1、 选修选修 45 不等式选讲不等式选讲 第一节第一节 绝对值不等式绝对值不等式 【知识重温】【知识重温】 一、必记 2 个知识点 1含有绝对值的不等式定理 (1)定理：对任意实数 a 和 b，有_，其中等号成立的条件为 ab0. (2)定理中的 b 以b 代替，则有|ab|a|b|.其中等号成立的条件为_. (3)对任意实数 a 和 b，有|a|b|a b|a|b|. 2绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|a 与|x|a 的解集： 不等式 a0 a0 a0 |x|a _ _ _ |x|a _ _ _ (2)|axb|c(c0)和|axb|c(c0)型不等式的解法： ()|axb|c
2、caxbc； ()|axb|caxbc 或 axbc. (3)|xa|xb|c(c0)和|xa|xb|c(c0)型不等式的解法 ()利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想 ()利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想 ()通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想 二、必明 2 个易误点 1利用均值不等式必须要找准“对应点”，明确“类比对象”，使其符合几个重要不等 式的特征 2注意检验等号成立的条件，特别是多次使用不等式时，必须使等号同时成立 考点一 绝对值三角不等式性质的应用 互动讲练型 例 1 2016 江苏卷设 a0，|x1|a 3，|y2| a 3，求证
3、：|2xy4|3 的解集为_ 22020 江苏卷设 xR，解不等式 2|x1|x|f(x1)的解集 悟 技法 解绝对值不等式的基本方法 (1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式 (2)当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通 不等式 (3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解. 考点三 与绝对值不等式有关的参数范围问题 互动讲练型 例 2 2020 全国卷已知函数 f(x)|xa2|x2a1|. (1)当 a2 时，求不等式 f(x)4 的解集； (2)若 f(x)4，求 a 的取值范围 悟 技法 1.研究含有绝对值的函数问题时，根
4、据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，转化为分段 函数，然后利用数形结合解决，是常用的思想方法 2f(x)a 恒成立f(x)maxa；f(x)a 恒成立f(x)mina. 变式练(着眼于举一反三) 22021 惠州市高三调研考试已知 f(x)|x1|axa1|. (1)当 a1 时，求不等式 f(x)3 的解集； (2)若 x1 时，不等式 f(x)x2 恒成立，求 a 的取值范围 选修选修 45 不等式选讲不等式选讲 第一节第一节 绝对值不等式绝对值不等式 【知识重温】【知识重温】 |ab|a|b| ab0 x|axa x|xa 或 xa x|xR 且 x0 R 课堂考点突破课堂考点突破
5、考点一 例 1 证明：因为|x1|a 3，|y2| a 3， 所以|2xy4|2(x1)(y2)|2|x1|y2|3，得 2x13，即 x2. 答案：x|x2 2解析：当 x0 时，原不等式可化为 2x2x4，解得 0 x2 3； 当1x0 时，原不等式可化为 2x2x4，解得1x0； 当 x1 时，原不等式可化为2x2x4，解得2x1. 综上，原不等式的解集为 x 2x2 3 . 3解析：(1)由题设知 f(x) x3，x1 3， 5x1，1 31. yf(x)的图象如图所示 (2)函数 yf(x)的图象向左平移 1 个单位长度后得到函数 yf(x1)的图象 yf(x)的图象与 yf(x1)
6、的图象的交点坐标为 7 6， 11 6 . 由图象可知当且仅当 xf(x1)的解集为 ，7 6 . 考点三 例 2 解析：(1)当 a2 时，f(x) 72x，x3， 1，34. 因此，不等式 f(x)4 的解集为 x x3 2或x 11 2 . (2)因为 f(x)|xa2|x2a1|a22a1|(a1)2，故当(a1)24，即|a1|2 时， f(x)4.所以当 a3 或 a1 时，f(x)4. 当1a3 时，f(a2)|a22a1|(a1)24. 所以 a 的取值范围是(，13，) 变式练 2解析：(1)解法一 当 a1 时，不等式 f(x)3，即|x1|x|3. 当 x1 时，x1x3
7、，解得 x2，所以 x2； 当1x0 时，x1x3，无解； 当 x0 时，x1x3，解得 x1，所以 x1. 综上，不等式 f(x)3 的解集为(，21，) 解法二 当 a1 时，f(x)|x1|x| 2x1，x1 1，1x0 2x1，x0 ， 当 x1 时，2x13，解得 x2，所以 x2； 当1x0 时，无解； 当 x0 时，2x13，解得 x1，所以 x1. 综上，不等式 f(x)3 的解集为(，21，) (2)解法一 当 x1 时，不等式 f(x)x2，即|axa1|1. 令 g(x)a(x1)1，则 g(x)的图象为过定点(1,1)且斜率为 a 的一族直线， 数形结合可知，当 a0 时，|axa1|1 在1，)上恒成立 所以，所求 a 的取值范围为0，) 解法二 当 x1 时，不等式 f(x)x2，即|axa1|1. 所以 axa11 或 axa11， 即 a(x1)2 或 a(x1)0. 当 x1 时，aR，不等式 a(x1)2 不恒成立， 当 x1 时，为使不等式 a(x1)0 恒成立，则 a0. 所以，所求 a 的取值范围为0，)