1、2020-2021 学年河南省南阳学年河南省南阳市市高三（上）期中质量评估数学试卷高三（上）期中质量评估数学试卷 一、选择题一、选择题 1. 集合 = *| = + 1, R+， = *| = 2, R+，则 等于( ) A.*1,2+ B.*0,1+ C.(0,+) D.*(0,1),(1,2)+ 2. 已知 1; = 1 + ，其中， R，则复数 在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3. 已知函数()的定义域,2,2-，则函数( 1)的定义域为( ) A.,2,2- B.,1,3- C.,3,1- D.,0,2- 4. 已知向量 = (,1
2、)， = (3, 2)，则 = 3是 / 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既不充分又不必要条件 D.充要条件 5. 已知：数列*+为等差数列，为其前项和若1= 2024，且2020 2020 2019 2019 = 3，则2021=( ) A.1 20212 B.2 20212 C.3 20212 D.4 20212 6. 函数 = ()的导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是( ) A.(1,3)为函数 = ()的递增区间 B.(3,5)为函数 = ()的递减区间 C.函数 = ()在 = 0处取得极大值 D.函数 = ()在 = 5处取得极小值 7. 在 中，角,所
3、对应的三边分别为,若 = 2cos,2+ 2 2= ,则下面式子中不可能 成立的是( ) A. B. = = C. D.sin2 + sin2 sinsin = 3 4 8. 已知： = log2 3 2， = log4 2 3， = . 3 2/ ;2，则，的大小关系是( ) A. B. C. D. 0)在, 3 , 4-上的最小值是2，但最大值不是2，则的取值范围是( ) A.(0,2) B.,3 2,2) C.(0,3 2- D.,2,+) 12. 已知函数() = ln 2+ 有两个不同的零点，则实数的取值范围是( ) A.(0,1) B.(,1) C.(0,+) D.(1, 1 )
4、二、填空题二、填空题 已知平面向量 ， ，| | = 1， = (1,3)， ( 2 )，则|2 + |的值是_. 已知：等比数列*+的前项和= 2 3，则5=_. 若函数() = sin.2 + 6/在区间00, 31和04, 7 6 1上均递增，则实数的取值范围是_. 已知函数()对 R均有() + 2() = 6，若() ln恒成立，则实数的取值范围是 _ 三、解答题三、解答题 已知数列 *+满足 1= 1，:1= 2+ 2. (1)判断数列*+ 2+否为等差数列，并说明理由； (2)记 为数列*+的前项和，求 . 如图，在四边形中， = 3，: = 2:3， = 7， . (1)求si
5、n的值； (2)若 = 2 3 ，求的长 已知数列*+是首项为2的等差数列，数列*+是公比为2的等比数列，且数列* +的前项和为 = 2:1( ). (1)求数列*+,*+的通项公式； (2)若1= 11，当 2时， ;1= ，求数列*+的通项. 已知函数() = 2+ + ，不等式() 0的解集为,1,3-. (1)求函数()的解析式； (2)求方程() = 4ln根的个数 在 中，角,所对应的三边分别为，sin,sin,sin成等比数列 (1)若 = 2，求cos的值； (2)当取得最大值时，求证：，成等差数列 已知函数() = 2 2 + ln( R) (1)若()在区间,1,2-上是单
6、调函数，求实数的取值范围； (2)若存在0 ,1,-，使得(0) + ( 2)0 0成立，求实数的取值范围 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题一、选择题 1. 【答案】 C 【考点】 交集及其运算 函数的值域及其求法 【解析】 根据一次函数的值域求出，根据指数函数的值域求出，再利用两个集合的交集的定义求出 【解答】 解： 集合 = *| = + 1, R+ = R = (,+)， = *| = 2, R+ = *| 0+ = (0,+)， 故 = (,+) (0,+) = (0,+). 故选 2. 【答案】 B 【考点】 复数代数形式的乘除运算 复数的代数表示法及其几何意义 【解
