1、2020-2021 学年河南省南阳市高三（下）学年河南省南阳市高三（下）5 月月考数学（理）试卷月月考数学（理）试卷 一、选择题一、选择题 1. 设集合 = *|2 1 0+， = *|1 2 0+，则 () =（ ） A.01, 1 21 B.(,1- C.01 2,11 D.,1,+） 2. 设复数满足 为纯虚数，在复平面内所对应的点的坐标为(,)，则（ ） A. = 0 B. + = 0 C.( )( + ) = 0 D.2+ 2= 1 3. 数据显示2021年3月以来文化类旅游的市场占比显著提升， 某旅游服务平台收集并整理了2021年3月1日 至7日期间某文化类景区门票日订单量（单位：
2、万张）和增长速度的数据，绘制了右边的统计图则下列结 论正确的是（增长速度=（本期数上期数）/上期数） （ ） A.7天的增长速度逐日增加 B.7天中有3天的增长速度为正 C.7天的增长速度的平均值为负 D.3月6日的订单量约为3.19（万张） 4. 函数() = |( )的部分图象大致为( ) A. B. C. D. 5. 九章算术是中国古代张苍，耿寿昌所撰写的一部数学专著，全书总结了战国，秦，汉时期的数学成 就 其中有如下问题： “今有五人分五钱， 令上二人所得与下三人等， 问各得几何？”其意思为“今有5人分5钱， 各人所得钱数依次为等差数列，其中前2人所得之和与后3人所得之和相等，问各得多
3、少钱？”则第4人所 得钱数为（ ） A.1 2钱 B.2 3钱 C.5 6钱 D.1钱 6. 已知 = 2, = 3 1 3, = log32，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知点，分别为圆锥的顶点和底面圆心， 为圆锥底面的内接正三角形， = ，则异面直 线与所成角的余弦值为（ ） A.1 6 B. 3 6 C.1 3 D. 3 3 8. 已知，是抛物线 :2= 上的点，是轴上的点， 轴， 为等边三角形，则的横坐标 为（ ） A.1 3 B.4 3 C.3 D.16 3 9. 已知点，在圆上，| + | = | |， = ，则2+ 2=（ ） A.1 2 B.1 C.3 2 D.2
4、10. 10个不同的数排成4行， 第1行1个数， 第2行2个数， 第3行3个数， 第4行4个数， 设是第( = 1,2,3,4)行 中的最大数，则1 2 3 0时，() 1，则使得() 成 立的的取值范围是（ ） A.(,1) (0,1) B.(1,0) (1,+) C.(,1) (1,+) D.(1,0) (0,1) 12. 已知正方体木块 1111的棱长为4，分别是棱，1上的点， 是边 长为22的等边三角形， 若将正方体木块切割成以 为底面的直三棱柱， 则三棱柱的高的最大值为 （ ） A.2 B.22 C.23 D.4 二、填空题二、填空题 设，满足约束条件 + 2, 2, 2 + 3 6
5、, 则 = + 的最小值为_. 已知函数() = 3, 0, 2, 0, 0)的左焦点为，为坐标原点，为双曲线右支上一点， | | = 2，则双曲线的离心率的取值范围是_. 已知数列*+满足1= 1，+1= 2 + ，数列*+的前项和为，+1= 若100 0)的离心率为 2 2 ，过左焦点且与轴垂直的弦长为2 (1)求椭圆的方程； (2)已知， 为椭圆上两点， 为坐标原点， 斜率为的直线经过点.0, 1 2/， 若， 关于对称， 且 ， 如 果存在这样的直线，求出直线的方程，若不存在，请说明理由 已知函数() = 2+ ln (1)判断函数()的单调性，并证明()有且仅有一个零点； (2)若(
6、 ) ln()，求的取值范围 在直角坐标系中，曲线1的参数方程为2 = + cos, = + sin （为参数） ，以坐标原点为极点，轴的正半轴 为极轴建立极坐标系，曲线2的极坐标方程为 = 2cos (1)若2+ 2= 1，1与2有且只有1个公共点，求； (2)若 = = 2 2 ，曲线1，2交于，两点，求|2 已知，为正数，函数() = | | + | + |的值域为,1 ,+) (1)若 = 1，证明： + 2； (2)若 0，证明：(1)(1)(1) 8 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题一、选择题 1. 【答案】 A 【考点】 交、并、补集的混合运算 【解析】 无 【解
7、答】 解： = *| 1 1+， = 2| 1 23， = 2| 1 23， 则 () = 2| 1 1 23 = 01, 1 21 故选 2. 【答案】 C 【考点】 复数的代数表示法及其几何意义 复数代数形式的乘除运算 共轭复数 【解析】 【解答】 解：由题意可知 = + ， = ， 则 = + = (+)2 ()(+) = 22 2+2 + 2 2+2 ， 若为纯虚数则2 2= 0， 即( )( + ) = 0 故选 3. 【答案】 D 【考点】 频率分布折线图、密度曲线 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：结合统计图可知，3日，4日和7日的增长速度比前一天均下降，选项不正确； 7天中
