1、2020-2021 学年河南省南阳市高三（上）学年河南省南阳市高三（上）11 月月考数学（理）试卷月月考数学（理）试卷 一、选择题一、选择题 1. 已知是虚数单位， ，则“( + )2= 2”是“ = = 1”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2. 日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间把地球看 成一个球（球心记为） ，地球上一点的纬度是指与地球赤道所在平面所成角，点处的水平面是指过点 且与垂直的平面，在点处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点处的纬度为北纬40，则晷 针与点处的水平面所成角
2、为( ) A.20 B.40 C.50 D.90 3. 已知函数() = lg(2 4 5)在(,+)上单调递增，则的取值范围是( ) A.(2,+) B.,2,+) C.(5,+) D.,5,+) 4. 若定义在的奇函数()在(,0)单调递减，且(2) = 0，则满足( 1) 0的的取值范围是 ( ) A. ,1,1- ,3,+) B.,3,1- ,0,1- C.,1,0- ,1,+) D.,1,0- ,1,3- 5. 设2= 5= ，且1 + 1 = 1，则等于（ ） A.10 B.10 C.20 D.100 6. 函数 = |sin| ln|的部分图象大致为( ) A. B. C. D.
3、 7. 已知函数() = 2， 0， 1， 0. 若存在非零实数 0，使得(0) = (0)成立，则实数的取值范围是 ( ) A.(,2- B.(,1- C.,2,0) D.,1,0) 8. 函数 = cos3( 0)的最大值为3 2，最小值为 1 2，则 = sin,(4 )-的最小正周期是( ) A.1 3 B.2 3 C. 3 D.2 3 9. 已知log2 = log3 = log5 1，则2，3，5的大小关系为( ) A.2 3 5 B.3 2 5 C.5 2 3 D.5 3 2 10. 已知函数() = 2 ln有两个零点，则实数的取值范围是（ ） A.1 ,1/ B.(0,1)
4、C., 1+ 2 / D.0, 1+ 2 / 11. 定义在上的函数()，当 ,1,+)时，() = 12( 1)( 3)， ,1,3)， 1 2( 2)， ,3,+) 且 = ( + 1)为 偶函数函数() = log2| 1|，则方程() () = 0所有根的和为( ) A.6 B.8 C.10 D.12 12. 设非零向量 ， 的夹角为，定义运算“”： = | | | | sin下列命题 若 = 0，则 / ； 设 中， = ， = ，则2= ； ( + ) = + （为任意非零向量） ； 若| | = | | = 1，则( )= 1 其中正确命题的编号是( ) A. B. C. D.
5、二、填空题二、填空题 已知函数 = ()是定义在区间(5,1)上的减函数，若(2 4) (3 4)，则实数的取值范围是 _. 已知函数() = |ln|，若0 ，且() = ()，则 + 4的取值范围是_. 已知0 1，设函数() = 2020+1+2019 2020+1 3， ,-的最大值为，最小值为，则 + 的值 为_. 将数列*2 1+与*3 2+的公共项从小到大排列得到数列*+，则*+的前项和为_. 三、解答题三、解答题 已知集合 = *| 2 0， 得 5 令 = 2 4 5， 外层函数 = lg是其定义域内的增函数， 要使函数() = lg(2 4 5)在(,+)上单调递增， 则需
6、内层函数 = 2 4 5在(,+)上单调递增且恒大于0， 则(,+) (5,+)，即 5 的取值范围是,5,+) 故选. 4. 【答案】 D 【考点】 函数奇偶性的性质 函数单调性的判断与证明 【解析】 先根据函数的奇偶性判断函数的单调性，然后利用分类讨论思想讨论不等式成立时的取值范围. 【解答】 解：因为定义在的奇函数()在(,0)单调递减，且(2) = (2) = 0. 令() = ( 1)， 则(3) = (1) = 0，且()在(,1)， (1,+)单调递减， 又当 = 0时，不等式( 1) 0成立， 当 = 1时，不等式( 1) 0成立； 当 1 = 2或 1 = 2时，即 = 3或
