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2022届高三统考数学(文科)人教版一轮复习学案:9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系

1、第四节第四节 直线与圆直线与圆、圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系 【知识重温】【知识重温】 一、必记 4 个知识点 1直线与圆的位置关系 判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法: (1)代数法:利用判别式 判别式 b24ac 0 0 0 (2)几何法:利用圆心到直线的距离 d 和圆半径 r 的大小关系 dr_;dr _;dr_. 2圆的切线方程 若圆的方程为 x2y2r2,点 P(x0,y0)在圆上,则过 P 点且与圆 x2y2r2相切的切线方 程为_. 3直线与圆相交 直线与圆相交时,若 l 为弦长,d 为弦心距,r 为半径,则有 r2_,即 l 2 r2d2,求弦长或已知弦长求解问题,一般

2、用此公式 4两圆位置关系的判断 两圆(xa1)2(yb1)2r21(r0),(xa2)2(yb2)2r22(r20)的圆心距为 d,则 (1)dr1r2两圆_; (2)dr1r2两圆_; (3)|r1r2|dr1r2(r1r2)两圆_; (4)d|r1r2|(r1r2)两圆_; (5)0d|r1r2|(r1r2)两圆_. 二、必明 2 个易误点 1对于圆的切线问题,尤其是圆外一点引圆的切线,易忽视切线斜率 k 不存在情形 2两圆相切问题易忽视分两圆内切与外切两种情形 【小题热身】【小题热身】 一、判断正误 1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)“k1”是“直线 xyk0 与圆

3、 x2y21 相交”的必要不充分条件( ) (2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解,则两圆外切( ) (3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和,则两圆相交( ) (4)圆 C1:x2y22x2y20 与圆 C2:x2y24x2y10 的公切线有且仅有 2 条( ) 二、教材改编 2若直线 xy10 与圆(xa)2y22 有公共点,则实数 a 的取值范围是( ) A3,1 B1,3 C3,1 D(,31,) 3圆(x2)2y24 与圆(x2)2(y1)29 的位置关系为( ) A内切 B相交 C外切 D相离 三、易错易混 4已知圆 C:x2y29,过点 P(3,1)作圆 C 的切线,则

4、切线方程为_ 5若直线过点 P 3,3 2 且被圆 x2y225 截得的弦长是 8,则该直线的方程为 _ 四、走进高考 62020 天津卷已知直线 x 3y80 和圆 x2y2r2(r0)相交于 A,B 两点若|AB| 6,则 r 的值为_ 考点一 直线与圆的位置关系自主练透型 12021 山东新泰一中月考直线 axbyab0(a2b20)与圆 x2y220 的位置 关系为( ) A相离 B相切 C相交或相切 D相交 22021 大连市双基测试圆 x2y21 与直线 ykx2 没有公共点的充要条件是 _ 悟 技法 判断直线与圆的位置关系常见的方法 (1)几何法:利用 d 与 r 的关系 (2)

5、代数法:联立方程之后利用 判断 (3)点与圆的位置关系法:若直线恒过定点且定点在圆内,可判断直线与圆相交 上述方法中最常用的是几何法,点与圆的位置关系法适用于动直线问题. 考点二 圆的切线与弦长问题互动讲练型 考向一:直线与圆的相切问题 例 1 2020 浙江卷已知直线 ykxb(k0)与圆 x2y21 和圆(x4)2y21 均相切, 则 k_,b_. 考向二:与圆有关的弦长问题 例 2 2021 遵义航天高级中学月考直线 l:xay2 被圆 x2y24 所截得的弦长为 2 3,则直线 l 的斜率为( ) A. 3 B 3 C. 3 3 D 3 3 悟悟 技法技法 1.求过圆上一点(x0,y0

6、)的切线方程的方法 先求切点与圆心连线的斜率 k,若 k 不存在,则结合图形可直接写出切线方程为 yy0;若 k 0,则结合图形可直接写出切线方程为 xx0;若 k 存在且 k0,则由垂直关系知切线的斜 率为1 k,由点斜式可写出切线方程 2求过圆外一点(x0,y0)的圆的切线方程的两种方法 几 何 法 当斜率存在时,设为 k,则切线方程为 yy0k(xx0),即 kxyy0kx0 0.由圆心到直线的距离等于半径,即可求出 k 的值,进而写出切线方程 代 数 法 当斜率存在时,设为 k,则切线方程为 yy0k(xx0),即 ykxkx0y0, 代入圆的方程,得到一个关于 x 的一元二次方程,由

7、 0,求得 k,切线方 程即可求出 3.求直线与圆相交时弦长的两种方法 (1)几何法:直线 l 与圆 C 交于 A,B 两点,设弦心距为 d,圆 C 的半径为 r,则|AB|2 r2d2. (2)代数法:将直线方程与圆的方程联立,设直线与圆的交点分别是 A(x1,y1),B(x2,y2) 则|AB|x1x22y1y22 1k2|x1x2|11 k2|y1y2|(直线 l 的斜率 k 存在). 变式练(着眼于举一反三) 12021 安徽皖东四校联考若直线 l:4xay10 与圆 C:(x2)2(y2)24 相切, 则实数 a 的值为( ) A.15 28 B. 28 15 C.15 28或 1

