1、微专题微专题(二二) 学通学活巧迁移新定义函数学通学活巧迁移新定义函数 所谓“新定义”函数，是相对于高中教材而言，指在高中教材中不曾出现或尚未介绍的 一类函数函数新定义问题的一般形式是：由命题者先给出一个新的概念、新的运算法则， 或者给出一个抽象函数的性质等，然后让学生按照这种“新定义”去解决相关的问题 例 2021 广东深圳模拟在平面直角坐标系中， 横坐标、 纵坐标均为整数的点称为整点， 若函数 f(x)的图象恰好经过 n(nN*)个整点，则称函数 f(x)为 n 阶整点函数给出下列函数： f(x)sin 2x；g(x)x3；h(x) 1 3 x；(x)ln x. 其中是一阶整点函数的是(
2、) A B C D 解析：对于函数 f(x)sin 2x，它的图象(图略)只经过一个整点(0,0)，所以它是一阶整点函 数，排除 D；对于函数 g(x)x3，它的图象(图略)经过整点(0,0)，(1,1)，所以它不是一阶 整点函数，排除 A；对于函数 h(x) 1 3 x，它的图象(图略)经过整点(0,1)，(1,3)，所以 它不是一阶整点函数，排除 B.故选 C. 答案：C 名师点评 本题意在考查考生的数学抽象、 逻辑推理、 数学运算、 直观想象等核心素养 破 解新定义函数题的关键是：紧扣新定义的函数的含义，学会语言的翻译、新旧知识的转化， 便可使问题顺利获解如本例，若能把新定义的一阶整点函
3、数转化为函数 f(x)的图象恰好经过 1 个整点，问题便迎刃而解 变式练 1 若一系列函数的解析式相同， 值域相同， 但定义域不同， 则称这些函数为“同族函数”， 则函数解析式为 yx21，值域为1,3的同族函数有( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 2若函数 f(x)同时满足下列两个条件，则称该函数为“优美函数”： (1)xR，都有 f(x)f(x)0； (2)x1，x2R，且 x1x2，都有fx1fx2 x1x2 0. f(x)sin x；f(x)2x3；f(x)1x； 以上三个函数中，_是“优美函数” 微专题微专题(二二) 变式练 1 解析： 由 x211 得 x0， 由 x213 得 x 2， 所以函数的定义域可以是0， 2， 0， 2，0， 2， 2，故值域为1,3的同族函数共有 3 个 答案：C 2 解析： 由条件(1)， 得 f(x)是 R 上的奇函数， 由条件(2)， 得 f(x)是 R 上的单调递减函数 对 于，f(x)sin x 在 R 上不单调，故不是“优美函数”；对于，f(x)2x3既是奇函数，又 在 R 上单调递减， 故是“优美函数”； 对于， f(x)1x 不是奇函数， 故不是“优美函数” 答案：