7、析】 把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，利用复数相等的条件求得，得答案 【解答】 解：由 1; = 1 + ， 得 = (1 + )(1 ) = ( 1) + ( + 1)， 则 + 1 = 0， = 1. 即 = 2， = 1. 即复数 在复平面内对应的点的坐标为(2,1)，位于第二象限 故选. 3. 【答案】 B 【考点】 函数的定义域及其求法 抽象函数及其应用 【解析】 由函数()的定义域为,2,2-，知函数( 1)的定义域为*| 2 1 2+，由此能求出结果 【解答】 解：函数()的定义域为,2,2-， 则函数( 1)的定义域为*| 2 1 2+， 即*| 1 3+. 故
8、选 4. 【答案】 A 【考点】 平行向量的性质 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【解析】 向量 = (,1)， = (3, 2)， / ，则3( 2)，即2 2 30，3或者1，判断出即 可 【解答】 解：向量 = (,1)， = (3, 2)， / ，则3 = ( 2). 即2 2 3 = 0， 解得 = 3或 = 1， 所以3是 / 的充分不必要条件. 故选. 5. 【答案】 D 【考点】 等差数列的前 n 项和 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：设= 2+ ( 0)，则 = + 解：数列*+是等差数列，设公差为1， 则 = 1+ ;1 2 1= 1 2 + (1 1 21)，
9、可知：数列 * + 是等差数列， 1= 2024 ,2020 2020 2019 2019 = 3 2 3的首项为 2024，公差为3的等差数列， 2021= 4 20212. 故选. 6. 【答案】 C 【考点】 利用导数研究函数的单调性 导数的几何意义 利用导数研究函数的极值 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：由函数 = ()的导函数()的图象知， 当 1及3 5时，() 0，()单调递减； 当1 5时，() 0，()单调递增， 所以()的单调递减区间为(,1)和(3,5)， 单调递增区间为(1,3)和(5,+)， 所以()在 = 1，5处取得极小值， 在 = 3处取得极大值， 因此是
10、错误的. 故选. 7. 【答案】 C 【考点】 余弦定理 正弦定理 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解： = 2cos,2+ 2 2= ， cos = 2:2;2 2 = 2 = 1 2， 又 sin = sin = sin = 2, sin2 + cos2 = 1， sin2 + sin2 sinsin = 3 4， 又 = 2cos,正弦定理得sin = sin2， = 2或 = 2, 不可能成立. 故选. 8. 【答案】 A 【考点】 指数式、对数式的综合比较 【解析】 利用对数函数的单调性和中间量0和1 2比较大小 【解答】 解：由 = log2 3 2 log22 = 1 2， =
11、 log4 2 3 log41 = 0， = .3 2/ ;2 = .2 3/ 2 = 4 9 1 2， 可得 0，() = ( + 2) + 1在,1,2-上单调递增，不符合题意； 由() = ( 1)2+ ( + 2) + 1在,1,2-上单调递减， ()的对称轴为 = :2 2(;1)， 当 1 0， 1， = :2 2(;1) 2，得4 + 2， 因为 2， 即3 + 2 = 4 + + 4. 当 1 0， 0)在, 3 , 4-上的最小值是2，但最大值不是2， 的取值范围是, 3 , 4 -； 3 2且 4 2， 解得3 2 2， 的取值范围是,3 2,2) 故选. 12. 【答案】