7、 = 1时，不等式( 1) 0成立. 当 0时，不等式( 1) 0等价为( 1) 0， 此时 0， 0 1 2，此时1 3. 当 0时，不等式( 1) 0等价为( 1) 0， 即 0， 2 1 0，得1 0， 综上1 0或1 3，即实数的取值范围是,1,0- ,1,3-. 故选. 5. 【答案】 B 【考点】 对数的运算性质 指数式与对数式的互化 【解析】 求出，代入1 + 1 = 1，根据对数的运算性质求出的值即可 【解答】 解：由2= 5= ，得 = log2， = log5， 由1 + 1 = 1，得 1 log2 + 1 log5 = lg2 lg + lg5 lg = log10 =
8、 1， = 10. 故选 6. 【答案】 D 【考点】 函数奇偶性的判断 函数的图象 【解析】 利用函数的奇偶性及趋近性即可得解 【解答】 解：函数的定义域为*| 0+， 设() = = |sin| ln| () = |sin()| ln| | = |sin| ln| = ()， 故()为偶函数，其图象关于轴对称，故排除； 当0 0， 0， 则() = |sin| ln| = sin ln. 因为当0 1时，ln 0， 故此时() 2cos 6 ln50 = 3ln50 3 2ln49 = ln343 ln100. ( 1 50) = ln50 2sin 1 100cos 1 100 0， 则
9、问题转化为方程0 2 + 0+ 1 = 0有正根， 则只需 = 2 4 0，且 0， 解得 2， 实数的取值范围是(,2-. 故选. 8. 【答案】 B 【考点】 三角函数的最值 三角函数的周期性及其求法 【解析】 本题考查了三角函数的最值的求法，考查了正弦型函数的周期计算公式，是基础题 由题意得到关于，的方程组，求得，的值，代入 = sin,(4 )-整理，由周期公式得答案 【解答】 解： 0， 函数 = cos3的最大值为 ，最小值为 + ， 由已知得 = 3 2， + = 1 2， 解得： = 1 2， = 1， = sin,(4 )- = sin0.4 1 2 + 1/1 = sin(
10、3)， = sin,(4 )- = sin(3)的最小正周期为2 3 = 2 3. 故选 9. 【答案】 D 【考点】 对数的运算性质 【解析】 可设log2log3log5 1，从而可得出22+1，33+1，55+1，可判断 + 1 0，从而 得出+1是减函数，从而得出5 3 2 【解答】 解：设log2 = log3 = log5 = 1， 则 = 2， = 3， = 5， 2 = 2+1，3 = 3+1，5 = 5+1. 1， + 1 0， 5+1 3+1 2+1， 5 3 0，当 (1,+)时，() 0， ()在(0,1)上单调递增，在(1,+)单调递减， 且()= (1) = 1，
11、作出()图象如图所示， 要使()有两零点，则 = 和()图象有两个交点，由图可知 (0,1) 故选 11. 【答案】 C 【考点】 函数的零点与方程根的关系 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：因为 = ( + 1)是偶函数， 所以( + 1) = ( + 1)， 即函数()关于直线 = 1对称 又因为()也关于直线 = 1对称， 故方程所有根的和为2， 其中为,1,+)上，()和()图象交点的个数. 作出函数()与()在,1,+)上的图象如图： 由图可知共5个交点， 故() = ()的所有根的和等于5 2 = 10. 故选. 12. 【答案】 D 【考点】 命题的真假判断与应用 【解析】
12、根据向量的新定义 = | | | | sin，对题目中的命题分析、判断真假性即可 【解答】 解：对于，当 = | | | | sin = 0时，sin = 0. 又 ,0,-， 所以 = 0或， 所以 / ，正确； 对于， 中， = ， = ， 所以= 1 2| | | | sin = 1 2| | | | sin， 所以2= ，正确； 对于， ( + ) = | | | + | sin， + = | | | | sin + | | | sin = | | (| |sin + | |sin)， 其中，分别是 与( + )，与 ， 与所成的角， 所以 ( + ) = + 不成立，错误； 对于，当
