1、第二节第二节 数系的扩充与复数的引入数系的扩充与复数的引入 【知识重温】【知识重温】 一、必记 7 个知识点 1复数的概念 形如 abi(a，bR)的数叫做复数，其中 a，b 分别是它的_和_.若 _，则 abi 为实数，若_，则 abi 为虚数，若_，则 a bi 为纯虚数 2复数相等：abicdi_(a，b，c，dR) 3共轭复数：abi 与 cdi 共轭_(a，b，c，dR) 4复平面 建 立 直 角 坐 标 系 来 表 示 复 数 的 平 面 ， 叫 做 复 平 面 _ 叫 做 实 轴 ， _叫做虚轴实轴上的点都表示 10_；虚轴上的点都表示 _；各象限内的点都表示_. 复数集 C 和
2、复平面内的_组成的集合是一一对应的，复数集 C 与复平面内所有 以_为起点的向量组成的集合也是一一对应的 5复数的模 向量OZ 的模 r 叫做复数 zabi 的模， 记作|z|或|abi|， 即|z|abi| _. 6复数的加、减、乘、除运算法则 设 z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则 (1)加法：z1z2(abi)(cdi)_. (2)减法：z1z2(abi)(cdi)_. (3)乘法：z1 z2(abi) (cdi)_. (4)除法：z1 z2 abi cdi abicdi cdicdi _(cdi0) 7复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任何 z1、z2、
3、z3C，有 z1z2z2z1，(z1z2) z3z1(z2z3) 二、必明 2 个易误点 1判定复数是实数，仅注重虚部等于 0 是不够的，还需考虑它的实部是否有意义 2利用复数相等 abicdi 列方程时，注意 a，b，c，dR 的前提条件 【小题热身】【小题热身】 一、判断正误 1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)方程 x2x10 没有解( ) (2)复数 zabi(a，bR)中，虚部为 bi.( ) (3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小，如 43i33i,34i33i 等( ) (4)原点是实轴与虚轴的交点( ) (5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的
4、点到原点的距离，也就是复数对应的向量的 模( ) (6)复数 z12i 的共轭复数对应点在第四象限( ) 二、教材改编 2复数 5 i2的共轭复数是( ) Ai2 Bi2 C2i D2i 3当2 3m1 时，复数 m(3i)(2i)在复平面内对应的点位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 三、易错易混 4z(32i)(25i)，则复数 z 的虚部为( ) A16 B11 C11i D16 52021 宝鸡质检若复数a3i 12i是纯虚数，则实数 a( ) A2 B4 C6 D6 四、走进高考 62020 天津卷i 是虚数单位，复数8i 2i_. 考点一 复数的有关概念自主练
5、透型 12020 全国卷复数 1 13i的虚部是( ) A 3 10 B 1 10 C. 1 10 D. 3 10 22020 浙江卷已知 aR，若 a1(a2)i(i 为虚数单位)是实数，则 a( ) A1 B1 C2 D2 32021 郑州市第一次质量预测若复数12ai 2i (aR)的实部和虚部相等，则实数 a 的值 为( ) A1 B1 C.1 6 D 1 6 42021 安徽省考试试题 z 是 z12i 1i 的共轭复数，则 z 的虚部为( ) A1 2 B. 1 2 C 3 2 D. 3 2 悟 技法 求解与复数概念相关问题的技巧 复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都
6、与复数的实部与虚部有关， 所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即 abi(a，bR)的形 式，再根据题意列方程(组)求解. 考点二 复数的代数运算自主练透型 52020 全国卷若 z1i，则|z22z|( ) A0 B1 C. 2 D2 62020 山东卷 2i 12i( ) A1 B1 Ci Di 7. 2021 河南省豫北名校质量考评复数 3 2i 2 3i( ) A.2 6 5 i B.2 6 5 1 5i C1 Di 8. 2021 太原市高三年级模拟试题设复数 z 满足 z (2i)5，则|zi|( ) A2 2 B. 2 C2 D4 悟 技法 复数代数形式
