1、微专题微专题(二十一二十一) 数列与其函数的交汇数列与其函数的交汇 例 2021 大庆模拟设函数 f(x)的定义域为 R，满足 f(x1)2f(x)，且 x0,1)时，f(x) sin x.当 x0，)时，将函数 f(x)的极大值点从小到大依次记为 a1，a2，a3，an， 并记相应的极大值为 b1，b2，b3，bn，则数列anbn的前 9 项和为_ 解析：函数 f(x)的定义域为 R，满足 f(x1)2f(x)，则 f(x)2f(x1)， 且当 x0,1)时，f(x)sin x， 则当 xn1，n)(nN*)，x(n1)0,1)， f(x)2f(x1)22f(x2)2n 1fx(n1)2n1
2、sinx(n1)， f(x)2n 1cosx(n1)， 当 xn1，n)(nN*)时，x(n1)0,1)，则x(n1)0，)， 令 f(x)0，可得 x(n1) 2，解得 xn 1 2， 当 n1x0，当 n 1 2xn 时，f(x)0. 所以，函数 yf(x)在 xn1 2处取得极大值，即 bnf n1 2 2n 1， 又 ann1 2，anbnn 1 22 n1， 因此，数列anbn的前 9 项的和 S9 1 29 1 2 9 2 12 9 12 1 103 2 . 答案：1 103 2 名师点评 1本题把数列问题与函数的极值点相交汇，借用导数的工具性求出极值点，进而求得结 果，考查考生的
3、逻辑推理、数学运算等核心素养 2破解数列与函数相交汇问题的关键：一是会利用导数法求函数的极值点；二是会利用 等差数列的单调性，若公差大于 0，则该数列单调递增，若公差小于 0，则该数列单调递减， 若公差等于 0，则该数列是常数列，不具有单调性；三是会利用公式法求和，记清等差数列与 等比数列的前 n 项和公式，不要搞混 变式练 已知数列an的前 n 项和为 Sn，点(n，Sn)(nN*)在函数 yx210 x 的图象上， 等差数列bn满足 bnbn1an(nN*)，其前 n 项和为 Tn，则下列结论正确的是( ) ASn2Tn Bb40 CT7b7 DT5T6 微专题微专题(二十一二十一) 变式练 解析：因为点(n，Sn)(nN*)在函数 yx210 x 的图象上，所以，Snn210n，所以 an 2n11，又 bnbn1an(nN*)，数列bn为等差数列，设公差为 d，所以 2b1d9,2b1 3d7，解得 b15，d1，所以 bnn6，所以 b60，所以 T5T6，故选 D. 答案：D