8、，2日，5日，6日和7日的增长速度均为正，选项不正确； 根据统计图可知7天的增长速度的平均值为正，选项不正确； 3月5日的订单量约为2.2（万张） ，则3月6日的订单量约为2.2 (1 + 0.45) = 3.19（万张） ，选项正确 故选 4. 【答案】 C 【考点】 函数的图象 【解析】 判断函数的奇偶性即可 【解答】 解：因为() = ( )| | = ( )| = ()， 所以()为奇函数，其图象关于原点对称，排除选项. 当 0时， 1,0 0，且| 0， 故 () = |( ) 0，排除选项. 故选. 5. 【答案】 C 【考点】 等差数列的前 n 项和 等差数列的通项公式 数列的应
9、用 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：设从前到后的5个人所得钱数构成首项为1，公差为的等差数列*+， 则有1+ 2= 3+ 4+ 5，1+ 2+ 3+ 4+ 5= 5， 故1 + 8 = 0, 1+ 2 = 1,解得 1= 4 3, = 1 6, 则4= 1+ 3 = 4 3 1 2 = 5 6 故选 6. 【答案】 C 【考点】 指数式、对数式的综合比较 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：由 = 2 1， = 3 1 3 30= 1， 可得6= .2 1 2/ 6 = 23= 8，6= .3 1 3/ 6 = 32= 9， 则有6 6，所以1 ； = log32 log33 = 1，
10、则 故选 7. 【答案】 B 【考点】 异面直线及其所成的角 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：如图所示，连接，延长交于点，取中点，连接， 因为 为正三角形，且为 的外心，所以为的中点，故/， 则即为异面直线与所成的角设 = = 2，则 = 1， = 3 由题意可知 为等边三角形，则 = 3，在 中，cos = 2+22 2 = 3 6 故选 8. 【答案】 B 【考点】 直线与抛物线的位置关系 抛物线的标准方程 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：设( 2,),(2,)，因为 为等边三角形，所以点为线段的中垂线与抛物线的交点， 即= 1 2，且| 2 2| = | 3 2 |，解得|
11、= 23 3 ，从而 2 = 4 3 故选 9. 【答案】 B 【考点】 向量的模 平面向量数量积 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：由| + | = | |得. + / 2 = . / 2 ， 则有 2 + 2 + 2 = 2 2 + 2，即 = 0， 依题意得| | = | | = | |，把 = 两边平方得 2| |2+ 2| |2 2 = | |2， 即2| |2+ 2| |2= | |2，所以2+ 2= 1 故选 10. 【答案】 B 【考点】 古典概型及其概率计算公式 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：最大一个数在第4行的概率为 4 10 = 2 5， 在任意排好第4行后，
12、余下的6个数排在前3行，符合要求的排列的概率为3 6 = 1 2，在任意排好第3行后，余下 的3个数排在前2行，符合要求的排列的概率为2 3，故1 2 3 1( 0)，可得() 1 0， 令() = () ，则() = () 1 0，故()在(0,+)上单调递增 因为(1) = 1，所以(1) = (1)+ 1 = 0. 又因为()为奇函数，所以() = () 为奇函数， 所以(1) = 0，且在区间(,0)上，()单调递增， 所以使得() ，即() 0成立的的取值范围是(1,0) (1,+) 故选 12. 【答案】 C 【考点】 棱柱的结构特征 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：由题意可
13、知，分别是棱，1的中点如图所示，连接11，1 ，1并分别取它 们的中点1，1，1，连接1，1，1，11，11，11， 则1/1，1/1，1/1，且1= 1= 1= 1 21， 因为1平面，所以1平面，1平面，1平面， 故三棱柱 111为直三棱柱，高 = 1= 1 2 = 23，且此时三棱柱的高最大 故选 二、填空题二、填空题 【答案】 14 5 【考点】 求线性目标函数的最值 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：作出可行域如图中阴影部分所示，结合图形可知， 当直线 = + 过点. 12 5 , 2 5/时， 取最小值，min= 12 5 2 5 = 14 5 故答案为： 14 5 【答案】
