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2020-2021学年河南省南阳市高三(下)5月月考数学(理)试卷(含答案)

1、2020-2021 学年河南省南阳市高三(下)学年河南省南阳市高三(下)5 月月考数学(理)试卷月月考数学(理)试卷 一、选择题一、选择题 1. 设集合 = *|2 1 0+, = *|1 2 0+,则 () =( ) A.01, 1 21 B.(,1- C.01 2,11 D.,1,+) 2. 设复数满足 为纯虚数,在复平面内所对应的点的坐标为(,),则( ) A. = 0 B. + = 0 C.( )( + ) = 0 D.2+ 2= 1 3. 数据显示2021年3月以来文化类旅游的市场占比显著提升, 某旅游服务平台收集并整理了2021年3月1日 至7日期间某文化类景区门票日订单量(单位:

2、万张)和增长速度的数据,绘制了右边的统计图则下列结 论正确的是(增长速度=(本期数上期数)/上期数) ( ) A.7天的增长速度逐日增加 B.7天中有3天的增长速度为正 C.7天的增长速度的平均值为负 D.3月6日的订单量约为3.19(万张) 4. 函数() = |( )的部分图象大致为( ) A. B. C. D. 5. 九章算术是中国古代张苍,耿寿昌所撰写的一部数学专著,全书总结了战国,秦,汉时期的数学成 就 其中有如下问题: “今有五人分五钱, 令上二人所得与下三人等, 问各得几何?”其意思为“今有5人分5钱, 各人所得钱数依次为等差数列,其中前2人所得之和与后3人所得之和相等,问各得多

3、少钱?”则第4人所 得钱数为( ) A.1 2钱 B.2 3钱 C.5 6钱 D.1钱 6. 已知 = 2, = 3 1 3, = log32,则( ) A. B. C. D. 7. 已知点,分别为圆锥的顶点和底面圆心, 为圆锥底面的内接正三角形, = ,则异面直 线与所成角的余弦值为( ) A.1 6 B. 3 6 C.1 3 D. 3 3 8. 已知,是抛物线 :2= 上的点,是轴上的点, 轴, 为等边三角形,则的横坐标 为( ) A.1 3 B.4 3 C.3 D.16 3 9. 已知点,在圆上,| + | = | |, = ,则2+ 2=( ) A.1 2 B.1 C.3 2 D.2

4、10. 10个不同的数排成4行, 第1行1个数, 第2行2个数, 第3行3个数, 第4行4个数, 设是第( = 1,2,3,4)行 中的最大数,则1 2 3 0时,() 1,则使得() 成 立的的取值范围是( ) A.(,1) (0,1) B.(1,0) (1,+) C.(,1) (1,+) D.(1,0) (0,1) 12. 已知正方体木块 1111的棱长为4,分别是棱,1上的点, 是边 长为22的等边三角形, 若将正方体木块切割成以 为底面的直三棱柱, 则三棱柱的高的最大值为 ( ) A.2 B.22 C.23 D.4 二、填空题二、填空题 设,满足约束条件 + 2, 2, 2 + 3 6

5、, 则 = + 的最小值为_. 已知函数() = 3, 0, 2, 0, 0)的左焦点为,为坐标原点,为双曲线右支上一点, | | = 2,则双曲线的离心率的取值范围是_. 已知数列*+满足1= 1,+1= 2 + ,数列*+的前项和为,+1= 若100 0)的离心率为 2 2 ,过左焦点且与轴垂直的弦长为2 (1)求椭圆的方程; (2)已知, 为椭圆上两点, 为坐标原点, 斜率为的直线经过点.0, 1 2/, 若, 关于对称, 且 , 如 果存在这样的直线,求出直线的方程,若不存在,请说明理由 已知函数() = 2+ ln (1)判断函数()的单调性,并证明()有且仅有一个零点; (2)若(

6、 ) ln(),求的取值范围 在直角坐标系中,曲线1的参数方程为2 = + cos, = + sin (为参数) ,以坐标原点为极点,轴的正半轴 为极轴建立极坐标系,曲线2的极坐标方程为 = 2cos (1)若2+ 2= 1,1与2有且只有1个公共点,求; (2)若 = = 2 2 ,曲线1,2交于,两点,求|2 已知,为正数,函数() = | | + | + |的值域为,1 ,+) (1)若 = 1,证明: + 2; (2)若 0,证明:(1)(1)(1) 8 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题一、选择题 1. 【答案】 A 【考点】 交、并、补集的混合运算 【解析】 无 【解

