1、2020-2021 学年河南省南阳学年河南省南阳市市高三（上）高三（上）12 月月考数学试卷月月考数学试卷 一、选择题一、选择题 1. 已知集合 = *|2 4+， = *|0 1 5+，则(R) =( ) A.*|2 5+ B.*| 5+ C.*|1 1+ 2. 已知复数满足(1 ) = 2 + ，则的共轭复数为( ) A.3 2 + 3 2 B.1 2 3 2 C.3 2 3 2 D.1 2 + 3 2 3. 已知命题：存在实数,，满足sin( + ) = sin + sin；命题：log2 + log2 2( 0且 1)则 下列命题为真命题的是（ ） A. () B. C. D. 4.
2、已知，为两条不同的直线，为两个不同的平面，给出下列4个命题： 若 ，/，则/； 若 ，/，则 ； 若 ， ，则/； 若/，/，则/ 其中真命题的序号为( ) A. B. C. D. 5. 某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（ ） A.1 3 B.2 3 C.1 6 D.1 4 6. 在 中，若3( + ) = 2| |2，则tan + 1 tan的最小值为（ ） A.5 B.25 C.6 D. 6 2 7. 已知函数() = , , ln, , 则函数 = ( )的图象大致是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数() = sin(2 + )( 0, | 0,则满足不等式( 2
3、 6) ()的的取值范围是（ ） A.(2,3) B.(,2) (6,+) C.(,6) (6,+) D.(,6) (3,+) 10. 数列*+满足:2= 2:1 ，且2014，2016是函数() = 1 3 3 42+ 6 1的极值点，则 log2(2000+ 2012+ 2018+ 2030)的值是（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 11. 将函数() = 2cos2的图象向右平移 6个单位后得到函数()的图象，若函数()在区间,0, 3-和 ,2,7 6 -上均单调递增，则实数的取值范围是（ ） A., 3 , 2- B., 6 , 2- C., 6 , 3- D., 4 ,3 8
4、- 12. 已知函数 = ()为定义域R上的奇函数， 且在R上是单调递增函数， 函数() = ( 5) + ， 数列*+ 为等差数列，且公差不为0，若(1) + (2) + + (9) = 45，则1+ 2+ + 9=（ ） A.45 B.15 C.10 D.0 二、填空题二、填空题 已知向量 = (3,4)， = (0,3)， = (5 ,3 )， 若点， ， 能构成三角形， 则实数满足 的条件是_ 设实数，满足 2 2, + 2 0, 2, 则;1 :3的取值范围是_. 已知函数() = |ln( 1)|, 1, 2;1+ 1, 1, 若函数() = () 有三个不同的零点，则实数的取值范
5、围是 _ 已知函数() = ln，() = 3 22+ ( R)，若函数 = () ()有唯一零点，则以下四个命 题中正确的是_（填写正确序号） = 2+ 1 ；函数()在(,()处的切线与直线 = 0平行； 函数 = () + 22在,0,-上的最大值为22+ 1; 函数 = () 2在,0,1-上单调递减. 三、解答题三、解答题 在 中， 内角， ， 所对的边分别为， ， ， 若sin( + ) = 2sincos( + )， 且sin2 + sin2 sin2 + 2sinsin = 0 (1)求证：，2成等比数列； (2)若 的面积是2，求 如图，在四棱锥 中， 平面， = 2, =
6、7, = 3, = 23，是线段的 中垂线， = ，为线段上的点 (1)证明：平面 平面； (2)若为的中点，求四面体 的体积 已知() = | + 1| + | + 1| (1)当 = 1时，求不等式() 3的解集； (2)若 1时，不等式() + 2恒成立，求实数的取值范围 各项均为正数的数列*+中， 1= 1， 是数列*+的前项和， 对任意 N， 有2= 2 2 + ( R). (1)求常数的值； (2)求数列*+的通项公式； (3)记= 4 :3 2，求数列*+的前项和 设函数 () = 2 .ln 1 2/( 0). (1)求函数()的单调区间； (2)记函数()的最小值为()，证明