14、0 【考点】 分段函数的应用 不等式恒成立问题 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：当 0时，|()| = 3 ，即(2 ) 0恒成立，则有 0； 当 0,则+1 = 2 0， *+为递增数列 1= 1， 0 1 101 1， 100= 1 1 101 (0,1)， 的最小值为1 故答案为：1. 三、解答题三、解答题 【答案】 解：(1)由题设可得，(sin + cos) = ， 由正弦定理，可得sinsin + cossin = sin. 又因为 = ( + )， 所以sin = sin( + ) = sincos + cossin， 所以sinsin = sincos. 因为， (0,)
15、， 所以得sin = cos，则 = 4 (2)因为 = 2, = 2， 由余弦定理得，(2) 2 + 2 2 2 cos 4 = 4， 整理得2= 4， 故 = 2, = 22， 的面积 = 1 2sin = 2 【考点】 正弦定理 余弦定理 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：(1)由题设可得，(sin + cos) = ， 由正弦定理，可得sinsin + cossin = sin. 又因为 = ( + )， 所以sin = sin( + ) = sincos + cossin， 所以sinsin = sincos. 因为， (0,)， 所以得sin = cos，则 = 4 (2)因为
16、 = 2, = 2， 由余弦定理得，(2) 2 + 2 2 2 cos 4 = 4， 整理得2= 4， 故 = 2, = 22， 的面积 = 1 2sin = 2 【答案】 (1)证明：连接1， 因为四边形11为菱形， 所以1 1 因为 ， 1， 1= ， 所以 平面11，且1 平面11，所以1 因为/11，所以1 11， 又因为1 11= 1，所以1 平面11， 又1平面11，所以1 1 (2)解：由(1)知 平面11， 所以平面11平面， 作1 于点，则1 平面， 因为四边形11为菱形，1 = 60，所以 1为等边三角形， 所以为的中点 以为坐标原点， ， ，1 的方向分别为轴，轴，轴的正
17、方向， 建立如图所示的空间直角坐标系 设 = = 1 = 2，则(1,0,0)，(1,2,0)，1(2,2,3)，(1,0,0)， = (2,2,0)， = (0,2,0)，1 = (1,0,3)， 设平面1的一个法向量为1 = (1,1,1)， 所以1 = 0, 1 1 = 0, 则21 + 21= 0, 1+ 31= 0, 可取1 = (3,3,1)， 设平面1的一个法向量为2 = (2,2,2)， 所以2 = 0, 2 1 = 0, 则22 = 0, 2+ 32= 0, 可取2 = (3,0,1) cos1 ,2 = 1 2 |1 |2 | = 4 74 = 27 7 ， 所以二面角 1
18、 的余弦值为27 7 【考点】 两条直线垂直的判定 二面角的平面角及求法 用空间向量求平面间的夹角 【解析】 此题暂无解析 【解答】 (1)证明：连接1， 因为四边形11为菱形， 所以1 1 因为 ， 1， 1= ， 所以 平面11，且1 平面11，所以1 因为/11，所以1 11， 又因为1 11= 1，所以1 平面11， 又1平面11，所以1 1 (2)解：由(1)知 平面11， 所以平面11平面， 作1 于点，则1 平面， 因为四边形11为菱形，1 = 60，所以 1为等边三角形， 所以为的中点 以为坐标原点， ， ，1 的方向分别为轴，轴，轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系 设
19、 = = 1 = 2，则(1,0,0)，(1,2,0)，1(2,2,3)，(1,0,0)， = (2,2,0)， = (0,2,0)，1 = (1,0,3)， 设平面1的一个法向量为1 = (1,1,1)， 所以1 = 0, 1 1 = 0, 则21 + 21= 0, 1+ 31= 0, 可取1 = (3,3,1)， 设平面1的一个法向量为2 = (2,2,2)， 所以2 = 0, 2 1 = 0, 则22 = 0, 2+ 32= 0, 可取2 = (3,0,1) cos1 ,2 = 1 2 |1 |2 | = 4 74 = 27 7 ， 所以二面角 1 的余弦值为27 7 【答案】 解：(1
20、)由已知数据和参考数据得 = 2+3+4+5 4 = 3.5, = 26+39+49+54 4 = 42， . / 4 =1 . / = 47, . / 2 4 =1 = 5,. / 2 4 =1 2.2， = 47 2.221.4 0.998 因为与的相关系数近似为0.998， 说明与的线性相关程度相当高， 从而可以用线性回归模型拟合与的 关系 (2) = . / 4 =1 . / . / 2 4 =1 = 47 5 = 9.4 ， = = 42 9.4 3.5 = 9.1 所以回归方程为 = 9.4 + 9.1 (3)当 = 9时， = 9.4 9 + 9.1 = 93.7 100， 所以