7、答】 解: = *| 1 1+, = 2| 1 23, = 2| 1 23, 则 () = 2| 1 1 23 = 01, 1 21 故选 2. 【答案】 C 【考点】 复数的代数表示法及其几何意义 复数代数形式的乘除运算 共轭复数 【解析】 【解答】 解:由题意可知 = + , = , 则 = + = (+)2 ()(+) = 22 2+2 + 2 2+2 , 若为纯虚数则2 2= 0, 即( )( + ) = 0 故选 3. 【答案】 D 【考点】 频率分布折线图、密度曲线 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解:结合统计图可知,3日,4日和7日的增长速度比前一天均下降,选项不正确; 7天中

8、,2日,5日,6日和7日的增长速度均为正,选项不正确; 根据统计图可知7天的增长速度的平均值为正,选项不正确; 3月5日的订单量约为2.2(万张) ,则3月6日的订单量约为2.2 (1 + 0.45) = 3.19(万张) ,选项正确 故选 4. 【答案】 C 【考点】 函数的图象 【解析】 判断函数的奇偶性即可 【解答】 解:因为() = ( )| | = ( )| = (), 所以()为奇函数,其图象关于原点对称,排除选项. 当 0时, 1,0 0,且| 0, 故 () = |( ) 0,排除选项. 故选. 5. 【答案】 C 【考点】 等差数列的前 n 项和 等差数列的通项公式 数列的应

9、用 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解:设从前到后的5个人所得钱数构成首项为1,公差为的等差数列*+, 则有1+ 2= 3+ 4+ 5,1+ 2+ 3+ 4+ 5= 5, 故1 + 8 = 0, 1+ 2 = 1,解得 1= 4 3, = 1 6, 则4= 1+ 3 = 4 3 1 2 = 5 6 故选 6. 【答案】 C 【考点】 指数式、对数式的综合比较 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解:由 = 2 1, = 3 1 3 30= 1, 可得6= .2 1 2/ 6 = 23= 8,6= .3 1 3/ 6 = 32= 9, 则有6 6,所以1 ; = log32 log33 = 1,

10、则 故选 7. 【答案】 B 【考点】 异面直线及其所成的角 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解:如图所示,连接,延长交于点,取中点,连接, 因为 为正三角形,且为 的外心,所以为的中点,故/, 则即为异面直线与所成的角设 = = 2,则 = 1, = 3 由题意可知 为等边三角形,则 = 3,在 中,cos = 2+22 2 = 3 6 故选 8. 【答案】 B 【考点】 直线与抛物线的位置关系 抛物线的标准方程 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解:设( 2,),(2,),因为 为等边三角形,所以点为线段的中垂线与抛物线的交点, 即= 1 2,且| 2 2| = | 3 2 |,解得|

11、= 23 3 ,从而 2 = 4 3 故选 9. 【答案】 B 【考点】 向量的模 平面向量数量积 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解:由| + | = | |得. + / 2 = . / 2 , 则有 2 + 2 + 2 = 2 2 + 2,即 = 0, 依题意得| | = | | = | |,把 = 两边平方得 2| |2+ 2| |2 2 = | |2, 即2| |2+ 2| |2= | |2,所以2+ 2= 1 故选 10. 【答案】 B 【考点】 古典概型及其概率计算公式 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解:最大一个数在第4行的概率为 4 10 = 2 5, 在任意排好第4行后,

12、余下的6个数排在前3行,符合要求的排列的概率为3 6 = 1 2,在任意排好第3行后,余下 的3个数排在前2行,符合要求的排列的概率为2 3,故1 2 3 1( 0),可得() 1 0, 令() = () ,则() = () 1 0,故()在(0,+)上单调递增 因为(1) = 1,所以(1) = (1)+ 1 = 0. 又因为()为奇函数,所以() = () 为奇函数, 所以(1) = 0,且在区间(,0)上,()单调递增, 所以使得() ,即() 0成立的的取值范围是(1,0) (1,+) 故选 12. 【答案】 C 【考点】 棱柱的结构特征 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解:由题意可

13、知,分别是棱,1的中点如图所示,连接11,1 ,1并分别取它 们的中点1,1,1,连接1,1,1,11,11,11, 则1/1,1/1,1/1,且1= 1= 1= 1 21, 因为1平面,所以1平面,1平面,1平面, 故三棱柱 111为直三棱柱,高 = 1= 1 2 = 23,且此时三棱柱的高最大 故选 二、填空题二、填空题 【答案】 14 5 【考点】 求线性目标函数的最值 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解:作出可行域如图中阴影部分所示,结合图形可知, 当直线 = + 过点. 12 5 , 2 5/时, 取最小值,min= 12 5 2 5 = 14 5 故答案为: 14 5 【答案】

14、0 【考点】 分段函数的应用 不等式恒成立问题 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解:当 0时,|()| = 3 ,即(2 ) 0恒成立,则有 0; 当 0,则+1 = 2 0, *+为递增数列 1= 1, 0 1 101 1, 100= 1 1 101 (0,1), 的最小值为1 故答案为:1. 三、解答题三、解答题 【答案】 解:(1)由题设可得,(sin + cos) = , 由正弦定理,可得sinsin + cossin = sin. 又因为 = ( + ), 所以sin = sin( + ) = sincos + cossin, 所以sinsin = sincos. 因为, (0,)