7、：() 1 已知函数() = () + 1 2 2 ， 函数() = + ln的图象在 = 1处的切线与直线2 + 3 = 0平行 (1)求实数的值； (2)若函数()存在单调递减区间，求实数的取值范围； (3)设1，2(1 4+ = *| 2+， 所以R = *| 2+. 又 = *|1 6+， 所以(R) = *|1 , 即() = ;, 0, ln( ), 0, 因此()在,0,+)，(,0)上单调递减，排除， 故选 8. 【答案】 B 【考点】 由 y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式 正弦函数的单调性 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：由图象可得， = 2，则 () = 2
8、sin(2 + ). 因为() = () = 0， 所以(: 2 ) = 2，则 sin( + + ) = 1，则 + + = 2 + 2, Z. 因为( + ) = 3， 所以sin,2( + ) + - = 3 2 ， 所以2( + ) + = 3 + 2, Z或 2( + ) + = 2 3 + 2, Z， 所以 = 2 3 + 2, Z或 = 3 + 2, Z. 又| 0时，函数() = 4;+ 5是单调递增函数，且() 4, 当 0时，() = 4 由(2 6) ()得 0, 2 6 或 0, 2 6 0, 解得 3或 6， 所以的取值范围是(,6) (3,+). 故选 10. 【答
9、案】 C 【考点】 利用导数研究函数的极值 等差数列的性质 【解析】 利用导数即可得出函数的极值点，再利用等差数列的性质及其对数的运算法则即可得出 【解答】 解：函数() = 1 3 3 42+ 6 1，可得() = 2 8 + 6， 2014，2016是函数() = 1 3 3 42+ 6 1的极值点， 2014，2016是方程2 8 + 6 = 0的两实数根，则2014+ 2016= 8 数列*+中，满足:2= 2:1 ， 可知*+为等差数列， 2014+ 2016= 2000+ 2030= 2012+ 2018= 8， 即2000+ 2012+ 2018+ 2030= 16， 从而log
10、2(2000+ 2012+ 2018+ 2030) = log216 = 4 故选 11. 【答案】 A 【考点】 函数 y=Asin（x+）的图象变换 余弦函数的单调性 【解析】 由函数的图象平移求得函数()的解析式，进一步求出函数()的单调增区间，结合函数()在区间,0, 3-和 ,2,7 6 -上均单调递增列关于的不等式组求解 【解答】 解：将函数() = 2cos2的图象向右平移 6个单位后得到函数()的图象， 得() = 2cos2( 6) = 2cos(2 3)， 由 + 2 2 3 2( )得， 3 + 6 + ( ) 当 = 0时，函数的增区间为, 3 , 6-， 当 = 1时
11、，函数的增区间为,2 3 , 7 6 -， 要使函数()在区间,0, 3-和,2, 7 6 -上均单调递增， 则 0 3 6 ， 2 3 2 0) 分别令() = ln ，() = 2 2 + ( 0) 函数 = () ()有唯一零点，等价于函数()与()的图象有唯一交点 () = 1;ln 2 ，可得 = 时，函数()取得极大值即最大值，() = 1 () = ( )2+ 2 2，当且仅当 = 时取等号， = 2+ 1 ，故正确； 对于，() = 32 4 + ， () = 2+ = 1 ， 因此函数()在(,()处的切线与直线 = 0平行，故正确； 对于，函数 = () + 22= 3+
12、， () = 32+ 2+ 1 0， ()在,0,-上的最大值为() = 3 23+ (2+ 1 ) = 1，故错误； 对于， ,0,1-时，函数() = = () 2 = 3 22+ (2+ 1 ) 2 = 3 22， () = 32 4 = 3( 4 3) 0， 因此函数()在,0,1-上单调递减，故正确. 故答案为：. 三、解答题三、解答题 【答案】 (1)证明： + + = ，sin( + ) = 2sincos( + )， sin = 2sincos， 在 中，由正弦定理得， = 2cos， sin2 + sin2 sin2 + 2sinsin = 0， 由正弦定理可得2+ 2 2+
