1、第四节第四节 直线与圆直线与圆、圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系 【知识重温】【知识重温】 一、必记 4 个知识点 1直线与圆的位置关系 判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法： (1)代数法：利用判别式 判别式 b24ac 0 0 0 (2)几何法：利用圆心到直线的距离 d 和圆半径 r 的大小关系 dr_；dr _；dr_. 2圆的切线方程 若圆的方程为 x2y2r2，点 P(x0，y0)在圆上，则过 P 点且与圆 x2y2r2相切的切线方 程为_. 3直线与圆相交 直线与圆相交时，若 l 为弦长，d 为弦心距，r 为半径，则有 r2_，即 l 2 r2d2，求弦长或已知弦长求解问题，一般
2、用此公式 4两圆位置关系的判断 两圆(xa1)2(yb1)2r21(r0)，(xa2)2(yb2)2r22(r20)的圆心距为 d，则 (1)dr1r2两圆_； (2)dr1r2两圆_； (3)|r1r2|dr1r2(r1r2)两圆_； (4)d|r1r2|(r1r2)两圆_； (5)0d|r1r2|(r1r2)两圆_. 二、必明 2 个易误点 1对于圆的切线问题，尤其是圆外一点引圆的切线，易忽视切线斜率 k 不存在情形 2两圆相切问题易忽视分两圆内切与外切两种情形 【小题热身】【小题热身】 一、判断正误 1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)“k1”是“直线 xyk0 与圆
3、 x2y21 相交”的必要不充分条件( ) (2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切( ) (3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交( ) (4)圆 C1：x2y22x2y20 与圆 C2：x2y24x2y10 的公切线有且仅有 2 条( ) 二、教材改编 2若直线 xy10 与圆(xa)2y22 有公共点，则实数 a 的取值范围是( ) A3，1 B1,3 C3,1 D(，31，) 3圆(x2)2y24 与圆(x2)2(y1)29 的位置关系为( ) A内切 B相交 C外切 D相离 三、易错易混 4已知圆 C：x2y29，过点 P(3,1)作圆 C 的切线，则
4、切线方程为_ 5若直线过点 P 3，3 2 且被圆 x2y225 截得的弦长是 8，则该直线的方程为 _ 四、走进高考 62020 天津卷已知直线 x 3y80 和圆 x2y2r2(r0)相交于 A，B 两点若|AB| 6，则 r 的值为_ 考点一 直线与圆的位置关系自主练透型 12021 山东新泰一中月考直线 axbyab0(a2b20)与圆 x2y220 的位置 关系为( ) A相离 B相切 C相交或相切 D相交 22021 大连市双基测试圆 x2y21 与直线 ykx2 没有公共点的充要条件是 _ 悟 技法 判断直线与圆的位置关系常见的方法 (1)几何法：利用 d 与 r 的关系 (2)
5、代数法：联立方程之后利用 判断 (3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题. 考点二 圆的切线与弦长问题互动讲练型 考向一：直线与圆的相切问题 例 1 2020 浙江卷已知直线 ykxb(k0)与圆 x2y21 和圆(x4)2y21 均相切， 则 k_，b_. 考向二：与圆有关的弦长问题 例 2 2021 遵义航天高级中学月考直线 l：xay2 被圆 x2y24 所截得的弦长为 2 3，则直线 l 的斜率为( ) A. 3 B 3 C. 3 3 D 3 3 悟悟 技法技法 1.求过圆上一点(x0，y0
6、)的切线方程的方法 先求切点与圆心连线的斜率 k，若 k 不存在，则结合图形可直接写出切线方程为 yy0；若 k 0，则结合图形可直接写出切线方程为 xx0；若 k 存在且 k0，则由垂直关系知切线的斜 率为1 k，由点斜式可写出切线方程 2求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的两种方法 几 何 法 当斜率存在时，设为 k，则切线方程为 yy0k(xx0)，即 kxyy0kx0 0.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出 k 的值，进而写出切线方程 代 数 法 当斜率存在时，设为 k，则切线方程为 yy0k(xx0)，即 ykxkx0y0， 代入圆的方程，得到一个关于 x 的一元二次方程，由
7、 0，求得 k，切线方 程即可求出 3.求直线与圆相交时弦长的两种方法 (1)几何法：直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点，设弦心距为 d，圆 C 的半径为 r，则|AB|2 r2d2. (2)代数法：将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的交点分别是 A(x1，y1)，B(x2，y2) 则|AB|x1x22y1y22 1k2|x1x2|11 k2|y1y2|(直线 l 的斜率 k 存在). 变式练(着眼于举一反三) 12021 安徽皖东四校联考若直线 l：4xay10 与圆 C：(x2)2(y2)24 相切， 则实数 a 的值为( ) A.15 28 B. 28 15 C.15 28或 1