15、, 所以得sin = cos,则 = 4 (2)因为 = 2, = 2, 由余弦定理得,(2) 2 + 2 2 2 cos 4 = 4, 整理得2= 4, 故 = 2, = 22, 的面积 = 1 2sin = 2 【考点】 正弦定理 余弦定理 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解:(1)由题设可得,(sin + cos) = , 由正弦定理,可得sinsin + cossin = sin. 又因为 = ( + ), 所以sin = sin( + ) = sincos + cossin, 所以sinsin = sincos. 因为, (0,), 所以得sin = cos,则 = 4 (2)因为

16、 = 2, = 2, 由余弦定理得,(2) 2 + 2 2 2 cos 4 = 4, 整理得2= 4, 故 = 2, = 22, 的面积 = 1 2sin = 2 【答案】 (1)证明:连接1, 因为四边形11为菱形, 所以1 1 因为 , 1, 1= , 所以 平面11,且1 平面11,所以1 因为/11,所以1 11, 又因为1 11= 1,所以1 平面11, 又1平面11,所以1 1 (2)解:由(1)知 平面11, 所以平面11平面, 作1 于点,则1 平面, 因为四边形11为菱形,1 = 60,所以 1为等边三角形, 所以为的中点 以为坐标原点, , ,1 的方向分别为轴,轴,轴的正

17、方向, 建立如图所示的空间直角坐标系 设 = = 1 = 2,则(1,0,0),(1,2,0),1(2,2,3),(1,0,0), = (2,2,0), = (0,2,0),1 = (1,0,3), 设平面1的一个法向量为1 = (1,1,1), 所以1 = 0, 1 1 = 0, 则21 + 21= 0, 1+ 31= 0, 可取1 = (3,3,1), 设平面1的一个法向量为2 = (2,2,2), 所以2 = 0, 2 1 = 0, 则22 = 0, 2+ 32= 0, 可取2 = (3,0,1) cos1 ,2 = 1 2 |1 |2 | = 4 74 = 27 7 , 所以二面角 1

18、 的余弦值为27 7 【考点】 两条直线垂直的判定 二面角的平面角及求法 用空间向量求平面间的夹角 【解析】 此题暂无解析 【解答】 (1)证明:连接1, 因为四边形11为菱形, 所以1 1 因为 , 1, 1= , 所以 平面11,且1 平面11,所以1 因为/11,所以1 11, 又因为1 11= 1,所以1 平面11, 又1平面11,所以1 1 (2)解:由(1)知 平面11, 所以平面11平面, 作1 于点,则1 平面, 因为四边形11为菱形,1 = 60,所以 1为等边三角形, 所以为的中点 以为坐标原点, , ,1 的方向分别为轴,轴,轴的正方向, 建立如图所示的空间直角坐标系 设

19、 = = 1 = 2,则(1,0,0),(1,2,0),1(2,2,3),(1,0,0), = (2,2,0), = (0,2,0),1 = (1,0,3), 设平面1的一个法向量为1 = (1,1,1), 所以1 = 0, 1 1 = 0, 则21 + 21= 0, 1+ 31= 0, 可取1 = (3,3,1), 设平面1的一个法向量为2 = (2,2,2), 所以2 = 0, 2 1 = 0, 则22 = 0, 2+ 32= 0, 可取2 = (3,0,1) cos1 ,2 = 1 2 |1 |2 | = 4 74 = 27 7 , 所以二面角 1 的余弦值为27 7 【答案】 解:(1

20、)由已知数据和参考数据得 = 2+3+4+5 4 = 3.5, = 26+39+49+54 4 = 42, . / 4 =1 . / = 47, . / 2 4 =1 = 5,. / 2 4 =1 2.2, = 47 2.221.4 0.998 因为与的相关系数近似为0.998, 说明与的线性相关程度相当高, 从而可以用线性回归模型拟合与的 关系 (2) = . / 4 =1 . / . / 2 4 =1 = 47 5 = 9.4 , = = 42 9.4 3.5 = 9.1 所以回归方程为 = 9.4 + 9.1 (3)当 = 9时, = 9.4 9 + 9.1 = 93.7 100, 所以

21、,到2025年沙漠治理面积可突破100万亩 【考点】 相关系数 求解线性回归方程 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解:(1)由已知数据和参考数据得 = 2+3+4+5 4 = 3.5, = 26+39+49+54 4 = 42, . / 4 =1 . / = 47, . / 2 4 =1 = 5,. / 2 4 =1 2.2, = 47 2.221.4 0.998 因为与的相关系数近似为0.998, 说明与的线性相关程度相当高, 从而可以用线性回归模型拟合与的 关系 (2) = . / 4 =1 . / . / 2 4 =1 = 47 5 = 9.4 , = = 42 9.4 3.5 = 9