13、| | = | | = 1时， = | | | | sin = sin 1， 所以( )= 1，正确 综上知，正确命题的编号是 故选. 二、填空题二、填空题 【答案】 (7 6 ,2) 【考点】 函数的单调性及单调区间 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：由题意得 5 2 4 1， 5 3 4 3 4， 则 1 2 5 2， 1 2 7 6， 解得7 6 2. 故答案为：.7 6,2/ 【答案】 (5,+) 【考点】 利用导数研究函数的最值 带绝对值的函数 利用导数研究函数的单调性 【解析】 依题意可求得 = 1，(0 1 )，利用双钩函数的单调性质即可求得答案 【解答】 解： () = |
14、ln|，0 且() = ()， ln = ln， ln + ln = 0， = 1(0 1 )， = 1 (0 1 )， + 4 = + 4 ，(0 1) 令() = + 4 ，(0 1)，则() = 1 4 2， 当0 1时，() (1) = 1 + 4 = 5， 即 + 4 5 故答案为：(5 , +) 【答案】 4039 【考点】 函数的最值及其几何意义 【解析】 分离常数处理，构造新函数() = 1 2020+1 3，利用() + ()1，最值为定值即可求解； 【解答】 解：函数() = 2020+1+2019 2020+1 3 = 2020 2020 + 2020 1 2020+ 1
15、 3 = 2020(2020+ 1) 1 2020+ 1 3 = 2020 1 2020+1 3. 令() = 1 2020+1 3， = 2020+ 1. 由于 = 2020+ 1在定义域上单调递增， () = 1 2020+1 3在定义域上单调递增. () = 1 2020+1 ()3 = 2020 1+2020 + 3， 可得() + () = 1 ,-， = ()max= () + 2020， = ()min= () + 2020， 则 + = 2020+ 2020 1 = 4039. 故答案为：4039. 【答案】 32 2 【考点】 等差数列的前 n 项和 等差关系的确定 【解析】
16、 先判断出*2 1+与*3 2+公共项所组成的新数列*+的公差、首项，再利用等差数列的前项和的公式得 出结论. 【解答】 解：数列*2 1+各项为：1，3，5，7，9， 数列*3 2+各项为：1，4，7，10，13， 观察可知，*+是首项为1，公差为6的等差数列， 所以数列*+的前项和为32 2. 故答案为：32 2. 三、解答题三、解答题 【答案】 解：(1)当 = 4时， 集合 = *| 2 3 2， 解得： 2， 3 2 2， 3， 即1 3. 综上所述，实数的取值范围是 3 . 【考点】 交、并、补集的混合运算 集合的包含关系判断及应用 【解析】 （1）由 = 4时求出集合，再根据交集
17、，并集和补集的定义计算即可 . （2）根据 = 得 ，讨论 = 和 ，求出对应实数的取值范围 【解答】 解：(1)当 = 4时， 集合 = *| 2 3 2， 解得： 2， 3 2 2， 3， 即1 3. 综上所述，实数的取值范围是 2） 即可得出 【解答】 解：(1)由题意得，1+ 2+ 3+ + = 2( )， 当 = 1时，1= 2， 当 2时，1+ 2+ 3+ + 1= 21( )， 由得= 21， 经检验1不符合上式， = 2， = 1， 21， 2. (2)由(1)得当 = 1时，1= 2， 当 2时，= ( + 1)log2= ( 1)( + 1)， 1 = 1 (1)(+1)
18、= 1 2. 1 1 1 +1/( 2) = 1 2 + 1 2(1 1 3 + 1 2 1 4 + 1 3 1 5 + + 1 2 1 + 1 1 1 + 1) = 1 2 + 1 2 (3 2 1 1 + 1) = 5 4 2+1 2(+1) 【答案】 解：(1)当 = 1时， () = 5 | + 1| | 2| = 2 + 4，( 1)， 2，(1 2)， 2 + 6，( 2). 当 1时，() = 2 + 4 0， 解得2 1， 当1 2时，() = 2 0恒成立， 即1 2， 当 2时，() = 2 + 6 0， 解得2 3， 综上所述不等式() 0的解集为,2,3-. (2) (
