1、第三节第三节 几何概型几何概型 【知识重温】【知识重温】 一、必记 2 个知识点 1几何概型 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的_(_或_) 成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为_. 2在几何概型中，事件 A 的概率的计算公式如下： P(A) _. 二、必明 2 个易误点 1计算几何概型问题的关键是怎样把具体问题(如时间问题等)转化为相应类型的几何概 型问题 2几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果 【小题热身】【小题热身】 一、判断正误 1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)几何概型中，每一个基本事件都是从某个特定的几何区域内
2、随机地取一点，该区域中 的每一点被取到的机会相等( ) (2)几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形或空间几何体( ) (3)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关( ) (4)几何概型与古典概型中的基本事件发生的可能性都是相等的，其基本事件个数都有 限( ) 二、教材改编 2某路公共汽车每 5 分钟发车一次，某乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不 超过 2 分钟的概率是( ) A.3 5 B. 4 5 C. 2 5 D. 1 5 3一只小蜜蜂在一个棱长为 3 的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正 方体 6 个表面的距离均大于 1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全
3、飞行”的概率为( ) A. 8 27 B. 1 27 C. 26 27 D. 15 27 三、易错易混 42021 福建莆田质检从区间(0,1)中任取两个数作为直角三角形两直角边的长，则所取 的两个数使得斜边长不大于 1 的概率是( ) A. 8 B. 4 C. 1 2 D. 3 4 5在区间1,2上随机取一个数 x，则 x0,1的概率为_ 四、走进高考 62017 全国卷如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图正方形内切圆 中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称在正方形内随机取一点，则此点取 自黑色部分的概率是( ) A.1 4 B. 8 C. 1 2 D. 4 考点一
4、 与长度、角度有关的几何概型 自主练透型 12016 全国卷某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为 40 秒若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为( ) A. 7 10 B. 5 8 C. 3 8 D. 3 10 22021 广东佛山调研将一根长为 6 m 的绳子剪成两段，则其中一段大于另一段的 2 倍 的概率为( ) A.1 3 B. 2 3 C. 2 5 D. 3 5 32017 江苏卷记函数 f(x) 6xx2的定义域为 D.在区间4,5上随机取一个数 x， 则 xD 的概率是_ 悟 技法 解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象
5、和对象的活动范围当考察对象为点， 点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算，即 当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所 对的弧长(曲线长)之比. 考点二 与体积有关的几何概型自主练透型 4. 2021 湖南衡阳八中模拟如图，在一个棱长为 2 的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆 锥形容器，圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向 鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是( ) A1 4 B. 12 C. 4 D1 12 52021 山东青岛调研有一底面圆的半
6、径为 1，高为 2 的圆柱，点 O 为圆柱下底面圆的 圆心，在这个圆柱内随机取一点 A，则点 A 到点 O 的距离大于 1 的概率为( ) A.1 3 B. 2 3 C. 3 4 D. 1 4 悟 技法 与体积有关的几何概型 对于基本事件在空间的几何概型，要根据空间几何体的体积计算方法，把概率计算转化 为空间几何体的体积计算. 考点三 与面积有关的几何概型互动讲练型 例 1 (1)2021 南昌市高三年级摸底测试卷如图是某光纤电缆的截面图，其中七个大小相同的 小圆外切，且外侧六个小圆与大圆内切，现从大圆内任取一点，该点恰好在小圆内的概率为 ( ) A.7 9 B. 7 8 C. 2 7 D.2
7、 27 (2)2018 全国卷右图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形此图由三个半 圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形 ABC 的斜边 BC，直角边 AB，AC.ABC 的三边 所围成的区域记为，黑色部分记为，其余部分记为.在整个图形中随机取一点，此点取 自，的概率分别记为 p1，p2，p3，则( ) Ap1p2 Bp1p3 Cp2p3 Dp1p2p3 悟 技法 1.几何概型与平面几何、解析几何等知识交汇问题的解题思路 利用平面几何、解析几何等相关知识，先确定基本事件对应区域的形状，再选择恰当的方法 和公式，计算出其面积，进而代入公式求概率 2几何概型与线性规划交汇问题的解题思路 先
