1、微专题微专题(十九十九) 三角形的三角形的“心心”的向量表示及应用的向量表示及应用 1三角形各心的概念介绍 重心：三角形的三条中线的交点； 垂心：三角形的三条高线的交点； 内心：三角形的三个内角角平分线的交点(三角形内切圆的圆心)； 外心：三角形的三条边的垂直平分线的交点(三角形外接圆的圆心) 根据概念，可知各心的特征条件比如：重心将中线长度分成；垂线与对应边垂直； 角平分线上的任意点到角两边的距离相等；外心到三角形各顶点的距离相等 2三角形各心的向量表示 (1)O 是ABC 的重心OA OB OC 0； (2)O 是ABC 的垂心OA OB OB OC OC OA ； (3)O 是ABC 的
2、外心|OA |OB |OC |(或 OA2OB 2OC2)； (4)O 是ABC 的内心OA AB |AB | AC |AC | OB BA |BA | BC |BC | OC CA |CA | CB |CB | 0. 注意 向量 AB |AB | AC |AC | (0)所在直线过ABC 的内心(是BAC 的角平分线所在直线) 专题一 将平面向量与三角形外心结合考查 例 1 若 O 为ABC 内一点，|OA |OB |OC |，则 O 是ABC 的( ) A内心 B外心 C垂心 D重心 解析：由向量模的定义知 O 到ABC 的三顶点距离相等，故 O 是ABC 的外心，故选 B. 答案：B 专
3、题二 将平面向量与三角形垂心结合考查 例 2 点 P 是ABC 所在平面上一点，若PA PBPB PCPC PA，则点 P 是ABC 的 ( ) A外心 B内心 C重心 D垂心 解析：由PA PBPB PC ，得PA PBPB PC0，即PB (PAPC)0，即PB CA 0，则 PBCA. 同理 PABC，PCAB，所以 P 为ABC 的垂心故选 D. 讲评：本题考查平面向量有关运算，及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”、三角 形的垂心的定义等相关知识将三角形的垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零， 则两向量所在直线垂直”等相关知识巧妙结合 答案：D 专题三 将平面向量与三角形内心结
4、合考查 例 3 O 是平面上一定点，A，B，C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足OP OA AB |AB | AC |AC | ， (0，)，则点 P 的轨迹一定通过ABC 的( ) A外心 B内心 C重心 D垂心 解析： 因为 AB |AB |是向量AB 方向上的单位向量， 设AB与AC方向上的单位向量分别为 e 1和 e2， 又OP OA AP ， 则原式可化为AP(e 1e2)， 由菱形的基本性质可知 AP 平分BAC， 那么在ABC 中，AP 平分BAC，故选 B. 答案：B 专题四 将平面向量与三角形重心结合考查 例 4 点 P 是ABC 所在平面内任一点G 是ABC 的重心P
5、G 1 3(PA PBPC) 解析：PG PA AG PB BG PC CG ， 3PG (AG BG CG )(PA PBPC) 点 G 是ABC 的重心，GA GB GC 0. AG BG CG 0，即 3PG PA PBPC. 由此得PG 1 3(PA PBPC) 反之亦然(证略) 专题五 将平面向量与三角形四心结合考查 例 5 已知向量OP1 ，OP2 ，OP3 满足条件OP1 OP2 OP3 0，|OP1 |OP2 |OP3 |1， 求证：P1P2P3是正三角形 证明：由已知条件可得OP1 OP2 OP3 ，两边平方，得OP1 OP2 1 2. 同理OP2 OP3 OP3 OP1 1 2. |P1P2 |P2P3 |P3P1 | 3. 从而P1P2P3是正三角形