7、运算问题的解题策略 (1)复数的乘法 复数的乘法类似于多项式的四则运算， 可将含有虚数单位 i 的看作一类同类项， 不含 i 的看作另一类同类项，分别合并即可 (2)复数的除法 除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数， 解题中要注意把 i 的幂写成最 简形式. 考点三 复数的几何意义互动讲练型 例 1 (1)在复平面内，复数 z 对应的点的坐标是(1,2)，则 i z( ) A12i B2i C12i D2i (2)2020 全国卷设复数 z1，z2 满足|z1|z2|2，z1z2 3i，则|z1z2|_. 悟 技法 复数几何意义及应用 (1)复数 z、复平面上的点 Z 及向量OZ 相互联系
8、，即 zabi(a，bR)Z(a，b)OZ(a，b) (2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在 一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观 提醒：|z|的几何意义：令 zxyi(x，yR)，则|z| x2y2，由此可知表示复数 z 的点到 原点的距离就是|z|的几何意义；|z1z2|的几何意义是复平面内表示复数 z1，z2的两点之间的距 离. 变式练(着眼于举一反三) 12021 石家庄市高三年级阶段性训练题已知 i 是虚数单位，且 z1i i ，则 z 的共轭复 数 z 在复平面内对应的点在( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D
9、第四象限 22021 石家庄市重点高中高三毕业班摸底考试若复数 z 满足 2z z 3i，其中 i 为 虚数单位，则|z|( ) A2 B. 3 C. 2 D3 第二节第二节 数系的扩充与复数的引入数系的扩充与复数的引入 【知识重温】【知识重温】 实部 虚部 b0 b0 a0 且 b0 ac 且 bd ac， bd x 轴 y 轴除去原点 实数 纯虚数 实部不为 0 的虚数 点 原点 a2b2 (ac)(bd)i (ac)(bd)i (acbd)(adbc)i acbdbcadi c2d2 【小题热身】【小题热身】 1答案：(1) (2) (3) (4) (5) (6) 2解析： 5 i2 5
10、2i 2i2i 105i 5 2i，其共轭复数为2i，故选 B. 答案：B 3解析：m(3i)(2i)(3m2)(m1)i， 2 3m0，m10， 其对应的点在第四象限 答案：D 4解析：依题意，z(32i)(25i)615i4i101611i，故复数 z 的虚部为11. 故选 B. 答案：B 5解析：a3i 12i a3i12i 12i12i a6 5 2a3 5 i 是纯虚数，a6 5 0 且2a3 5 0，a 6，故选 D. 答案：D 6解析：解法一 依题意得8i 2i 8i2i 2i2i 1510i 5 32i. 解法二 设8i 2ixyi，其中 x，yR，则(2i)(xyi)8i，即
11、(2xy)(2yx)i8 i，因此 2xy8， 2yx1， 解得 x3，y2，即8i 2i32i. 答案：32i 课堂考点突破课堂考点突破 考点一 1解析：利用复数除法法则得 1 13i 13i 13i13i 13i 10 ，所以虚部为 3 10，选 D. 答案：D 2解析：因为 a1(a2)i 是实数，所以 a20，所以 a2.故选 C. 答案：C 3解析：因为12ai 2i 12ai2i 2i2i 22a 5 14a 5 i，所以由题意，得22a 5 14a 5 ， 解得 a1 6，故选 C. 答案：C 4解析：z12i 1i 12i1i 1i1i 13i 2 1 2 3 2i，则 z 1
12、 2 3 2i，所以 z 的虚部为 3 2，故选 C. 答案：C 考点二 5解析：z1i， z22z(1i)22(1i)12ii222i2， |z22z|2|2.故选 D. 答案：D 6解析：解法一 2i 12i 2i12i 12i12i 225i 5 i，选 D. 解法二 利用 i21 进行替换，则 2i 12i 21i 12i 2i 2i 12i i12i 12i i，选 D. 答案：D 7解析：由题意可知， 3 2i 2 3i 3 2i 2 3i 2 3i 2 3i 5i 5 i，故选 D. 答案：D 8解析：z 5 2i 52i 2i2i 52i 5 2i，所以 zi22i，则|zi|
13、 2222 2 2，故选 A. 答案：A 考点三 例 1 解析：(1)由题意知，z12i，所以 i zi (12i)2i，故选 B. (2)设复数 z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则 a2b24，c2d24，又 z1z2(a c)(bd)i 3i，ac 3，bd1，则(ac)2(bd)2a2c2b2d22ac2bd 4 ， 8 2ac 2bd 4 ， 即 2ac 2bd 4 ， |z1 z2| ac2bd2 a2b2c2d22ac2bd842 3. 答案：(1)B (2)2 3 变式练 1解析：z1i i 1ii ii 1i，所以 z 1i，则 z在复平面内对应的点为( 1,1)，所以 z 在复平面内对应的点在第二象限，故选 B. 答案：B 2解析：设 zabi(a，bR)，2z z 3i，2(abi)abi3abi3i，a 1，b1，z1i，|z| 2，故选 C. 答案：C