1、第一节第一节 直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角与斜率、直线的方程直线的方程 【知识重温】【知识重温】 一、必记 2 个知识点 1直线的倾斜角和斜率 (1)直线的倾斜角的定义 当直线 l 与 x 轴相交时，我们取 x 轴作为基准，x 轴_与直线 l_之间所 成的_ 叫做直线的倾斜角当直线和 x 轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为 0 ，因此，直线倾斜角 的取值范围是_. (2)斜率的定义 倾斜角不是 90 的直线，它的倾斜角的_叫做这条直线的斜率，常用 k 表示，即 _.倾斜角是 90 的直线，斜率 k 不存在 (3)斜率公式 当直线 l 经过两点 P1(x1，y1)、P2(x2，y2)时，l
2、的斜率 k_. (4)直线的方向向量 经过两点 P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的直线的方向向量的坐标可记为_，当直线 的斜率 k 存在时，方向向量的坐标可记为_. 2直线方程的几种基本形式 名称 方程 适用范围 斜截式 _ 不能表示垂直于 x 轴的直线 点斜式 _ 不能表示垂直于 x 轴的直线 两点式 _ 不能表示垂直于坐标轴的直线 截距式 _ 不能表示垂直于坐标轴及过原点的直线 一般式 _ 能表示平面上任何直线 二、必明 4 个易误点 1利用两点式计算斜率时易忽视 x1x2时斜率 k 不存在的情况 2用直线的点斜式求方程时，在斜率 k 不明确的情况下，注意分 k 存在与不存在讨论，
3、否则会造成失误 3直线的截距式中易忽视截距均不为 0 这一条件，当截距为 0 时可用点斜式 4由一般式 AxByC0 确定斜率 k 时易忽视判断 B 是否为 0，当 B0 时，k 不存在； 当 B0 时，kA B. 【小题热身】【小题热身】 一、判断正误 1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率( ) (2)过点 M(a，b)，N(b，a)(ab)的直线的倾斜角是 45 .( ) (3)直线的倾斜角越大，斜率 k 就越大( ) (4)经过点 P(x0，y0)的直线都可以用方程 yy0k(xx0)表示( ) (5)经过任意两个不同的点 P1
4、(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(x x1)(y2y1)表示( ) 二、教材改编 2若过点 M(2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于 1，则 m 的值为( ) A1 B4 C1 或 3 D1 或 4 3已知ABC 的三个顶点坐标为 A(1,2)，B(3,6)，C(5,2)，M 为 AB 的中点，N 为 AC 的 中点，则中位线 MN 所在直线的方程为( ) A2xy120 B2xy120 C2xy80 D2xy80 三、易错易混 4直线 3xya0(a 为常数)的倾斜角是( ) A30 B60 C120 D150 5倾斜角为 135 ，在 y 轴上的
5、截距为1 的直线方程是( ) Axy10 Bxy10 Cxy10 Dxy10 6经过两点 M(1，2)，N(3,4)的直线方程为_ 考点一 直线的倾斜角与斜率自主练透型 12021 河北衡水模拟过不重合的 A(m22，m23)，B(3mm2,2m)两点的直线 l 的倾 斜角为 45 ，则 m 的值为( ) A1 B2 C1 或 2 D1 或2 2直线 x(a21)y10 的倾斜角的取值范围是( ) A. 0， 4 B. 3 4 ， C. 0， 4 2， D. 4， 2 3 4 ， 3若直线 l 经过点 A(1,2)，在 x 轴上的截距的取值范围是(3,3)，则其斜率的取值范围是 _ 悟悟 技法
6、技法 1.斜率的求法 (1)定义法： 若已知直线的倾斜角 或 的某种三角函数值， 一般根据 ktan 求斜率 (90 ) (2)公式法：若已知直线上两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根据斜率公式 ky2y1 x2x1(x1x2)求斜 率 2斜率取值范围的三种求法 (1)数形结合法：作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调 性确定 (2)构建不等式法：利用不等式所表示的平面区域的性质，转化为线线、线面的位置关系，构 造不等式求范围 (3)利用斜率关于倾斜角的函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可. 考点二 直线的方程互动讲练型 例 1 根据所给条件求直线
7、的方程： (1)直线过点(4,0)，倾斜角的正弦值为 10 10 ； (2)直线过点(3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为 12. 悟 技法 求直线方程的关注点 在求直线方程时，应选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件用斜截 式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能 表示与坐标轴垂直或经过原点的直线故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断 截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况. 变式练(着眼于举一反三) 1求适合下列条件的直线方程 (1)过点 A(1，3)，斜率是直线 y3x 的斜率的1 4倍； (2)经过点 P(3,2