8、根据约束条件作出可行域，再确定形状，求面积大小，进而代入公式求概率. 同类练(着眼于触类旁通) 12021 湖北省四校联考如图所示的图案是由两个等边三角形构成的六角星，其中这两 个等边三角形的三边分别对应平行，且各边都被交点三等分，若往该图案内投掷一点，则该 点落在图中阴影部分内的概率为( ) A.1 4 B. 1 3 C. 1 2 D. 2 3 22021 长沙市高三年级统一模拟考试 在如图所示的正方形内任取一点 M，其中图中的圆为该正方形的内切圆，图中的圆弧为 以正方形的顶点为圆心，正方形边长的一半为半径的圆弧，则点 M 恰好取自阴影部分的概率 为( ) A.1 2 B. 2 C. 21
9、D2 2 变式练(着眼于举一反三) 32021 广州市五校联考ABCD 为长方形，AB2，BC1，O 为 AB 的中点，在长方形 ABCD 内随机取一点，取到的点到 O 的距离大于 1 的概率为( ) A. 4 B1 4 C. 8 D1 8 4. 2021 山东省潍坊市模拟如图，六边形 ABCDEF 是一个正六边形，若在正六边形内任取 一点，则该点恰好在图中阴影部分的概率是( ) A.1 4 B. 1 3 C.2 3 D. 3 4 拓展练(着眼于迁移应用) 52021 湖北黄冈、黄石等八市联考若张三每天的工作时间在 6 小时至 9 小时之间随机 均匀分布，则张三连续两天平均工作时间不少于 7
10、小时的概率是( ) A.2 9 B. 1 3 C. 2 3 D. 7 9 第三节第三节 几何概型几何概型 【知识重温】【知识重温】 长度 面积 体积 几何概型 构成事件A的区域长度面积或体积 试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积 【小题热身】【小题热身】 1答案：(1) (2) (3) (4) 2解析：试验的全部结果构成的区域长度为 5，所求事件的区域长度为 2，故所求概率 为 P2 5. 答案：C 3解析：根据题意，安全飞行的区域为棱长为 1 的正方体， P 构成事件A的区域体积 试验的全部结果所构成的区域体积 1 27.故选 B. 答案：B 4解析：任取的两个数记为 x，y，所在区域是
11、正方形 OABC 内部，而符合题意的 x，y 位于阴影区域内(不包括 x，y 轴)，故所求概率 P 1 41 2 11 4. 答案：B 5解析：1,2的长度为 3，0,1的长度为 1，所以概率是1 3. 答案：1 3 6解析：不妨设正方形 ABCD 的边长为 2，则正方形内切圆的半径为 1，可得 S正方形4. 由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得 S黑S白1 2S 圆 2，所 以由几何概型知所求概率 P S黑 S正方形 2 4 8.故选 B. 答案：B 课堂考点突破课堂考点突破 考点一 1解析：因为红灯持续时间为 40 秒， 所以这名行人至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概
12、率为4015 40 5 8，故选 B. 答案：B 2解析：绳子的长度为 6 m，剪成两段后，设其中一段的长度为 x m，则另一段的长度 为(6x) m，记“其中一段的长度大于另一段长度的 2 倍”为事件 A，则 A x| 0 x26x或6x2x x|0 x2 或 4x6，P(A)2 3，故选 B. 答案：B 3解析：由 6xx20，解得2x3，则 D2,3，则所求概率为32 54 5 9. 答案：5 9 考点二 4. 解析：正方形 ABCD 的面积为 224，圆锥的底面圆的面积为 ， 所以“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是4 4 1 4，故选 A. 答案：A 5解析：设点 A 到点
13、O 的距离小于或等于 1 的概率为 P1，则 P1V 半球 V圆柱 2 3 13 122 1 3， 故点 A 到点 O 的距离大于 1 的概率 P11 3 2 3. 答案：B 考点三 例 1 解析：(1)设每个小圆的半径为 1，则大圆的半径为 3，所以从大圆内任取一点，该 点恰好在小圆内的概率 P71 2 32 7 9，故选 A. (2) SABC1 2AB AC，以 AB 为直径的半圆的面积为 1 2 AB 2 2 8AB 2， 以 AC 为直径的半圆的面积为 1 2 AC 2 2 8AC 2， 以 BC 为直径的半圆的面积为 1 2 BC 2 2 8BC 2， S 1 2AB AC， S
14、8BC 21 2AB AC， S 8AB 2 8AC 2 8BC 21 2AB AC 1 2AB AC. S S.由几何概型概率公式得1 p S s 总 ， 2 p S s 总 . 1 p 2 p .故选 A. 答案：(1)A (2)A 同类练 1解析：设六角星的中心为点 O，分别将点 O 与两个等边三角形的六个交点连接起来， 则将阴影部分分成了六个全等的小等边三角形，并且与其余六个小三角形也是全等的，所以 所求的概率 P1 2，故选 C. 答案：C 2解析：设正方形的边长为 2，则题图中阴影部分的面积 S42(1 41 21 211) 24，故点 M 恰好取自阴影部分的概率 P24 4 21
15、，故选 C. 答案：C 变式练 3. 解析：如图，依题意可知所求概率为图中阴影部分与长方形的面积比，即所求概率 P S阴影 S长方形ABCD 2 2 2 1 4. 答案：B 4解析：设正六边形的中心为点 O，BD 与 AC 交于点 G，BC1，则 BGCG，BGC 120 ，在BCG 中，由余弦定理得 1BG2BG22BG2cos 120 ，得 BG 3 3 ，所以 SBCG 1 2BGBGsin 120 1 2 3 3 3 3 3 2 3 12，因为 S 六边形ABCDEFSBOC61 211sin 60 63 3 2 ，所以该点恰好在图中阴影部分的概率是 1 6SBCG S六边形ABCDEF 2 3. 答案：C 拓展练 5解析：设第一天工作的时间为 x 小时，第二天工作的时间为 y 小时，则 6x9， 6y9， 因 为连续两天平均工作时间不少于 7 小时，所以xy 2 7，即 xy14， 6x9， 6y9 表示的区 域面积为 9， 其中满足 xy14 的区域面积为 91 2227， 张三连续两天平均工作时间 不少于 7 小时的概率是7 9，故选 D. 答案：D