1、第二节第二节 古典概型古典概型 【知识重温】【知识重温】 一、必记 3 个知识点 1基本事件的特点 (1)任何两个基本事件是_的 (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成_的和 2古典概型 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型 (1)试验中所有可能出现的基本事件_. (2)每个基本事件出现的可能性_. 3古典概型的概率公式 一次试验中可能出现的结果有 n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，如果某个事件 A 包含的结果有 m 个，那么事件 A 的概率为 P(A)_. 二、必明 2 个易误点 1古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，一定要注意在计算基本事件数和事件发 生数
2、时，他们是否是等可能的 2概率的一般加法公式：P(AB)P(A)P(B)P(AB) 公式使用中要注意：(1)公式的作用是求 AB 的概率，当 AB时，A、B 互斥，此时 P(AB)0，所以 P(AB)P(A)P(B)；(2)要计算 P(AB)，需要求 P(A)、P(B)，更重要的 是把握事件 AB，并求其概率；(3)该公式可以看作一个方程，知三可求一 【小题热身】【小题热身】 一、判断正误 1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发 芽与不发芽”( ) (2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两
3、个反面”，这三个事件是等可 能事件( ) (3)在古典概型中，如果事件 A 中基本事件构成集合 A，所有的基本事件构成集合 I，则事 件 A 的概率为cardA cardI.( ) 二、教材改编 2从 52 张扑克牌(不含大小王)中随机抽一张牌，抽到的牌比 6 大比 9 小的概率为( ) A. 1 13 B. 2 13 C. 3 13 D. 4 13 3袋子中有 5 个大小质地完全相同的球，其中 2 个红球、3 个黄球，从中不放回地依次 随机摸出 2 个球，则两次都摸到红球的概率为_ 三、易错易混 4 从 1,2,3 中随机选取一个数 a， 从 4,5 中随机选取一个数 b， 从 6,7 中随
4、机选取一个数 c， 则 a，b，c 成等差数列的概率是( ) A.1 2 B. 4 9 C. 3 4 D. 1 4 5在装有相等数量的白球和黑球的口袋中放进一个白球，此时由这个口袋中取出一个白 球的概率比原来由此口袋中取出一个白球的概率大 1 22，则口袋中原有小球的个数为_ 四、走进高考 62020 江苏卷将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷 2 次，观察向上的点数，则点数 和为 5 的概率是_ 考点一 简单的古典概型问题自主练透型 12019 全国卷生物实验室有 5 只兔子，其中只有 3 只测量过某项指标若从这 5 只 兔子中随机取出 3 只，则恰有 2 只测量过该指标的概率为( ) A.2
5、 3 B. 3 5 C. 2 5 D. 1 5 22019 全国卷我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从 下到上排列的 6 个爻组成，爻分为阳爻“”和“阴爻“ ”，如图就是一重卦在所 有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有 3 个阳爻的概率是( ) A. 5 16 B. 11 32 C. 21 32 D. 11 16 32021 河南省豫北名校高三质量考评五色糯米饭，俗称五色饭，因糯米饭呈黑、红、 黄、紫、白 5 种颜色而得名，是壮族人用来招待客人的传统食品现从该五色糯米饭中任意 取出 2 种颜色的糯米进行品尝，恰有一种为紫色的概率为( ) A.1 3 B. 2 5 C. 2 3
