1、微专题微专题(二十八二十八) 抛物线中的最值问题抛物线中的最值问题 求解与抛物线有关的最值问题方法较多，一般需要通过数形结合或利用函数思想来求 最值，下面就抛物线最值问题的求法作一归纳 1定义转换法 例 1 已知点 P 是抛物线 y22x 上的动点， B(1,1)， 点 P 到直线 l： x1 2的距离为 d， 求 d|PB|的最小值 解析：由题意得抛物线 y22x 的焦点 F 1 2，0 ，直线 l 是抛物线的准线，如图，连接 BF， PF，所以 d|PF|，则 d|PB|PF|PB|BF| 11 2 2102 13 2 ，当且仅当 B， P，F 三点共线时取等号，所以 d|PB|的最小值为
2、 13 2 . 名师点评 与抛物线上的点到准线距离有关的最值问题，一般都是利用抛物线的定义， 将到准线的距离转化为到焦点的距离，然后通过数形结合直接判断出取得最值时所要满足的 条件，这样就能避免烦琐的代数运算. 2.平移直线法 例 2 抛物线 yx2上的点到直线 4x3y80 距离的最小值是_ 解析：解法一 如图，设与直线 4x3y80 平行且与抛物线 yx2相切的直线为 4x 3yb0，切线方程与抛物线方程联立得 yx2， 4x3yb0， 消去 y 整理得 3x24xb0，则 1612b0，解得 b4 3，所以切线方程为 4x3y 4 30， 抛物线 yx 2上的点到直线 4x3y80 距离
3、的最小值是这两条平行线间的距离 d |84 3| 5 4 3. 解法二 由 yx2，得 y2x.如图，设与直线 4x3y80 平行且与抛物线 y x2相切的直线与抛物线的切点是 T(m，m2)，则切线斜率 ky|xm2m4 3， 所以 m2 3，即切点 T 2 3， 4 9 ，点 T 到直线 4x3y80 的距离 d 8 3 4 38 169 4 3，由 图知抛物线 yx2上的点到直线 4x3y80 距离的最小值是4 3. 答案：4 3 名师点评 若抛物线上的点 P 到直线 l 的距离最小， 则过点 P 与 l 平行的直线与抛物线相 切，且最小距离为两平行直线间的距离，所以可将问题转化为求与抛
4、物线相切的直线，然后 求两平行直线间的距离 3函数法 针对上面的例 2，我们给出第三种解决方法： 解法三 设 P(x，x2)，则点 P 到直线 4x3y80 的距离 d|4x3x 28| 169 1 5 3 x2 3 220 3 3 5 x2 3 24 3，在抛物线 yx 2中，xR，所以当 x2 3时，d 取得最小值 4 3， 即抛物线 yx2上的点到直线 4x3y80 距离的最小值是4 3. 例3 若点P在抛物线y2x上， 点Q在圆(x3)2y21上， 则|PQ|的最小值为_ 解析：由题意得抛物线与圆不相交，且圆的圆心为 A(3,0)，则|PQ|PA|AQ|PA|1， 当且仅当 P，Q，A 三点共线时取等号，所以当|PA|取得最小值时，|PQ|最小设 P(x0，y0)，则 y20 x0，|PA| x032y20 x206x09x0 x05 2 211 4 ，当且仅当 x05 2时，|PA|取 得最小值 11 2 ，此时|PQ|取得最小值 11 2 1. 答案： 11 2 1 名师点评 解与抛物线有关的最值问题可通过两点间距离公式或者点到直线的距离公式 建立目标函数，再用求函数最值的方法求解解题的关键是根据所给抛物线方程设出动点坐 标