8、D. 28 15或 1 2.2021 湖北八校联考已知圆 C 的圆心在 y 轴上,点 M(3,0)在圆 C 上,且直线 2xy1 0 经过线段 CM 的中点,则圆 C 的标准方程是( ) Ax2(y3)218 Bx2(y3)218 Cx2(y4)225 Dx2(y4)225 考点三 圆与圆的位置关系互动讲练型 例 3 已知两圆 C1: x2y22x6y10 和 C2:x2y210 x12y450. (1)求证:圆 C1和圆 C2相交; (2)求圆 C1和圆 C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长 悟 技法 1.判断两圆位置关系的方程 常用几何法,即用两圆圆心距与两圆半径和与差的绝对值的关系,一般

9、不用代数法 2两圆公共弦长的求法 两圆公共弦长,先求出公共弦所在直线的方程,在其中一圆中,由弦心距 d,半弦长l 2, 半径 r 所在线段构成直角三角形,利用勾股定理求解. 变式练(着眼于举一反三) 32021 安徽黄山五校联考已知圆 M:x2y22ay0(a0)截直线 xy0 所得线段的 长度是 2 2,则圆 M 与圆 N:(x1)2(y1)21 的位置关系是( ) A内切 B相交 C外切 D相离 4若圆(x1)2y2m 与圆 x2y24x8y160 内切,则实数 m 的值为( ) A1 B11 C121 D1 或 121 第四节第四节 直线与圆直线与圆、圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系 【

10、知识重温】【知识重温】 相交 相切 相离 相交 相切 相离 0 x x 0 y y r2 d2 l 2 2 外离 外切 相交 内切 内含 【小题热身】【小题热身】 1答案:(1) (2) (3) (4) 2解析:由题意可得,圆的圆心为(a,0),半径为 2, |a01| 1212 2,即|a1|2,解得3a1. 答案:C 3解析:两圆圆心为(2,0),(2,1),半径分别为 2 和 3,圆心距 d 4212 17. 32d0,所以 r5. 答案:5 课堂考点突破课堂考点突破 考点一 1解析:由已知得,圆的圆心为(0,0),半径为 2,圆心到直线的距离为 |ab| a2b2,其中(a b)22(

11、a2b2),所以圆心到直线的距离 |ab| a2b2 2,所以直线与圆相交或相切,故选 C. 答案:C 2解析:解法一 将直线方程代入圆方程, 得(k21)x24kx30, 直线与圆没有公共点的充要条件是 16k212(k21)0, 解得 k( 3, 3) 解法二 圆心(0,0)到直线 ykx2 的距离 d 2 k21, 直线与圆没有公共点的充要条件是 d1,即 2 k211, 解得 k( 3, 3) 答案:k( 3, 3) 考点二 例 1 解析:解法一:因为直线 ykxb(k0)与圆 x2y21,圆(x4)2y21 都相切, 所以 |b| 1k2 |4kb| 1k21,得 k 3 3 ,b2

12、 3 3 . 解法二:因为直线 ykxb(k0)与圆 x2y21,圆(x4)2y21 都相切,所以直线 y kxb 必过两圆心连线的中点(2,0),所以 2kb0.设直线 ykxb 的倾斜角为 ,则 sin 1 2,又 k0,所以 6,所以 ktan 6 3 3 ,b2k2 3 3 . 答案: 3 3 2 3 3 例 2 解析:圆心(0,0)到直线 l:xay20 的距离 d 2 1a2,因为直线 l 被圆 x 2y2 4 所截得的弦长为 2 3,所以 2 1a2 2 2 3 2 24,解得 a 3,所以直线 l 的斜率为 1 a 3 3 . 答案:D 变式练 1解析:根据题意,得圆心 C(2

13、,2)到直线 l:4xay10 的距离 d |24a21| 16a2 2,解得 a15 28.故选 A. 答案:A 2解析:设圆 C 的圆心坐标为(0,b),则线段 CM 的中点坐标为 3 2, b 2 ,因为直线 2xy 10 经过线段 CM 的中点,所以 23 2 b 210,解得 b4,所以圆 C 的圆心坐标为(0,4), 半径 r|CM| 0324025,所以圆 C 的标准方程是 x2(y4)225,故选 C. 答案:C 考点三 例 3 解析:(1)证明:圆 C1的圆心为 C1(1,3),半径 r1 11,圆 C2的圆心为 C2(5,6),半 径 r24,两圆圆心距 d|C1C2|5,

14、r1r2 114,|r1r2|4 11,|r1r2|dr1r2, 圆 C1和 C2相交 (2)圆 C1和圆 C2的方程左、右两边分别相减,得 4x3y230, 两圆的公共弦所在直线的方程为 4x3y230. 圆心 C2(5,6)到直线 4x3y230 的距离|201823| 169 3,故公共弦长为 2 169 2 7. 变式练 3解析:将圆 M 的方程化为 x2(ya)2a2,则圆心 M(0,a),半径 r1a.M 到直线 x y0 的距离 d a 2,则 a 2 22a2,得 a2,故 M(0,2),r 12.又圆 N 的圆心 N(1,1),半 径 r21,所以|MN| 2,而|r1r2|MN|r1r2|,所以两圆相交故选 B. 答案:B 4解析:圆(x1)2y2m 的圆心为(1,0),半径为 m;圆 x2y24x8y160,即 (x2)2(y4)236,故圆心为(2,4),半径为 6.由两圆内切得 3242| m6|,解得 m 1 或 121.故选 D. 答案:D