12、 A 【考点】 函数零点的判定定理 利用导数研究函数的极值 【解析】 不妨令() = ln， () = 2 ， 将零点问题转化为交点问题， 而() = ( 1)， 0时， ()和 ()只有一个交点，通过图象一目了然 【解答】 解：若函数() = ln 2+ 有两个不同的零点， 不妨令() = ln，() = 2 ， 将零点问题转化为交点问题， 而() = ( 1)， 0时，()和()只有一个交点， 0 1时，没有交点， 故选. 二、填空题二、填空题 【答案】 10 【考点】 数量积判断两个平面向量的垂直关系 平面向量数量积的运算 向量的模 【解析】 将向量垂直关系转化为向量的数量积等于零，解得
13、 = 1 2，然后再利用向量模的公式求解即可. 【解答】 解：由题意| | = 1,| | = 2， ( 2 )， 所以 ( 2 ) = 2 2 = 0，所以 = 1 2， 所以|2 + | 2 = 4 2 + 4 + 2 = 4 + 2 + 4 = 10， 则|2 + | = 10. 故答案为：10. 【答案】 48 【考点】 等比数列的前 n 项和 等比数列的性质 【解析】 1 【解答】 解： = 2 3, 1= 1= 2 3，2= 2 1= 2， 3= 3 2= 4, 22= 1 3， 即42= 4(2 3), 解得 = 3或 = 0（舍去） ， 5= 5 4= 25 3 ( 24 3)
14、 = 16 = 3 16 = 48. 故答案为：48. 【答案】 , 6 ， 7 24) 【考点】 函数 y=Asin（x+）的性质 正弦函数的单调性 【解析】 由题意先求函数 = ( + )的单调增区间，然后根据题意得到集合的包含关系，即00, 2 3 1 0 3 , 61， 04, 7 6 1 02 3 , 7 6 1，从而可以求得的范围 【解答】 解：对于() = sin.2 + 6/， 由 2 + 2 2 + 6 2 + 2， Z， 解得 3 + 6， Z. 可得()的单调增区间为, 3, + 6-， Z. 要使得()在区间00, 31 ，04, 7 6 1上均单调递增， 则00, 3
15、1 0 3 , 61，04, 7 6 1 02 3 , 7 6 1， 所以 3 6， 7 6 4 2 3 ， 解得即 6 0 . 又 = 7， = 3， 所以由余弦定理， 得(7) 2 = (3)2+ (2)2 2 3 2 cos 3， 解得 = 1， 所以 = 2， = 3 . sin = sin = 2 3 2 7 = 21 7 . (2)因为 ， 所以cos = sin = 21 7 ， 所以sin = 27 7 ， 因为 sin = sin， 所以 = 7 27 7 3 2 = 43 3 . 【考点】 余弦定理 正弦定理 解三角形 【解析】 解：(1)因为: = 2:3， 所以可设 =
16、 2， = 3， 0 . 又 = 7， = 3， 所以由余弦定理， 得(7) 2 = (3)2+ (2)2 2 3 2cos 3， 解得 = 1， 所以 = 2， = 3 . sin = sin = 2 3 2 7 = 21 7 . （2）因为 ，所以cos = sin = 21 7 ，所以sin = 27 7 ， 因为 sin = ， 所以 = 7 27 7 3 2 = 43 3 . 【解答】 解：(1)因为: = 2:3， 所以可设 = 2， = 3， 0 . 又 = 7， = 3， 所以由余弦定理， 得(7) 2 = (3)2+ (2)2 2 3 2 cos 3， 解得 = 1， 所以
17、= 2， = 3 . sin = sin = 2 3 2 7 = 21 7 . (2)因为 ， 所以cos = sin = 21 7 ， 所以sin = 27 7 ， 因为 sin = sin， 所以 = 7 27 7 3 2 = 43 3 . 【答案】 解：(1)设数列*+的公差为，则 = 2 + ( 1)，= 1 2;1， 则1= 11= 21= 1 22= 4 . 求得1= 2， = 2 . 而2= 2 23= 16， 即11+ 22= 4 + (2 + ) 4 = 16 . 解得 = 1 . = 2 + 1 = + 1 . 数列*+的通项公式为= + 1( N) ， 数列*+的通项公式
18、为= 2( N) . (2)当 2时， ;1= ， 故( ;1) + (;1 ;2) + ( ;2 ;3) + + (2 1 ) = + ;1;1+ + 22， 可得= 11+ 22+ + ， 故= = 2:1 . 【考点】 数列递推式 等差数列的通项公式 等比数列的通项公式 数列的求和 【解析】 解：(1)设数列*+的公差为，则 = 2 + ( 1)，= 1 2;1， 则1= 11= 21= 1 22= 4 . 求得1= 2， = 2 . 而2= 2 23= 16， 即11+ 22= 4 + (2 + ) 4 = 16 . 解得 = 1 . = 2 + 1 = + 1 . 数列*+的通项公式