19、) 1， 5 | + | | 2| 1， | + | + | 2| 4， | + | + | 2| = | + | + |2 | | + + 2 | = | + 2|， | + 2| 4， 解得 6或 2， 故的取值范围(,6- ,2,+) 【考点】 绝对值不等式的解法与证明 【解析】 （1）去绝对值，化为分段函数，求出不等式的解集即可， （2）由题意可得| + | + | 2| 4，根据据绝对值的几何意义即可求出 【解答】 解：(1)当 = 1时， () = 5 | + 1| | 2| = 2 + 4，( 1)， 2，(1 2)， 2 + 6，( 2). 当 1时，() = 2 + 4 0，
20、 解得2 1， 当1 2时，() = 2 0恒成立， 即1 2， 当 2时，() = 2 + 6 0， 解得2 3， 综上所述不等式() 0的解集为,2,3-. (2) () 1， 5 | + | | 2| 1， | + | + | 2| 4， | + | + | 2| = | + | + |2 | | + + 2 | = | + 2|， | + 2| 4， 解得 6或 2， 故的取值范围(,6- ,2,+) 【答案】 解：(1)由sin = cos( 6)，sin 0， 结合正弦定理得，sin = cos( 6)， 故sin = 3 2 cos + 1 2sin， 整理得，sin( 3) =
21、 0， 又为锐角， 故 = 3 (2)由 是锐角三角形，则垂心必在 内部，不妨设 = ， 则 (0, 3) 因为为 的垂心，所以 = = 6 在 中使用正弦定理得， sin = sin， 整理得： = 2sin 同理在 中使用正弦定理得， = 2sin( 3 ) + = 2sin + 2sin( 3 ) = 2sin( 3 + )， 由 (0, 3)可得 3 3 + 2 3 ， 所以 + (3,2- 【考点】 正弦定理 两角和与差的余弦公式 两角和与差的正弦公式 【解析】 （1）结合正弦定理得，sin = cos( 6)，则sin( 3) = 0，又为锐角，故 = 3 （2）设，由正弦定理可得
22、： + 2sin + 2sin(60 )2sin( + 60)，结合的 范围，利用正弦函数的性质即可得解 + 的取值范围 【解答】 解：(1)由sin = cos( 6)，sin 0， 结合正弦定理得，sin = cos( 6)， 故sin = 3 2 cos + 1 2sin， 整理得，sin( 3) = 0， 又为锐角， 故 = 3 (2)由 是锐角三角形，则垂心必在 内部，不妨设 = ， 则 (0, 3) 因为为 的垂心，所以 = = 6 在 中使用正弦定理得， sin = sin， 整理得： = 2sin 同理在 中使用正弦定理得， = 2sin( 3 ) + = 2sin + 2si
23、n( 3 ) = 2sin( 3 + )， 由 (0, 3)可得 3 3 + 0时，() = + + 1 +1 + + 1 + 1 +1 + 2 0， ,0,+)，()单调递增，且(0) = 0， ,0,+)，() (0) = 0恒成立， 从而 2符合题意 当 2时， 令() = + 1 +1 + ， 则() = 1 (+1)2 = (+1)21 (+1)2 0， 函数()在区间,0,+)上单调递增， 由(0) = 2 + 1 + 1 1 + = 1 1 1 0， 故0 (0,)，使得(0) = 0 则当0 0时，() (0) = 0，即() 0， 函数()在区间(0,0)上单调递减 () 0时，()= + + 1 +1 + + 1 + 1 +1 + 2 0， ,0,+)，()单调递增，且(0) = 0， ,0,+)，() (0) = 0恒成立， 从而 2符合题意 当 2时， 令() = + 1 +1 + ， 则() = 1 (+1)2 = (+1)21 (+1)2 0， 函数()在区间,0,+)上单调递增， 由(0) = 2 + 1 + 1 1 + = 1 1 1 0， 故0 (0,)，使得(0) = 0 则当0 0时，() (0) = 0，即() 0， 函数()在区间(0,0)上单调递减 () (0) = 0，不符合题意 综上所述，实数的取值范围是,2,+)