22、.1 所以回归方程为 = 9.4 + 9.1 (3)当 = 9时, = 9.4 9 + 9.1 = 93.7 100, 所以,到2025年沙漠治理面积可突破100万亩 【答案】 解:(1)设 = 2 2,则(,0), 令 = ,则2= 4 2,从而 22 = 2,即 = 22. 又因为 = 2 2 ,即2= 22, 解得 = 2, = 1, 故椭圆的方程为 2 2 + 2= 1 (2)设直线的方程为 = + 1 2,当 = 0时,不符合题意 当 0时,设直线: = 1 + , 由 2+ 22= 2, = 1 + 联立,整理得. 1 2 + 1 2/ 2 2 + 2 1 = 0, = 42 2

23、4.1 2 + 1 2/( 2 1) = 22+ 2 + 4 2 0, 即1 + 2 2 2 设(1,1),(2,2), 则1+ 2= 4 2+2,12 = 22 ( 2 1) 2+2 , 1+ 2= 1 ( 1+ 2) + 2 = 22 2+2, 12= ( 1 1+ )( 1 2+ ) = 1 2 12 ( 1+ 2) + 2= 222 2+2 的中点. 2 2+2 , 2 2+2/在直线上, 则 2 2+2 = 2 2+2 + 1 2,整理得 = 2+2 22 , 式代入式整理得34+ 42 4 0, 解得 6 3 或 6 3 或 0, 即1 + 2 2 2 设(1,1),(2,2),

24、则1+ 2= 4 2+2,12 = 22 ( 2 1) 2+2 , 1+ 2= 1 ( 1+ 2) + 2 = 22 2+2, 12= ( 1 1+ )( 1 2+ ) = 1 2 12 ( 1+ 2) + 2= 222 2+2 的中点. 2 2+2 , 2 2+2/在直线上, 则 2 2+2 = 2 2+2 + 1 2,整理得 = 2+2 22 , 式代入式整理得34+ 42 4 0, 解得 6 3 或 6 3 或 0), 由 0,可知有() 0, 故()在(0,+)上单调递增 因为(1) = 0,.1 2/ = 4 ln2 0, 所以函数()有唯一零点0,且1 2 0 1 (2)由( )

25、ln(),整理得 ln() , 设() = ln() ,() = + ln 2 = 2+ln 2 , 由(1)可知() = 2+ ln在(0,+)上单调递增, 存在唯一零点0,且1 2 0 1 当 (0,0)时,() 0,() 0,() 0,()单调递增 即(0)为()在定义域内的最小值,所以 0 ln0 0 1 0, 因为(0) = 0,所以00= ln0 0 .1 2 0 1/, 令() = , 1 2 1, 方程等价于(0) = (ln0 ). 1 2 0 0), 由 0,可知有() 0, 故()在(0,+)上单调递增 因为(1) = 0,.1 2/ = 4 ln2 0, 所以函数()有

26、唯一零点0,且1 2 0 1 (2)由( ) ln(),整理得 ln() , 设() = ln() ,() = + ln 2 = 2+ln 2 , 由(1)可知() = 2+ ln在(0,+)上单调递增, 存在唯一零点0,且1 2 0 1 当 (0,0)时,() 0,() 0,() 0,()单调递增 即(0)为()在定义域内的最小值,所以 0 ln0 0 1 0, 因为(0) = 0,所以00= ln0 0 .1 2 0 1/, 令() = , 1 2 1, 方程等价于(0) = (ln0 ). 1 2 0 0, 0,()的值域为,2,+), 则有 + = 2 因为 (+)2 4 = 1(当且

27、仅当 = 时取等号) , 所以 + 2 (2)由题意可知 + = 1 ,即 + + = 1 , (1)(1)(1) = 1 1 1 , 根据基本不等式可知1 = + 2 , 同理1 2 , 1 2 , 则有1 1 1 2 2 2 = 8, 即(1)(1)(1) 8 【考点】 绝对值不等式的解法与证明 基本不等式 基本不等式在最值问题中的应用 【解析】 此题暂无解析 【解答】 证明:(1)| | + | + | |( ) ( + )| = | + |, 因为 0, 0,()的值域为,2,+), 则有 + = 2 因为 (+)2 4 = 1(当且仅当 = 时取等号) , 所以 + 2 (2)由题意可知 + = 1 ,即 + + = 1 , (1)(1)(1) = 1 1 1 , 根据基本不等式可知 1 = + 2 , 同理 1 2 , 1 2 , 则有 1 1 1 2 2 2 = 8, 即( 1)(1)(1) 8