8、D. 28 15或 1 2.2021 湖北八校联考已知圆 C 的圆心在 y 轴上，点 M(3,0)在圆 C 上，且直线 2xy1 0 经过线段 CM 的中点，则圆 C 的标准方程是( ) Ax2(y3)218 Bx2(y3)218 Cx2(y4)225 Dx2(y4)225 考点三 圆与圆的位置关系互动讲练型 例 3 已知两圆 C1: x2y22x6y10 和 C2：x2y210 x12y450. (1)求证：圆 C1和圆 C2相交； (2)求圆 C1和圆 C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长 悟 技法 1.判断两圆位置关系的方程 常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差的绝对值的关系，一般
9、不用代数法 2两圆公共弦长的求法 两圆公共弦长，先求出公共弦所在直线的方程，在其中一圆中，由弦心距 d，半弦长l 2， 半径 r 所在线段构成直角三角形，利用勾股定理求解. 变式练(着眼于举一反三) 32021 安徽黄山五校联考已知圆 M：x2y22ay0(a0)截直线 xy0 所得线段的 长度是 2 2，则圆 M 与圆 N：(x1)2(y1)21 的位置关系是( ) A内切 B相交 C外切 D相离 4若圆(x1)2y2m 与圆 x2y24x8y160 内切，则实数 m 的值为( ) A1 B11 C121 D1 或 121 第四节第四节 直线与圆直线与圆、圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系 【
10、知识重温】【知识重温】 相交 相切 相离 相交 相切 相离 0 x x 0 y y r2 d2 l 2 2 外离 外切 相交 内切 内含 【小题热身】【小题热身】 1答案：(1) (2) (3) (4) 2解析：由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为 2， |a01| 1212 2，即|a1|2，解得3a1. 答案：C 3解析：两圆圆心为(2,0)，(2,1)，半径分别为 2 和 3，圆心距 d 4212 17. 32d0，所以 r5. 答案：5 课堂考点突破课堂考点突破 考点一 1解析：由已知得，圆的圆心为(0,0)，半径为 2，圆心到直线的距离为 |ab| a2b2，其中(a b)22(
11、a2b2)，所以圆心到直线的距离 |ab| a2b2 2，所以直线与圆相交或相切，故选 C. 答案：C 2解析：解法一 将直线方程代入圆方程， 得(k21)x24kx30， 直线与圆没有公共点的充要条件是 16k212(k21)0， 解得 k( 3， 3) 解法二 圆心(0,0)到直线 ykx2 的距离 d 2 k21， 直线与圆没有公共点的充要条件是 d1，即 2 k211， 解得 k( 3， 3) 答案：k( 3， 3) 考点二 例 1 解析：解法一：因为直线 ykxb(k0)与圆 x2y21，圆(x4)2y21 都相切， 所以 |b| 1k2 |4kb| 1k21，得 k 3 3 ，b2
12、 3 3 . 解法二：因为直线 ykxb(k0)与圆 x2y21，圆(x4)2y21 都相切，所以直线 y kxb 必过两圆心连线的中点(2,0)，所以 2kb0.设直线 ykxb 的倾斜角为 ，则 sin 1 2，又 k0，所以 6，所以 ktan 6 3 3 ，b2k2 3 3 . 答案： 3 3 2 3 3 例 2 解析：圆心(0,0)到直线 l：xay20 的距离 d 2 1a2，因为直线 l 被圆 x 2y2 4 所截得的弦长为 2 3，所以 2 1a2 2 2 3 2 24，解得 a 3，所以直线 l 的斜率为 1 a 3 3 . 答案：D 变式练 1解析：根据题意，得圆心 C(2
13、,2)到直线 l：4xay10 的距离 d |24a21| 16a2 2，解得 a15 28.故选 A. 答案：A 2解析：设圆 C 的圆心坐标为(0，b)，则线段 CM 的中点坐标为 3 2， b 2 ，因为直线 2xy 10 经过线段 CM 的中点，所以 23 2 b 210，解得 b4，所以圆 C 的圆心坐标为(0,4)， 半径 r|CM| 0324025，所以圆 C 的标准方程是 x2(y4)225，故选 C. 答案：C 考点三 例 3 解析：(1)证明：圆 C1的圆心为 C1(1,3)，半径 r1 11，圆 C2的圆心为 C2(5,6)，半 径 r24，两圆圆心距 d|C1C2|5，
14、r1r2 114，|r1r2|4 11，|r1r2|dr1r2， 圆 C1和 C2相交 (2)圆 C1和圆 C2的方程左、右两边分别相减，得 4x3y230， 两圆的公共弦所在直线的方程为 4x3y230. 圆心 C2(5,6)到直线 4x3y230 的距离|201823| 169 3，故公共弦长为 2 169 2 7. 变式练 3解析：将圆 M 的方程化为 x2(ya)2a2，则圆心 M(0，a)，半径 r1a.M 到直线 x y0 的距离 d a 2，则 a 2 22a2，得 a2，故 M(0,2)，r 12.又圆 N 的圆心 N(1,1)，半 径 r21，所以|MN| 2，而|r1r2|MN|r1r2|，所以两圆相交故选 B. 答案：B 4解析：圆(x1)2y2m 的圆心为(1,0)，半径为 m；圆 x2y24x8y160，即 (x2)2(y4)236，故圆心为(2，4)，半径为 6.由两圆内切得 3242| m6|，解得 m 1 或 121.故选 D. 答案：D