6、 D. 1 5 悟悟 技法技法 基本事件个数的确定方法 (1)列举法：此法适合于基本事件较少的古典概型 (2)列表法：此法适合于从多个元素中选定两个元素的试验，也可看成是坐标法. 考点二 较复杂的古典概型问题互动讲练型 例 1 2018 天津卷已知某校甲、 乙、 丙三个年级的学生志愿者人数分别为 240,160,160. 现采用分层抽样的方法从中抽取 7 名同学去某敬老院参加献爱心活动 (1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？ (2)设抽出的 7 名同学分别用 A，B，C，D，E，F，G 表示，现从中随机抽取 2 名同学承 担敬老院的卫生工作 试用所给字母列举出所有可能的抽取
7、结果； 设 M 为事件“抽取的 2 名同学来自同一年级”，求事件 M 发生的概率 悟 技法 1.与平面几何有关概率的求法 (1)结合几何图形的结构特征，找到符合条件的基本事件总数 (2)根据事件的几何特征求出其基本事件数 (3)代入古典概型公式 2求较复杂事件的概率问题的方法 (1)将所求事件转化成彼此互斥的事件的和事件，再利用互斥事件的概率加法公式求解 (2)先求其对立事件的概率，再利用对立事件的概率公式求解. 变式练(着眼于举一反三) 1 2021 山东青岛调研已知某运动员每次投篮投中的概率是 40%.现采用随机数法估计该 运动员三次投篮中，恰有两次投中的概率：先由计算器随机产生 09 中
8、的整数，指定 1,2,3,4 表示投中，5,6,7,8,9,0 表示未投中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果现产生 了如下 10 组随机数：907 966 191 925 271 431 932 458 569 683.估计该运动员三次投篮恰有两 次投中的概率为( ) A.1 5 B. 3 5 C. 3 10 D. 9 10 22021 惠州市高三调研考试不透明的箱子中有形状、大小都相同的 5 个球，其中 2 个 白球，3 个黄球现从该箱子中随机摸出 2 个球，则这 2 个球颜色不同的概率为( ) A. 3 10 B. 2 5 C. 3 5 D. 7 10 考点三 古典概型与代数、几
9、何知识的结合 互动讲练型 例 2 (1)已知 a2,0,1,2,3，b3,5，则函数 f(x)(a22)exb 为减函数的概率是 ( ) A. 3 10 B. 3 5 C. 2 5 D. 1 5 (2)若 m 是集合1,3,5,7,9,11中任意选取的一个元素，则椭圆x 2 m y2 21 的焦距为整数的概 率为_ 悟 技法 解决与古典概型结合的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基 本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算. 变式练(着眼于举一反三) 3已知 m2，1,0,1,2，n1,0,1，随机抽取一个 m 和一个 n，使得平面向量 a (m，n)，满
10、足|a|2 的概率为_ 4将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数 a，b，则直线 axby0 与圆(x2)2y22 有公共点的概率为_ 第二节第二节 古典概型古典概型 【知识重温】【知识重温】 互斥 基本事件 有限 相等 m n 【小题热身】【小题热身】 1答案：(1) (2) (3) 2解析：抽到的牌比 6 大比 9 小的有 248(张)，故 P(比 6 大比 9 小) 8 52 2 13. 答案：B 3解析：将两个红球编号为 1,2，三个黄球编号为 3,4,5.第一次摸球时有 5 种等可能的结 果，第二次摸球时有 4 种等可能的结果，两次摸球共有 20 种等可能的结果，其中两次都摸到 红球的有
11、 2 种等可能结果，即(1,2)，(2,1)，故所求的概率为 P 2 20 1 10. 答案： 1 10 4 解析： a， b， c 的取法有(1,4,6)， (1,4,7)， (1,5,6)， (1,5,7)， (2,4,6)， (2,4,7)， (2,5,6)， (2,5,7)， (3,4,6)，(3,4,7)，(3,5,6)，(3,5,7)共 12 种，其中成等差数列的有(1,4,7)，(2,4,6)，(3,5,7)共 3 种， 故所求的概率为 3 12 1 4. 答案：D 5解析：设原来口袋中白球、黑球的个数都为 n 个，依题意 n1 2n1 n 2n 1 22，解得 n5. 所以原来
