1、微专题微专题(二十三二十三) 数列综合应用数列综合应用 专题 1 等差数列与等比数列的综合 例 1 2021 山东青岛二中检测已知等比数列an的各项均为正数，且 3a1， 1 2a3,2a2成等 差数列，则下列说法错误的是( ) Aa10 Bq0 C.a3 a23 或1 D. a6 a49 解析：设等比数列an的公比为 q，由题意得 2 1 2a3 3a12a2，即 a1q23a12a1q.因为 数列an的各项均为正数，所以 a10，且 q0，故 A，B 正确；由 q22q30，解得 q3 或 q1(舍)，所以a3 a2 a1q2 a1qq3， a6 a4 a1q5 a1q3q 29，故 C
2、错误，D 正确，故选 C. 答案：C 名师点评 等差数列或等比数列问题常用“基本量法”：(1)等差数列均统一为关于 a1，d 的等式；等比数列均统一为关于 a1，q 的等式；(2)等差或等比数列常用方程思想分析问题 专题 2 数列与函数交汇 例 2 已知数列an满足 an2an1an1an，nN*，且 a5 2，若函数 f(x)sin 2x 2cos2x 2，记 ynf(an)，则数列yn的前 9 项和为( ) A0 B9 C9 D1 解析：由题意知数列an是等差数列 a5 2，a1a9a2a8a3a7a4a62a5. f(x)sin 2x2cos2x 2， f(x)sin 2xcos x1.
3、 f(a1)f(a9)sin 2a1cos a11sin 2a9cos a912. 同理 f(a2)f(a8)f(a3)f(a7) f(a4)f(a6)2. f(a5)1， 数列yn的前 9 项和为 9. 答案：C 名师点评 在涉及函数与数列的综合题时，不仅要正确审题深抠函数的性质与数列的定 义，还要明确等差、等比数列的通项、求和公式的特征 专题 3 数列与不等式交汇 例 3 2021 山东威海模拟公比为 2 的等比数列an中存在两项 am， an满足 aman16a21， 则1 m 4 n的最小值为( ) A.3 2 B. 5 3 C. 4 3 D. 13 10 解析：由等比数列的通项公式知
4、 ama12m 1，a na12 n1，由 a man16a 2 1可得 a 2 12 m n216a2 1，易知 a10，故 2 mn216，解得 mn6，则1 m 4 n 1 6(mn) 1 m 4 n 1 6 14m n n m4 1 6 52 4m n n m 3 2(当且仅当 m2，n4 时取等号)，故选 A. 答案：A 名师点评 在涉及数列与不等式的综合问题时，一般采取化归的思想将问题转化为我们 较熟悉的问题来解决，如基本不等式法、裂项相消求和、错位相减求和等 专题 4 数列与数学文化 例 4 中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健 步不为难，次日脚痛减
5、一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”意思 为：有一个人要走 378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的 一半，走了 6 天恰好到达目的地，请问第三天走了( ) A192 里 B48 里 C24 里 D96 里 解析：由题意可知此人每天走的步数构成公比为1 2的等比数列， 由等比数列的求和公式可得， a1 1 1 2 6 11 2 378， 解得 a1192， a3a1q2192 1 2 248.故选 B. 答案：B 名师点评 对于数学文化中所涉及到的数列模型，解题时应认真审题，从问题背景中提 取相关信息并分析归纳，然后构造恰当的数列模型，再根据等差或
6、等比数列的有关公式求解 作答，必要时要进行检验 变式练 1 设函数 f(x)(x3)3x1，an是公差不为 0 的等差数列，f(a1)f(a2) f(a7)14，则 a1a2a7( ) A0 B7 C14 D21 变式练 2 2021 山东省实验中学、淄博实验中学、烟台一中、莱芜一中四校联考已知 等差数列an的公差不为零，Sn为其前 n 项和，S39，且 a21，a31，a51 构成等比数列， 则 S5_. 微专题微专题(二十三二十三) 变式练 1 解析：f(x)(x3)3x1， f(x)2(x3)3(x3) 令 g(x)f(x)2， g(x)关于(3,0)对称 f(a1)f(a2)f(a7)14， fa12 fa22 fa72 0， g(a1)g(a2)g(a7)0. g(a4)为 g(x)与 x 轴的交点 又 g(x)关于(3,0)对称，a43. a1a2a77a421. 答案：D 变式练 2 解析：设等差数列an的公差为 d，d0，S33a29，解得 a23，所以 2,2d,23d 构 成等比数列，则(2d)22(23d)，解得 d2 或 d0(舍去)，则 S55a35(a2d)25. 答案：25