13、 2 = 0， cos = 2:2;2 2 = 2 2 ， 由0 ，可得 = 3 4 ， = 2，则2= 22= 2， ，2成等比数列. (2)解： = 1 2sin = 2 4 = 2，则 = 42， 由(1)知， = 2，联立两式解得 = 2， = 22， 由余弦定理得， 2= 2+ 2 2cos = 4 + 8 2 2 22 ( 2 2 ) = 20， = 25 【考点】 数列与三角函数的综合 两角和与差的三角函数 正弦定理 余弦定理 三角形的面积公式 【解析】 （1）运用三角形的内角和定理、诱导公式和正弦定理、余弦定理，计算可得 = 2，再由等比数列中项 性质即可得证； （2）运用三角
14、形的面积公式和余弦定理，解方程即可得到所求值 【解答】 (1)证明： + + = ，sin( + ) = 2sincos( + )， sin = 2sincos， 在 中，由正弦定理得， = 2cos， sin2 + sin2 sin2 + 2sinsin = 0， 由正弦定理可得2+ 2 2+ 2 = 0， cos = 2:2;2 2 = 2 2 ， 由0 ，可得 = 3 4 ， = 2，则2= 22= 2， ，2成等比数列. (2)解： = 1 2sin = 2 4 = 2，则 = 42， 由(1)知， = 2，联立两式解得 = 2， = 22， 由余弦定理得， 2= 2+ 2 2cos
15、= 4 + 8 2 2 22 ( 2 2 ) = 20， = 25 【答案】 (1)证明： 是线段的中垂线， 是的中点， 平面 ， 又 = ， 平面 平面 ， 平面 平面 (2)解：连接，如图， 为的中点， 是的中点， /， 平面 ，且 = 1 2 = 3 2 = 23， = 3 由题意知 ， = + = 2 2+ 2 2= 3 = 1 2 = 1 2 3 3 = 33 2 ， ;= 1 3 = 1 3 3 2 33 2 = 3 4 【考点】 平面与平面垂直的判定 柱体、锥体、台体的体积计算 【解析】 无 无 【解答】 (1)证明： 是线段的中垂线， 是的中点， 平面 ， 又 = ， 平面 平
16、面 ， 平面 平面 (2)解：连接，如图， 为的中点， 是的中点， /， 平面 ，且 = 1 2 = 3 2 = 23， = 3 由题意知 ， = + = 2 2+ 2 2= 3 = 1 2 = 1 2 3 3 = 33 2 ， ;= 1 3 = 1 3 3 2 33 2 = 3 4 【答案】 解：(1)当 = 1时，() 3可化为| + 1| + | 3， 当 1时， 1 3， 解得 2，所以 2； 当1 0时， + 1 3,1 3，无解； 当 0时， + 1 + 3，解得 1，所以 1. 综上，不等式() 3的解集为(,2- ,1,+). (2)当 1时，不等式() + 2可化简为| +
17、1| 1， 由不等式的性质得 + 1 1或 + 1 1， 即( 1) 2或( 1) 0， 当 1时， ，不等式( 1) 2不恒成立， 为使不等式( 1) 0恒成立，则 0. 综上，所求实数的取值范围为,0,+). 【考点】 绝对值不等式的解法与证明 不等式恒成立的问题 绝对值不等式 【解析】 （1）分3种情况去绝对值转化为不等式组可解得； （2）转化为( 1) 0或( 1) 2恒成立可得 【解答】 解：(1)当 = 1时，() 3可化为| + 1| + | 3， 当 1时， 1 3， 解得 2，所以 2； 当1 0， 0， 若 (0,)， 0，此时() 0，此时() 0，()在(,+)上单调递
18、增. 综上所述：()在 (0,)上单调递减，在(,+)上单调递增 (2)证明：由(1)知： ()min= () = 2 (ln 1 2) = ln 1 ， 即： () = ln 1 要证() 1，即证明 ln 1 1， 即证明1 ln 1 2 0， () = 1 1 2 2 3 = 2;2 3 = (;2)(:1) 3 ， 且 0， 当 (0,2)， 2 0，此时() 0，此时() 0，()在(2,+)上单调递增， ()min= (2) = ln2 + 1 2 + 1 4 1 = ln2 1 4 0， () = ln + 1 + 1 2 1 0， () 1 【考点】 利用导数研究函数的单调性
19、利用导数研究函数的最值 利用导数研究不等式恒成立问题 【解析】 （1）写出定义域，求函数导数，分析导数何时大于零，何时小于零即可求出单调区间 （2）由（1）知：()min= ()，原不等式式化为 ln 1 0，即可，利用导数即可证明()min 0 【解答】 (1)解：()的定义域为(0,+)， () = 1 + 2 2 .1 + 2 3/， = 2:2 2 2:2 3 = ( 2:2)(;) 3 ， 2+ 2 0， 0， 若 (0,)， 0，此时() 0，此时() 0，()在(,+)上单调递增. 综上所述：()在 (0,)上单调递减，在(,+)上单调递增 (2)证明：由(1)知： ()min=