12、口袋中小球共有 2n10 个 答案：10 6解析：将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷 2 次，向上的点数共有 36 种情况，其 中点数和为 5 的情况有(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，共 4 种，则所求概率为 4 36 1 9. 答案：1 9 课堂考点突破课堂考点突破 考点一 1解析：记 5 只兔子分别为 A，B，C，D，E，其中测量过某项指标的 3 只兔子为 A，B， C， 则从这 5 只兔子中随机取出 3 只的基本事件有 ABC， ABD， ABE， ACD， ACE， ADE， BCD， BCE，BDE，CDE，共 10 种，其中恰有 2 只测量过该指标的基本事件有 AB
13、D，ABE，ACD， ACE，BCD，BCE，共 6 种，所以所求事件的概率 P 6 10 3 5. 答案：B 2解析：由 6 个爻组成的重卦种数为 2664，在所有重卦中随机取一重卦，该重卦恰有 3 个阳爻的种数为 C36654 6 20.根据古典概型的概率计算公式得，所求概率 P20 64 5 16. 故选 A. 答案：A 3解析：设黑、红、黄、紫、白 5 种颜色的糯米分别为 a，b，c，d，e，从中任取 2 种 的所有情况为(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d， e)，共 10 种，其中恰有一种为紫色的有 4 种
14、情况，所以所求概率为 4 10 2 5，故选 B. 答案：B 考点二 例 1 解析：(1)由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为，由于采 用分层抽样的方法从中抽取 7 名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽 取 3 人，2 人，2 人 (2)从抽出的 7 名同学中随机抽取 2 名同学的所有可能结果为A，B，A，C，A，D， A，E，A，F，A，G，B，C，B，D，B，E，B，F，B，G，C，D，C， E，C，F，C，G，D，E，D，F，D，G，E，F，E，G，F，G，共 21 种 由(1)，不妨设抽出的 7 名同学中，来自甲年级的是 A，B，C，来自乙年级的是 D，E
15、， 来自丙年级的是 F，G，则从抽出的 7 名同学中随机抽取的 2 名同学来自同一年级的所有可能 结果为A，B，A，C，B，C，D，E，F，G，共 5 种 所以，事件 M 发生的概率 P(M) 5 21. 变式练 1解析：随机模拟产生了 10 组随机数，在这 10 组随机数中，表示三次投篮恰有两次投 中的有 191,271,932，共 3 组，故所求概率为 3 10，故选 C. 答案：C 2解析：将 2 个白球分别记为白球 1，白球 2，将 3 个黄球分别记为黄球 1，黄球 2，黄 球 3.从该箱子中随机摸出 2 个球，所有情况是(白球 1，白球 2)，(白球 1，黄球 1)，(白球 1， 黄
16、球 2)，(白球 1，黄球 3)，(白球 2，黄球 1)，(白球 2，黄球 2)，(白球 2，黄球 3)，(黄球 1， 黄球 2)，(黄球 1，黄球 3)，(黄球 2，黄球 3)，共 10 种，摸出的这 2 个球颜色不同的情况有(白 球 1，黄球 1)，(白球 1，黄球 2)，(白球 1，黄球 3)，(白球 2，黄球 1)，(白球 2，黄球 2)，(白 球 2，黄球 3)，共 6 种，故所求概率为 6 10 3 5，选 C. 答案：C 考点三 例 2 解析：(1)由题意知 a220，解得 2a2 的有(2，1)，(2,1)，(2，1)，(2,1)，所以所求概率为 4 15. 解法二 当 m2,
17、2，n1,1 时，满足|a|2.所以所求概率为22 53 4 15. 答案： 4 15 4 解析： 若直线 axby0 与圆(x2)2y22 有公共点， 则 |2a| a2b2 2， 整理得 a 2b2. 依题意，将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组(a，b)有 6636(种)结果满足 a2b2的数组：当 a1 时，b1,2,3,4,5,6，共 6 种结果；当 a2 时，b2,3,4,5,6，共 5 种结 果；当 a3 时，b3,4,5,6，共 4 种结果；当 a4 时，b4,5,6，共 3 种结果；当 a5 时，b 5,6，共 2 种结果；当 a6 时，b6，共 1 种结果满足 a2b2的数组共 65432 121(种)结果，因此所求的概率 P21 36 7 12. 答案： 7 12