1、第三节第三节 圆的方程圆的方程 【知识重温】【知识重温】 一、必记 3 个知识点 1圆的标准方程 (xa)2(yb)2r2，方程表示圆心为_，半径为_的圆 2圆的一般方程 对于方程 x2y2DxEyF0 (1)当 D2E24F0 时，表示圆心为_，半径为_ 的圆； (2)当 D2E24F0 时，表示一个点_； (3)当 D2E24F0 时，它不表示任何图形 3点与圆的位置关系 圆的标准方程(xa)2(yb)2r2，圆心 A(a，b)，半径 r，若点 M(x0，y0)在圆上，则(x0 a)2(y0b)2_； 若点 M(x0，y0)在圆外，则(x0a)2(y0b)2_； 若点 M(x0，y0)在圆
2、内，则(x0a)2(y0b)2_. 二、必明 1 个易误点 对于方程 x2y2DxEyF0 表示圆时易忽视 D2E24F0 这一成立条件 【小题热身】【小题热身】 一、判断正误 1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径( ) (2)方程 x2y2a2表示半径为 a 的圆( ) (3)方程 x2y24mx2y5m0 表示圆( ) 二、教材改编 2过点 A(1，1)，B(1,1)，且圆心在直线 xy20 上的圆的方程是( ) A(x3)2(y1)24 B(x3)2(y1)24 C(x1)2(y1)24 D(x1)2(y1)24 3ABC 的三个顶点分别为
3、 A(1,5)，B(2，2)，C(5,5)，则其外接圆的方程为 _ 三、易错易混 4若方程 x2y2mx2y30 表示圆，则 m 的取值范围是( ) A(， 2)( 2，) B(，2 2)(2 2，) C(， 3)( 3，) D(，2 3)(2 3，) 5若点(1,1)在圆(xa)2(ya)24 的内部，则实数 a 的取值范围是( ) A1a1 B0a1 或 a0，解得 m2 2. 答案：B 5解析：因为点(1,1)在圆内，所以(1a)2(1a)24，即1a1，故选 A. 答案：A 6解析：由题意可知，圆心为(1,4)，所以圆心到直线的距离 d|a41| a212 1，解得 a 4 3，故选
4、A. 答案：A 课堂考点突破课堂考点突破 考点一 1解析：因为点 C 与点(2,0)关于点(1,0)对称，故由中点坐标公式可得 C(0,0)，所以所求 圆的标准方程为 x2y21. 答案：A 2解析：因为圆 C 经过(1,0)，(3,0)两点，所以圆心在直线 x2 上，又圆与 y 轴相切，所 以半径 r2，设圆心坐标为(2，b)，则(21)2b24，b23，b 3，选 D. 答案：D 3解析：由题意设圆心坐标为(a，a)，则有|aa| 2 |aa4| 2 ，即|a|a2|， 解得 a1.故圆心坐标为(1，1)，半径 r 2 2 2，所以圆 C 的标准方程为(x1) 2(y1)2 2.故选 B.
5、 答案：B 考点二 例 1 解析：原方程可化为(x2)2y23，表示以(2,0)为圆心， 3为半径的圆.y x的几何意 义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设y xk，即 ykx. 当直线ykx与圆相切时(如图)， 斜率k取最大值和最小值， 此时|2k0| k21 3， 解得k 3. 所以y x的最大值为 3，最小值为 3. 答案： 3 3 例 2 解析：(1)由已知可得线段 AB 是圆 x2y21 的直径，且|AB|2，APB90 . |PA|2|PB|2|AB|24， 由基本不等式可得 |PA|PB| 2 2|PA| 2|PB|2 2 2，当且仅当|PA|PB|时取等号，|PA| |PB|2
6、 2. 即|PA|PB|的最大值是 2 2. (2)由题意知 PA (2x，y)，PB(2x，y)， 所以 PA PBx2y24. 由于点 P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程 x2(y3)21，故 x2(y3)21， 所以 PA PB(y3)21y246y12. 由圆的方程 x2(y3)21 知 2y4， 所以当 y4 时，PA PB的值最大，最大值为 12. 答案：(1)B (2)12 变式练 1解析： x2y22y0 可化为 x2(y1)21，则圆 C 为以(0,1)为圆心，1 为半径的圆如图，过 圆心 C 向直线 AB 作垂线交圆于点 P，连接 BP，AP，这时ABP 的面积最小，
7、直线 AB 的方 程为x 4 y 31，即 3x4y120，圆心 C 到直线 AB 的距离 d 16 5 ，又|AB| 32425， 所以ABP 的面积的最小值为1 25 16 5 1 11 2 . 答案：B 2解析：由题意，得y1 x 表示过点 A(0，1)和圆(x2)2(y1)21 上的动点(x，y)的 直线的斜率当且仅当直线与圆相切时，直线的斜率分别取得最大值和最小值设切线方程 为 ykx1，即 kxy10，则|2k2| k211，解得 k 4 7 3 ，所以 zmax4 7 3 ，zmin4 7 3 . 答案：4 7 3 4 7 3 考点三 例 3 解析：(1)设 AP 的中点为 M(
8、x，y)， 由中点坐标公式可知， P 点坐标为(2x2,2y) 因为 P 点在圆 x2y24 上， 所以(2x2)2(2y)24. 故线段 AP 中点的轨迹方程为(x1)2y21. (2)设 PQ 的中点为 N(x，y)， 在 RtPBQ 中，|PN|BN|， 设 O 为坐标原点，连接 ON(图略)，则 ONPQ， 所以|OP|2|ON|2|PN|2|ON|2|BN|2， 所以 x2y2(x1)2(y1)24. 故线段 PQ 中点的轨迹方程为 x2y2xy10. 变式练 3解析：(1)设顶点 C(x，y)，因为 ACBC，且 A，B，C 三点不共线，所以 x3 且 x 1. 又 kAC y x
9、1，kBC y x3，且 kAC kBC1， 所以 y x1 y x31，化简得 x 2y22x30. 因此，直角顶点 C 的轨迹方程为 x2y22x30(x3 且 x1) (2)设点 M(x，y)，点 C(x0，y0)，因为 B(3,0)，M 是线段 BC 的中点，由中点坐标公式得 x x03 2 (x3 且 x1)，yy00 2 ，于是有 x02x3，y02y. 由(1)知，点 C 在圆(x1)2y24(x3 且 x1)上运动， 将 x0，y0代入该方程得(2x4)2(2y)24， 即(x2)2y21. 因此动点 M 的轨迹方程为(x2)2y21(x3 且 x1) 悟悟 技法技法 变式练(着眼于举一反三) 3已知直角三角形 ABC 的斜边为 AB，且 A(1,0)，B(3,0)，求： (1)直角顶点 C 的轨迹方程； (2)直角边 BC 中点 M 的轨迹方程