1、微专题微专题(二十六二十六) 直线系方程直线系方程 在求解直线方程的题目中，可采用设直线系方程的方式简化运算，常见的直线系有平行 直线系，垂直直线系和过两直线交点的直线系 一、平行直线系 例 1 求与直线 3x4y10 平行且过点(1,2)的直线 l 的方程 解析：由题意，可设所求直线方程为 3x4yc0(c1)，又因为直线 l 过点(1,2)， 所以 3142c0，解得 c11. 因此，所求直线方程为 3x4y110. 二、垂直直线系 由于直线 A1xB1yC10 与 A2xB2yC20 垂直的充要条件为 A1A2B1B20.因此， 当两直线垂直时，它们的一次项系数有必然的联系可以考虑用直线
2、系方程求解 例 2 求经过点 A(2,1)，且与直线 2xy100 垂直的直线 l 的方程 解析：因为所求直线与直线 2xy100 垂直，所以设该直线方程为 x2yC10，又 直线过点 A(2,1)， 所以有 221C10，解得 C10， 即所求直线方程为 x2y0. 三、过两直线交点的直线系 例 3 经过两条直线 2x3y10 和 x3y40 的交点，并且垂直于 3x4y70 的直线方程为_ 解析：解法一 由方程组 2x3y10， x3y40， 解得 x5 3， y7 9， 即两直线交点为 5 3， 7 9 ，所求直线与直线 3x4y70 垂直，所求直线的斜率为 k4 3. 由点斜式得所求直
3、线方程为 y7 9 4 3 x5 3 ，即 4x3y90. 解法二 由垂直关系可设所求直线方程为 4x3ym0， 由方程组 2x3y10， x3y40， 可解得两直线交点为 5 3， 7 9 ， 代入 4x3ym0， 得 m9， 故所求直线方程为 4x3y90. 解法三 由题意可设所求直线方程为 (2x3y1)(x3y4)0， 即(2)x(33)y140， 又所求直线与直线 3x4y70 垂直， 3(2)4(33)0， 2，代入式得所求直线方程为 4x3y90. 答案：4x3y90 名师点评 1本例 3 法一采用常规方法，先通过方程组求出两直线交点，再根据垂直关系求出斜率， 由于交点在 y 轴
4、上，故采用斜截式求解；法三则采用了过两直线 A1xB1yC10 与 A2xB2y C20 的交点的直线系方程： A1xB1yC1(A2xB2yC2)0， 直接设出过两直线交点的 方程，再根据垂直条件用待定系数法求解 2与直线 AxByC0 平行的直线系方程为 AxByC10(C1C)；与直线 AxBy C0 垂直的直线系方程为 BxAyC10. 变式练 求经过两直线 l1：x2y40 和 l2：xy20 的交点 P，且与直线 l3：3x 4y50 垂直的直线 l 的方程 微专题微专题(二十六二十六) 变式练 解析：解法一 解方程组 x2y40， xy20， 得 P(0,2) 因为 l3的斜率为3 4，且 ll3，所以直线 l 的斜率为 4 3， 由斜截式可知 l 的方程为 y4 3x2， 即 4x3y60. 解法二 设直线 l 的方程为 x2y4(xy2)0， 即(1)x(2)y420. 又ll3，3(1)(4)(2)0， 解得 11. 直线 l 的方程为 4x3y60.