20、 () = 2 (ln 1 2) = ln 1 ， 即： () = ln 1 要证() 1，即证明 ln 1 1， 即证明1 ln 1 2 0， () = 1 1 2 2 3 = 2;2 3 = (;2)(:1) 3 ， 且 0， 当 (0,2)， 2 0，此时() 0，此时() 0，()在(2,+)上单调递增， ()min= (2) = ln2 + 1 2 + 1 4 1 = ln2 1 4 0， () = ln + 1 + 1 2 1 0， () 0， 由题意知() 0在(0,+)上有解， 即 + 1 + 1 0， + 1 2， + 1 1有解， 只需要 + 1 的最小值小于 1， 2 0
21、， 令() = 0,得2 ( 1) + 1 = 0, 1，2(1 2)是函数()的两个极值点， 1，2(1 2)是方程2 ( 1) + 1 = 0的两个根， 1+ 2= 1，12= 1， 则(1) (2) = ,ln1+ 1 2 1 2 ( 1)1- ,ln2+ 1 2 2 2 ( 1)2- = ln 1 2 + 1 2 (1 2 2 2) ( 1)(1 2) = ln 1 2 + 1 2 (1 2 2 2) (1 + 2)(1 2) = ln 1 2 1 2 (1 2 2 2) = ln 1 2 1 2 (1 2 2 2 12 ) = ln 1 2 1 2( 1 2 2 1)， 0 1 2，
22、 设 = 1 2，0 1， 令() = ln 1 2( 1 )，0 1， 则() = 1 1 2(1 + 1 2) = ;(;1)2 22 0， 由1+ 2= 1，12= 1， 可得( 1)2= (1+ 2)2= (1:2)2 12 = 1 2:22:212 12 = + 1 + 2 25 4 , 化简整理，得42 17 + 4 = (4 1)( 4) 0， 解得 1 4或 4, 而0 1, 0 1 4， 又() = 1 1 2(1 + 1 2) = ;(;1)2 22 0，由题意知() 0在(0,+)上有解，即 + 1 + 1 0， 由题意知() 0， 设() 2 ( 1) + 1，由此利用
23、构造成法和导数性质能求出(1) (2)的最小值 【解答】 解：(1) () = + ln， () = 1 + ， ()在 = 1处的切线与直线2 + 3 = 0平行， = (1) = 1 + = 2， 解得 = 1. (2) () = ln + 1 2 2 ( 1)， () = 1 + ( 1) = 2;(;1):1 ， 0， 由题意知() 0在(0,+)上有解， 即 + 1 + 1 0， + 1 2， + 1 1有解， 只需要 + 1 的最小值小于 1， 2 0， 令() = 0,得2 ( 1) + 1 = 0, 1，2(1 2)是函数()的两个极值点， 1，2(1 2)是方程2 ( 1)
24、+ 1 = 0的两个根， 1+ 2= 1，12= 1， 则(1) (2) = ,ln1+ 1 2 1 2 ( 1)1- ,ln2+ 1 2 2 2 ( 1)2- = ln 1 2 + 1 2 (1 2 2 2) ( 1)(1 2) = ln 1 2 + 1 2 (1 2 2 2) (1 + 2)(1 2) = ln 1 2 1 2 (1 2 2 2) = ln 1 2 1 2 (1 2 2 2 12 ) = ln 1 2 1 2( 1 2 2 1)， 0 1 2， 设 = 1 2，0 1， 令() = ln 1 2( 1 )，0 1， 则() = 1 1 2(1 + 1 2) = ;(;1)2 22 0， 由1+ 2= 1，12= 1， 可得( 1)2= (1+ 2)2= (1:2)2 12 = 1 2:22:212 12 = + 1 + 2 25 4 , 化简整理，得42 17 + 4 = (4 1)( 4) 0， 解得 1 4或 4, 而0 1, 0 1 4， 又() = 1 1 2(1 + 1 2) = ;(;1)2 22 0， 函数()在(0, 1 4-单调递减， () (1 4) = ln 1 4 1 2( 1 4 4) = 15 8 2ln2， 故(1) (2)的最小值为15 8 2ln2