8、)，且在两坐标轴上的截距相等 考点三 直线方程的综合应用分层深化型 考向一：由直线方程求参数问题 例 2 若直线 x2yb0 与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于 1，那么 b 的取值 范围是( ) A2,2 B(，22，) C2,0)(0,2 D(，) 考向二：与直线方程有关的最值问题 例 3 直线 l 过点 P(1,4)，分别交 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴于 A，B 两点，O 为坐标 原点，当|OA|OB|最小时，求 l 的方程 悟 技法 直线方程的综合应用 (1)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过两条定直线交点的直线系， 即能够看出“动中有定” (2)求解与直线
9、方程有关的最值问题，先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求 解最值. 变式练(着眼于举一反三) 2在本例 3 条件下，若|PA| |PB|最小，求 l 的方程 第九章第九章 解析几何解析几何 第一节第一节 直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角与斜率、直线的方程直线的方程 【知识重温】【知识重温】 正向 向上方向 最小正角 0 180 正切值 ktan y2y1 x2x1 (其中 x1x2) (x2x1， y2y1) (1， k) ykxb yy0k(xx0) yy1 y2y1 xx1 x2x1 x a y b1 AxByC0(A 2B20) 【小题热身】【小题热身】 1答案：(1) (2)
10、 (3) (4) (5) 2解析：由题意得 m4 2m1，解得 m1.故选 A. 答案：A 3解析：由中点坐标公式得 M(2,4)，N(3,2)，则 kMN24 322，MN 所在直线的方 程为：y22(x3)，即 2xy80.故选 C. 答案：C 4解析：由直线方程得 y 3xa，所以斜率 k 3， 设倾斜角为 . 所以 tan 3，又因为 0 180 ，所以 60 .故选 B. 答案：B 5解析：直线的斜率为 ktan 135 1，所以直线方程为 yx1，即 xy10. 故选 D. 答案：D 6解析：经过两点 M(1，2)，N(3,4)的直线方程为y2 42 x1 31，即 3x2y10.
11、 答案：3x2y10 课堂考点突破课堂考点突破 考点一 1 解析： 过 A(m22， m23)， B(3mm2,2m)两点的直线 l 的斜率 k m232m m223mm2. 直线 l 的倾斜角为 45 ， k m232m m223mm21，解得 m1 或 m2. 当 m1 时，A、B 重合，故舍去，m2.故选 B. 答案：B 2解析：直线的斜率 k 1 a21，1k0，则倾斜角的范围是 3 4 ， .故选 B. 答案：B 3解析：设直线 l 的斜率为 k， 则直线方程为 y2k(x1)，在 x 轴上的截距为 12 k. 令312 k3，解得 k 1 2. 答案：(，1) 1 2， 考点二 例
12、 1 解析：(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式 设倾斜角为 ，则 sin 10 10 (0) ktan 1 3， 故所求直线方程为 y 1 3(x4)， 即 x3y40 或 x3y40. (2)由题设知截距不为 0，设直线方程为x a y 12a1，又直线过点(3,4)， 从而3 a 4 12a1，解得 a4 或 a9. 故所求直线方程为 4xy160 或 x3y90. 变式练 1解析：(1)设所求直线的斜率为 k，依题意 k1 43 3 4. 又直线经过点 A(1，3)， 因此所求直线方程为 y33 4(x1)， 即 3x4y150. (2)由题意，所求直线的斜率 k 存在且
13、k0， 设直线方程为 y2k(x3)， 令 y0，得 x32 k，令 x0，得 y23k， 由已知 32 k23k，解得 k1 或 k 2 3， 直线 l 的方程为 y2(x3)或 y22 3(x3)， 即 xy50 或 2x3y0. 考点三 例 2 解析：令 x0，得 yb 2，令 y0，得 xb，所以所求的三角形面积为 1 2 b 2 |b| 1 4b 2，且 b0，因为1 4b 21，所以 b24，所以 b 的取值范围是2,0)(0,2故选 C. 答案：C 例 3 解析：解法一 依题意，l 的斜率存在，且斜率为负， 设直线 l 的斜率为 k， 则直线 l 的方程为 y4k(x1)(k0)
14、 令 y0，可得 A 14 k，0 ； 令 x0，可得 B(0,4k) |OA|OB| 14 k (4k) 5 k4 k 5 k 4 k 549. 当且仅当k 4 k且 k0， 即 k2 时，|OA|OB|取最小值 这时 l 的方程为 2xy60. 解法二 依题意，l 的截距都存在，且不为 0， 设 l 的方程为x a y b1 过 P(1,4)，1 a 4 b1， |OA|OB|ab(ab) 1 a 4 b 5b a 4a b 52 49， 当且仅当 a3，b6 时，取最小值 这时 l 的方程为 2xy60. 变式练 2解析：|PA| |PB| 4 k 216 1k2 4 k(1k 2)4 1 k k 8.(k0) 当且仅当 1 kk 且 k0， 即 k1 时，|PA| |PB|取最小值 这时 l 的方程为 xy50.