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2022届高三统考数学(文科)人教版一轮复习学案:微专题(二十三) 数列综合应用

1、微专题微专题(二十三二十三) 数列综合应用数列综合应用 专题 1 等差数列与等比数列的综合 例 1 2021 山东青岛二中检测已知等比数列an的各项均为正数,且 3a1, 1 2a3,2a2成等 差数列,则下列说法错误的是( ) Aa10 Bq0 C.a3 a23 或1 D. a6 a49 解析:设等比数列an的公比为 q,由题意得 2 1 2a3 3a12a2,即 a1q23a12a1q.因为 数列an的各项均为正数,所以 a10,且 q0,故 A,B 正确;由 q22q30,解得 q3 或 q1(舍),所以a3 a2 a1q2 a1qq3, a6 a4 a1q5 a1q3q 29,故 C

2、错误,D 正确,故选 C. 答案:C 名师点评 等差数列或等比数列问题常用“基本量法”:(1)等差数列均统一为关于 a1,d 的等式;等比数列均统一为关于 a1,q 的等式;(2)等差或等比数列常用方程思想分析问题 专题 2 数列与函数交汇 例 2 已知数列an满足 an2an1an1an,nN*,且 a5 2,若函数 f(x)sin 2x 2cos2x 2,记 ynf(an),则数列yn的前 9 项和为( ) A0 B9 C9 D1 解析:由题意知数列an是等差数列 a5 2,a1a9a2a8a3a7a4a62a5. f(x)sin 2x2cos2x 2, f(x)sin 2xcos x1.

3、 f(a1)f(a9)sin 2a1cos a11sin 2a9cos a912. 同理 f(a2)f(a8)f(a3)f(a7) f(a4)f(a6)2. f(a5)1, 数列yn的前 9 项和为 9. 答案:C 名师点评 在涉及函数与数列的综合题时,不仅要正确审题深抠函数的性质与数列的定 义,还要明确等差、等比数列的通项、求和公式的特征 专题 3 数列与不等式交汇 例 3 2021 山东威海模拟公比为 2 的等比数列an中存在两项 am, an满足 aman16a21, 则1 m 4 n的最小值为( ) A.3 2 B. 5 3 C. 4 3 D. 13 10 解析:由等比数列的通项公式知

4、 ama12m 1,a na12 n1,由 a man16a 2 1可得 a 2 12 m n216a2 1,易知 a10,故 2 mn216,解得 mn6,则1 m 4 n 1 6(mn) 1 m 4 n 1 6 14m n n m4 1 6 52 4m n n m 3 2(当且仅当 m2,n4 时取等号),故选 A. 答案:A 名师点评 在涉及数列与不等式的综合问题时,一般采取化归的思想将问题转化为我们 较熟悉的问题来解决,如基本不等式法、裂项相消求和、错位相减求和等 专题 4 数列与数学文化 例 4 中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健 步不为难,次日脚痛减

5、一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还”意思 为:有一个人要走 378 里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛,每天走的路程为前一天的 一半,走了 6 天恰好到达目的地,请问第三天走了( ) A192 里 B48 里 C24 里 D96 里 解析:由题意可知此人每天走的步数构成公比为1 2的等比数列, 由等比数列的求和公式可得, a1 1 1 2 6 11 2 378, 解得 a1192, a3a1q2192 1 2 248.故选 B. 答案:B 名师点评 对于数学文化中所涉及到的数列模型,解题时应认真审题,从问题背景中提 取相关信息并分析归纳,然后构造恰当的数列模型,再根据等差或

6、等比数列的有关公式求解 作答,必要时要进行检验 变式练 1 设函数 f(x)(x3)3x1,an是公差不为 0 的等差数列,f(a1)f(a2) f(a7)14,则 a1a2a7( ) A0 B7 C14 D21 变式练 2 2021 山东省实验中学、淄博实验中学、烟台一中、莱芜一中四校联考已知 等差数列an的公差不为零,Sn为其前 n 项和,S39,且 a21,a31,a51 构成等比数列, 则 S5_. 微专题微专题(二十三二十三) 变式练 1 解析:f(x)(x3)3x1, f(x)2(x3)3(x3) 令 g(x)f(x)2, g(x)关于(3,0)对称 f(a1)f(a2)f(a7)14, fa12 fa22 fa72 0, g(a1)g(a2)g(a7)0. g(a4)为 g(x)与 x 轴的交点 又 g(x)关于(3,0)对称,a43. a1a2a77a421. 答案:D 变式练 2 解析:设等差数列an的公差为 d,d0,S33a29,解得 a23,所以 2,2d,23d 构 成等比数列,则(2d)22(23d),解得 d2 或 d0(舍去),则 S55a35(a2d)25. 答案:25