21、，到2025年沙漠治理面积可突破100万亩 【考点】 相关系数 求解线性回归方程 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：(1)由已知数据和参考数据得 = 2+3+4+5 4 = 3.5, = 26+39+49+54 4 = 42， . / 4 =1 . / = 47, . / 2 4 =1 = 5,. / 2 4 =1 2.2， = 47 2.221.4 0.998 因为与的相关系数近似为0.998， 说明与的线性相关程度相当高， 从而可以用线性回归模型拟合与的 关系 (2) = . / 4 =1 . / . / 2 4 =1 = 47 5 = 9.4 ， = = 42 9.4 3.5 = 9
22、.1 所以回归方程为 = 9.4 + 9.1 (3)当 = 9时， = 9.4 9 + 9.1 = 93.7 100， 所以，到2025年沙漠治理面积可突破100万亩 【答案】 解：(1)设 = 2 2，则(,0)， 令 = ，则2= 4 2，从而 22 = 2，即 = 22. 又因为 = 2 2 ，即2= 22， 解得 = 2, = 1， 故椭圆的方程为 2 2 + 2= 1 (2)设直线的方程为 = + 1 2，当 = 0时，不符合题意 当 0时，设直线: = 1 + ， 由 2+ 22= 2, = 1 + 联立，整理得. 1 2 + 1 2/ 2 2 + 2 1 = 0， = 42 2
23、4.1 2 + 1 2/( 2 1) = 22+ 2 + 4 2 0， 即1 + 2 2 2 设(1,1),(2,2)， 则1+ 2= 4 2+2，12 = 22 ( 2 1) 2+2 ， 1+ 2= 1 ( 1+ 2) + 2 = 22 2+2， 12= ( 1 1+ )( 1 2+ ) = 1 2 12 ( 1+ 2) + 2= 222 2+2 的中点. 2 2+2 , 2 2+2/在直线上， 则 2 2+2 = 2 2+2 + 1 2，整理得 = 2+2 22 ， 式代入式整理得34+ 42 4 0， 解得 6 3 或 6 3 或 0， 即1 + 2 2 2 设(1,1),(2,2)，
24、则1+ 2= 4 2+2，12 = 22 ( 2 1) 2+2 ， 1+ 2= 1 ( 1+ 2) + 2 = 22 2+2， 12= ( 1 1+ )( 1 2+ ) = 1 2 12 ( 1+ 2) + 2= 222 2+2 的中点. 2 2+2 , 2 2+2/在直线上， 则 2 2+2 = 2 2+2 + 1 2，整理得 = 2+2 22 ， 式代入式整理得34+ 42 4 0， 解得 6 3 或 6 3 或 0)， 由 0，可知有() 0， 故()在(0,+)上单调递增 因为(1) = 0,.1 2/ = 4 ln2 0， 所以函数()有唯一零点0，且1 2 0 1 (2)由( )
25、ln()，整理得 ln() ， 设() = ln() ,() = + ln 2 = 2+ln 2 ， 由(1)可知() = 2+ ln在(0,+)上单调递增， 存在唯一零点0，且1 2 0 1 当 (0,0)时，() 0,() 0,() 0,()单调递增 即(0)为()在定义域内的最小值，所以 0 ln0 0 1 0， 因为(0) = 0，所以00= ln0 0 .1 2 0 1/， 令() = , 1 2 1， 方程等价于(0) = (ln0 ). 1 2 0 0)， 由 0，可知有() 0， 故()在(0,+)上单调递增 因为(1) = 0,.1 2/ = 4 ln2 0， 所以函数()有
26、唯一零点0，且1 2 0 1 (2)由( ) ln()，整理得 ln() ， 设() = ln() ,() = + ln 2 = 2+ln 2 ， 由(1)可知() = 2+ ln在(0,+)上单调递增， 存在唯一零点0，且1 2 0 1 当 (0,0)时，() 0,() 0,() 0,()单调递增 即(0)为()在定义域内的最小值，所以 0 ln0 0 1 0， 因为(0) = 0，所以00= ln0 0 .1 2 0 1/， 令() = , 1 2 1， 方程等价于(0) = (ln0 ). 1 2 0 0, 0,()的值域为,2,+)， 则有 + = 2 因为 (+)2 4 = 1（当且
27、仅当 = 时取等号） ， 所以 + 2 (2)由题意可知 + = 1 ，即 + + = 1 ， (1)(1)(1) = 1 1 1 ， 根据基本不等式可知1 = + 2 ， 同理1 2 , 1 2 ， 则有1 1 1 2 2 2 = 8， 即(1)(1)(1) 8 【考点】 绝对值不等式的解法与证明 基本不等式 基本不等式在最值问题中的应用 【解析】 此题暂无解析 【解答】 证明：(1)| | + | + | |( ) ( + )| = | + |， 因为 0, 0,()的值域为,2,+)， 则有 + = 2 因为 (+)2 4 = 1（当且仅当 = 时取等号） ， 所以 + 2 (2)由题意可知 + = 1 ，即 + + = 1 ， (1)(1)(1) = 1 1 1 ， 根据基本不等式可知 1 = + 2 ， 同理 1 2 , 1 2 ， 则有 1 1 1 2 2 2 = 8， 即( 1)(1)(1) 8