1、第二节第二节 不等式的证明不等式的证明 【知识重温】【知识重温】 一、必记 2 个知识点 1比较法 比较法是证明不等式最基本的方法，可分为作差比较法和作商比较法两种 名称 作差比较法 作商比较法 理论 依据 abab0 abab0，a b1ab b1ab 适用 类型 适用于具有多项式特征的不等式 证明 主要适用于积、商、幂、对数、根 式形式的不等式证明 证明 步骤 作差变形判断符号得出结 论 作商变形判断与 1 的大小关 系得出结论 2综合法和分析法 (1)综合法 一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理，论证 而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法综合法又叫顺推
2、证法或由因导果法 (2)分析法 证明命题时，从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知 条件或一个明显成立的事实(定义、 公理或已证明的定理、 性质等)， 从而得出要证的命题成立， 这种证明方法叫做分析法，这是一种执果索因的思考和证明方法 二、必明 2 个易误点 1用分析法证明不等式一定要注意格式规范 2运用放缩法证明不等式的关键是放大(或缩小)要适当 考点一 用综合法、分析法证明不等式 互动讲练型 例 1 2020 全国卷设 a，b，cR，abc0，abc1. (1)证明：abbcca0； (2)用 maxa，b，c表示 a，b，c 的最大值，证明：maxa，b，c 3
3、 4. 悟 技法 用综合法证明不等式是“由因导果”，用分析法证明不等式是“执果索因”，它们是 两种思路截然相反的证明方法综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、 条理清楚，所以 在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转 化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野. 变式练(着眼于举一反三) 1设不等式|x1|x1|2 的解集为 A. (1)求集合 A； (2)若 a，b，cA，求证： 1abc abc 1. 考点二 反证法证明不等式互动讲练型 例 2 若 x，y 都是正实数，且 xy2，求证：1x y 2 和1y x 2 中至
4、少有一个成立 悟 技法 利用反证法证明问题的一般步骤 (1)否定原结论； (2)从假设出发，导出矛盾； (3)证明原命题正确. 变式练(着眼于举一反三) 2已知 abc0，abbcca0，abc0，求证：a，b，c0. 考点三 放缩法证明不等式互动讲练型 例 3 若 a，bR，求证： |ab| 1|ab| |a| 1|a| |b| 1|b|. 悟 技法 在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的推证技巧，常见的放缩变换有： (1)变换分式的分子和分母，如 1 k2 1 kk1， 1 k2 1 kk1， 1 k 2 k k1， 1 k 2 k k1. 上面不等式中 kN*，k1. (2)利用函数的
5、单调性 (3)真分数性质“若 0ab，m0，则a b am bm” 注意：在用放缩法证明不等式时，“放”和“缩”均需把握一个度. 变式练(着眼于举一反三) 3设 n 是正整数，求证：1 2 1 n1 1 n2 1 2n1. 第二节第二节 不等式的证明不等式的证明 课堂考点突破课堂考点突破 考点一 例 1 解析：(1)由题设可知，a，b，c 均不为零，所以 abbcca1 2(abc) 2(a2 b2c2)1 2(a 2b2c2)0. (2)不妨设 maxa，b，ca， 因为 abc1，a(bc)， 所以 a0，b0，c0.由 bcbc 2 4 ，可得 abca 3 4 ， 故 a 3 4，所以
6、 maxa，b，c 3 4. 变式练 1解析：(1)由已知，令 f(x)|x1|x1| 2，x1 2x，1x1， 2，x1， 由|f(x)|2 得1x1，即 Ax|1x1 (2)要证 1abc abc 1，只需证|1abc|abc|， 只需证 1a2b2c2a2b2c2，只需证 1a2b2c2(1a2b2)， 只需证(1a2b2)(1c2)0， 由 a，b，cA，得1ab1，c21，所以(1a2b2)(1c2)0 恒成立， 综上， 1abc abc 1. 考点二 例 2 证明：假设1x y 2 和1y x 2 都不成立， 则有1x y 2 和1y x 2 同时成立 因为 x0 且 y0，所以
7、1x2y，且 1y2x. 两式相加，得 2xy2x2y，所以 xy2. 这与已知条件 xy2 矛盾， 因此1x y 2 和1y x 2 中至少有一个成立 变式练 2证明：(1)设 a0，因为 abc0， 所以 bc0. 又由 abc0，则 bca0， 所以 abbccaa(bc)bc0，与题设矛盾 (2)若 a0，则与 abc0 矛盾， 所以必有 a0. 同理可证：b0，c0. 综上可证 a，b，c0. 考点三 例 3 证明：当|ab|0 时，不等式显然成立 当|ab|0 时， 由 0|ab|a|b| 1 |ab| 1 |a|b|， 所以 |ab| 1|ab| 1 1 |ab|1 1 1 1 |a|b| |a|b| 1|a|b| |a| 1|a|b| |b| 1|a|b| |a| 1|a| |b| 1|b|. 变式练 3证明：由 2nnkn(k1,2，n)， 得 1 2n 1 nk 1 n. 当 k1 时， 1 2n 1 n1 1 n； 当 k2 时， 1 2n 1 n2 1 n； 当 kn 时， 1 2n 1 nn 1 n， 1 2 n 2n 1 n1 1 n2 1 2n n n1. 所以原不等式成立