a 作平面 ，设 c，a，ac，又ab，bc，又 b，且 c，b，故 D 正确故选 D. 答案：D 4解析：当直线 a 在平面 内且过 B 点时，不存在与 a 平行的直线，故选 A. 答案：A 5解析：在条件或条件中， 或 与 相交；由 ，条件满足； 在中，a，abb，又 b，从而 ，满足 答案： 6解析：A、C、D 选项中 与 可能相交故选 B. 答案：B 课堂考点突破课堂考点突破 考点一 例 1 解析：(1)证明：连接 B1C，ME. 因为 M，E 分别为
12、 BB1，BC 的中点， 所以 MEB1C，且 ME1 2B1C. 又因为 N 为 A1D 的中点，所以 ND1 2A1D. 由题设知 A1B1綊 DC，可得 B1C 綊 A1D，故 ME 綊 ND， 因此四边形 MNDE 为平行四边形，MNED. 又 MN平面 C1DE，所以 MN平面 C1DE. (2)过 C 作 C1E 的垂线，垂足为 H. 由已知可得 DEBC，DEC1C， 所以 DE平面 C1CE， 故 DECH. 从而 CH平面 C1DE， 故 CH 的长即为 C 到平面 C1DE 的距离 由已知可得 CE1，C1C4，所以 C1E 17， 故 CH4 17 17 . 从而点 C
13、到平面 C1DE 的距离为4 17 17 . 变式练 1解析：(1)AB 3，BC1，ABC90 ， AC2，BCA60 . 在ACD 中，AD2 3，AC2，CD4， AC2AD2CD2，CAD90 ，ACD 是直角三角形 又 E 为 CD 的中点，AE1 2CDCE2， ACE 是等边三角形，CAE60 ， CAE60 BCA，BCAE. 又 AE平面 PBC，BC平面 PBC，AE平面 PBC. (2)PA底面 ABCD，PA底面 BCE， PA 为三棱锥 PBCE 的高 BCA60 ，ACD60 ，BCE120 . 又 BC1，CE2， SBCE1 2BCCEsinBCE 1 212
14、3 2 3 2 ， V三棱锥CPBEV三棱锥PBCE1 3SBCEPA 1 3 3 2 2 3 3 . 考点二 例 2 解析：(1)设正方体的体积为 V1， 则由题图可知 B1C1D1ABCD 的体积 VV1VAA1B1D12221 3 1 22228 4 3 20 3 . (2)证明：ABCDA1B1C1D1为正方体，D1C1A1B1，D1C1A1B1， 又 ABA1B1，ABA1B1，D1C1AB，D1C1AB， 四边形 D1C1BA 为平行四边形， D1AC1B，又 D1A平面 C1BD，C1B平面 C1BD， D1A平面 C1BD.同理，D1B1平面 C1BD， 又 D1AD1B1D1
15、，平面 AB1D1平面 C1BD. 变式练 2解析：(1)证明：连接 BD. ABAD，BAD60 ，ABD 为正三角形 M 为 AD 的中点，BMAD. ADCD，CD，BM平面 ABCD，BMCD. 又 BM平面 PCD，CD平面 PCD，BM平面 PCD. M，N 分别为 AD，PA 的中点，MNPD. 又 MN平面 PCD，PD平面 PCD， MN平面 PCD. 又 BM，MN平面 BMN，BMMNM， 平面 BMN平面 PCD. (2)在(1)中已证 BMAD. 平面 PAD平面 ABCD，BM平面 ABCD， BM平面 PAD. 又 AD6，BAD60 ，BM3 3. M，N 分别
16、为 AD，PA 的中点，PAPD 2 2 AD3 2， SPMN1 4SPAD 1 4 1 2(3 2) 29 4. 三棱锥 PBMN 的体积 VVBPMN1 3SPMN BM 1 3 9 43 3 9 3 4 . 考点三 例 3 解析： (1)当 M 为线段 AE 的中点时，AC平面 MDF. 证明如下： 如图，连接 CE，交 DF 于 N，连接 MN， 因为 M，N 分别是 AE，CE 的中点， 所以 MNAC. 因为 MN平面 MDF，AC平面 MDF， 所以 AC平面 MDF. (2)将几何体 ADEBCF 补成三棱柱 ADEB1CF， 则三棱柱 ADEB1CF 的体积 VSADE C
17、D1 22248， VADEBCFVADEB1CFVFBB1C81 3 1 222 2 20 3 . 三棱锥 FDEM 的体积 VFDEM1 3 1 2 2 2 4 4 3， 故上、下两部分的体积之比为4 3 20 3 4 3 变式练 3解析：解法一 假设在棱 AB 上存在点 E，使得 DE平面 AB1C1， 如图，取 BB1的中点 F， 连接 DF，EF，ED， 则 DFB1C1， 又 DF平面 AB1C1， B1C1平面 AB1C1， DF平面 AB1C1， 又 DE平面 AB1C1，DEDFD， 平面 DEF平面 AB1C1， EF平面 DEF，EF平面 AB1C1， 又EF平面 ABB
18、1，平面 ABB1平面 AB1C1AB1， EFAB1， 点 F 是 BB1的中点， 点 E 是 AB 的中点 即当点 E 是 AB 的中点时，DE平面 AB1C1. 解法二 存在点 E，且 E 为 AB 的中点时，DE平面 AB1C1. 证明如下： 如图，取 BB1的中点 F，连接 DF， 则 DFB1C1. DF平面 AB1C1，B1C1平面 AB1C1， DF平面 AB1C1. AB 的中点为 E，连接 EF，ED， 则 EFAB1. EF平面 AB1C1，AB1平面 AB1C1， EF平面 AB1C1. DFEFF， 平面 DEF平面 AB1C1. 而 DE平面 DEF，DE平面 AB1C1.