19、为= + 1( N:) ， 数列*+的通项公式为= 2( N:) . (2)方法一：当 2时, ;1= ， 故( ;1) + (;1 ;2) + (;2 ;3) + (2 1) = + ;1;1+ + 22， 可得，= 11+ 22+ + ， = 2 21+ 3 22+ 4 21+ + ( + 1) 2， 2= 2 22+ 3 24+ 4 24+ + ( + 1) 2:1， 两式相减得：= 4 + (22+ 23+ 24+ + 2) ( + 1) 2:1， 故= 2:1 . 方法二：当 2时， ;1= ，故 ( ;1) + (;1 ;2) + (;2 ;3) + (2 1) = + ;1;1+
20、 + 22， 可得，= 11+ 22+ + ， 故= = 2:1 . 【解答】 解：(1)设数列*+的公差为，则 = 2 + ( 1)，= 1 2;1， 则1= 11= 21= 1 22= 4 . 求得1= 2， = 2 . 而2= 2 23= 16， 即11+ 22= 4 + (2 + ) 4 = 16 . 解得 = 1 . = 2 + 1 = + 1 . 数列*+的通项公式为= + 1( N) ， 数列*+的通项公式为= 2( N) . (2)当 2时， ;1= ， 故( ;1) + (;1 ;2) + ( ;2 ;3) + + (2 1 ) = + ;1;1+ + 22， 可得= 11+
21、 22+ + ， 故= = 2:1 . 【答案】 解：(1) 不等式() 0的解集为,1,3-， 2+ + = 0的两个根分别为1和3， = (1)+ 3， = (1) 3. 即 = 2， = 3， 故函数()的解析式为() = 2 2 3 (2)由(1)，设() = 2;2;3 4ln = 3 4ln 2， 所以()的定义域为(0,+)， () = 1 + 3 2 4 = (;1)(;3) 2 . 令() = 0，得1= 1，2= 3， 当变化时，()，()的取值变化情况如下表： (0,1) 1 (1,3) 3 (3,+) () + 0 0 + () 极大值 极小值 当0 3时，() (1)
22、 = 4 3时， (5) = 5 3 5 20 2 25 1 22 = 9 0 又因为()在(3,+)上单调递增， 因而()在(3,+)上只有1个零点， 故()仅有1个零点即方程() = 4ln有且只有一个根 . 【考点】 根的存在性及根的个数判断 利用导数研究函数的单调性 函数的零点 【解析】 （1） 不等式() 0的解集为,1,3-， 2+ + = 0的二根分别为1和3, = (1) + 3 = (1) 3 即 = 2, = 3， 故函数()的解析式为() = 2 2 3 （2）由（1） ，设() = 2;2;3 4ln = 3 4ln 2， ()的定义域为(0,+),() = 1 + 3
23、 2 = 4 = (;1)(;3) 2 . 令() = 0，得1= 1,2= 3， 当变化时，()，()的取值变化情况如下表： (0,1) 1 (1,3) 3 (3,+) () + 0 0 + () 极大值 极大值 当0 3，() (1) = 4 3时， (5) = 5 3 5 20 2 25 1 22 = 9 0 又因为()在(3,+)单调递增， 因而()在(3,+)上只有1个零点， 故()仅有1个零点即方程() = 4ln有且只有一个根 . 【解答】 解：(1) 不等式() 0的解集为,1,3-， 2+ + = 0的二根分别为1和3， = (1)+ 3， = (1) 3. 即 = 2， =
24、 3， 故函数()的解析式为() = 2 2 3 (2)由(1)，设() = 2;2;3 4ln = 3 4ln 2， 所以()的定义域为(0,+)， () = 1 + 3 2 4 = (;1)(;3) 2 . 令() = 0，得1= 1，2= 3， 当变化时，()，()的取值变化情况如下表： (0,1) 1 (1,3) 3 (3,+) () + 0 0 + () 极大值 极小值 当0 3时，() (1) = 4 3时， (5) = 5 3 5 20 2 25 1 22 = 9 0 又因为()在(3,+)上单调递增， 因而()在(3,+)上只有1个零点， 故()仅有1个零点即方程() = 4l
25、n有且只有一个根 . 【答案】 解：(1)因为sin，sin，sin成等比数列， 所以sin2 = sin sin， 则2= 又因为 = 2，故 = 2 . cos = 2:2;2 2 = 2:42;22 42 = 3 4 (2)因为cos = 2:2;2 2 = 2:2; 2 2; 2 = 1 2， 又函数 = cos在(0,)是单调递减的，故= 3， 又因为 + + = ，所以 + = 2 3 = 2， 即，成等差数列 【考点】 余弦定理 正弦定理 等比中项 数列与三角函数的综合 【解析】 （1）因为sin、sin、sin成等比数列，所以sin2 = sin sin， 则2= 又因为 =
26、2，故 = 2 . cos = 2:2;2 2 = 2:42;22 42 = 3 4 （2）因为cos = 2:2;2 2 = 2:2; 2 2; 2 = 1 2， 又函数 = cos在(0,)是单调减少的，故= 3， 又因为 + + = ，所以 + = 2 3 = 2， 即、成等差数列 【解答】 解：(1)因为sin，sin，sin成等比数列， 所以sin2 = sin sin， 则2= 又因为 = 2，故 = 2 . cos = 2:2;2 2 = 2:42;22 42 = 3 4 (2)因为cos = 2:2;2 2 = 2:2; 2 2; 2 = 1 2， 又函数 = cos在(0,)
27、是单调递减的，故= 3， 又因为 + + = ，所以 + = 2 3 = 2， 即，成等差数列 【答案】 解：(1)() = 2 2 + = 22;2: ， 若()在区间,1,2-上是单调递增，则() 0， 即 22 2;1在,1,2-上恒成立. 设() = 22 2;1 = 2;1 2 + 1 2(2;1) + 1 2， 当且仅当 = 1时成立， 易得()min= (1) = 2，故 2 若()在区间,1,2-上是单调递减，则() 0， 即22 2 + 0在,1,2-上恒成立. 故只须2 2 2 2 2 + 0， 2 12 2 1 + 0. 解之得 8 3， 综上， 2或 8 3 (2)由题
28、意知，不等式(0)+ ( 2)0 0在区间,1,-上有解， 即2 2 + (ln ) 0在区间,1,-上有解 因为当 ,1,-时，ln 1 （不同时取等号） ， ln 0， 所以 2;2 ;ln在区间,1,-上有解 令() = 2;2 ;ln，则 () = (;1)(:2;2ln) (;ln)2 ， 因为 ,1,-，所以 + 2 2 2ln， 所以() 0，()在,1,-上单调递增， 所以 ,1,-时，()max= () = (;2) ;1 ， 所以 (;2) ;1 ， 所以实数的取值范围是., (;2) ;1 1 【考点】 利用导数研究函数的单调性 导数在最大值、最小值问题中的应用 利用导数
29、研究不等式恒成立问题 【解析】 无 无 【解答】 解：(1)() = 2 2 + = 22;2: ， 若()在区间,1,2-上是单调递增，则() 0， 即 22 2;1在,1,2-上恒成立. 设() = 22 2;1 = 2;1 2 + 1 2(2;1) + 1 2， 当且仅当 = 1时成立， 易得()min= (1) = 2，故 2 若()在区间,1,2-上是单调递减，则() 0， 即22 2 + 0在,1,2-上恒成立. 故只须2 2 2 2 2 + 0， 2 12 2 1 + 0. 解之得 8 3， 综上， 2或 8 3 (2)由题意知，不等式(0)+ ( 2)0 0在区间,1,-上有解， 即2 2 + ln ) 0在区间,1,-上有解 因为当 ,1,-时，ln 1 （不同时取等号） ， ln 0， 所以 2;2 ;ln在区间,1,-上有解 令() = 2;2 ;ln，则 () = (;1)(:2;2ln) (;ln)2 ， 因为 ,1,-，所以 + 2 2 2ln， 所以() 0，()在,1,-上单调递增， 所以 ,1,-时，()max= () = (;2) ;1 ， 所以 (;2) ;1 ， 所以实数的取值范围是., (;2) ;1 1.