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2020-2021学年河南省南阳市高三上12月月考数学试卷(文)含答案

1、2020-2021 学年河南省南阳学年河南省南阳市市高三(上)高三(上)12 月月考数学试卷月月考数学试卷 一、选择题一、选择题 1. 已知集合 = *|2 4+, = *|0 1 5+,则(R) =( ) A.*|2 5+ B.*| 5+ C.*|1 1+ 2. 已知复数满足(1 ) = 2 + ,则的共轭复数为( ) A.3 2 + 3 2 B.1 2 3 2 C.3 2 3 2 D.1 2 + 3 2 3. 已知命题:存在实数,,满足sin( + ) = sin + sin;命题:log2 + log2 2( 0且 1)则 下列命题为真命题的是( ) A. () B. C. D. 4.

2、已知,为两条不同的直线,为两个不同的平面,给出下列4个命题: 若 ,/,则/; 若 ,/,则 ; 若 , ,则/; 若/,/,则/ 其中真命题的序号为( ) A. B. C. D. 5. 某几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积为( ) A.1 3 B.2 3 C.1 6 D.1 4 6. 在 中,若3( + ) = 2| |2,则tan + 1 tan的最小值为( ) A.5 B.25 C.6 D. 6 2 7. 已知函数() = , , ln, , 则函数 = ( )的图象大致是( ) A. B. C. D. 8. 已知函数() = sin(2 + )( 0, | 0,则满足不等式( 2

3、 6) ()的的取值范围是( ) A.(2,3) B.(,2) (6,+) C.(,6) (6,+) D.(,6) (3,+) 10. 数列*+满足:2= 2:1 ,且2014,2016是函数() = 1 3 3 42+ 6 1的极值点,则 log2(2000+ 2012+ 2018+ 2030)的值是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 11. 将函数() = 2cos2的图象向右平移 6个单位后得到函数()的图象,若函数()在区间,0, 3-和 ,2,7 6 -上均单调递增,则实数的取值范围是( ) A., 3 , 2- B., 6 , 2- C., 6 , 3- D., 4 ,3 8

4、- 12. 已知函数 = ()为定义域R上的奇函数, 且在R上是单调递增函数, 函数() = ( 5) + , 数列*+ 为等差数列,且公差不为0,若(1) + (2) + + (9) = 45,则1+ 2+ + 9=( ) A.45 B.15 C.10 D.0 二、填空题二、填空题 已知向量 = (3,4), = (0,3), = (5 ,3 ), 若点, , 能构成三角形, 则实数满足 的条件是_ 设实数,满足 2 2, + 2 0, 2, 则;1 :3的取值范围是_. 已知函数() = |ln( 1)|, 1, 2;1+ 1, 1, 若函数() = () 有三个不同的零点,则实数的取值范

5、围是 _ 已知函数() = ln,() = 3 22+ ( R),若函数 = () ()有唯一零点,则以下四个命 题中正确的是_(填写正确序号) = 2+ 1 ;函数()在(,()处的切线与直线 = 0平行; 函数 = () + 22在,0,-上的最大值为22+ 1; 函数 = () 2在,0,1-上单调递减. 三、解答题三、解答题 在 中, 内角, , 所对的边分别为, , , 若sin( + ) = 2sincos( + ), 且sin2 + sin2 sin2 + 2sinsin = 0 (1)求证:,2成等比数列; (2)若 的面积是2,求 如图,在四棱锥 中, 平面, = 2, =

6、7, = 3, = 23,是线段的 中垂线, = ,为线段上的点 (1)证明:平面 平面; (2)若为的中点,求四面体 的体积 已知() = | + 1| + | + 1| (1)当 = 1时,求不等式() 3的解集; (2)若 1时,不等式() + 2恒成立,求实数的取值范围 各项均为正数的数列*+中, 1= 1, 是数列*+的前项和, 对任意 N, 有2= 2 2 + ( R). (1)求常数的值; (2)求数列*+的通项公式; (3)记= 4 :3 2,求数列*+的前项和 设函数 () = 2 .ln 1 2/( 0). (1)求函数()的单调区间; (2)记函数()的最小值为(),证明

7、:() 1 已知函数() = () + 1 2 2 , 函数() = + ln的图象在 = 1处的切线与直线2 + 3 = 0平行 (1)求实数的值; (2)若函数()存在单调递减区间,求实数的取值范围; (3)设1,2(1 4+ = *| 2+, 所以R = *| 2+. 又 = *|1 6+, 所以(R) = *|1 , 即() = ;, 0, ln( ), 0, 因此()在,0,+),(,0)上单调递减,排除, 故选 8. 【答案】 B 【考点】 由 y=Asin(x+)的部分图象确定其解析式 正弦函数的单调性 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解:由图象可得, = 2,则 () = 2

8、sin(2 + ). 因为() = () = 0, 所以(: 2 ) = 2,则 sin( + + ) = 1,则 + + = 2 + 2, Z. 因为( + ) = 3, 所以sin,2( + ) + - = 3 2 , 所以2( + ) + = 3 + 2, Z或 2( + ) + = 2 3 + 2, Z, 所以 = 2 3 + 2, Z或 = 3 + 2, Z. 又| 0时,函数() = 4;+ 5是单调递增函数,且() 4, 当 0时,() = 4 由(2 6) ()得 0, 2 6 或 0, 2 6 0, 解得 3或 6, 所以的取值范围是(,6) (3,+). 故选 10. 【答

9、案】 C 【考点】 利用导数研究函数的极值 等差数列的性质 【解析】 利用导数即可得出函数的极值点,再利用等差数列的性质及其对数的运算法则即可得出 【解答】 解:函数() = 1 3 3 42+ 6 1,可得() = 2 8 + 6, 2014,2016是函数() = 1 3 3 42+ 6 1的极值点, 2014,2016是方程2 8 + 6 = 0的两实数根,则2014+ 2016= 8 数列*+中,满足:2= 2:1 , 可知*+为等差数列, 2014+ 2016= 2000+ 2030= 2012+ 2018= 8, 即2000+ 2012+ 2018+ 2030= 16, 从而log

10、2(2000+ 2012+ 2018+ 2030) = log216 = 4 故选 11. 【答案】 A 【考点】 函数 y=Asin(x+)的图象变换 余弦函数的单调性 【解析】 由函数的图象平移求得函数()的解析式,进一步求出函数()的单调增区间,结合函数()在区间,0, 3-和 ,2,7 6 -上均单调递增列关于的不等式组求解 【解答】 解:将函数() = 2cos2的图象向右平移 6个单位后得到函数()的图象, 得() = 2cos2( 6) = 2cos(2 3), 由 + 2 2 3 2( )得, 3 + 6 + ( ) 当 = 0时,函数的增区间为, 3 , 6-, 当 = 1时

11、,函数的增区间为,2 3 , 7 6 -, 要使函数()在区间,0, 3-和,2, 7 6 -上均单调递增, 则 0 3 6 , 2 3 2 0) 分别令() = ln ,() = 2 2 + ( 0) 函数 = () ()有唯一零点,等价于函数()与()的图象有唯一交点 () = 1;ln 2 ,可得 = 时,函数()取得极大值即最大值,() = 1 () = ( )2+ 2 2,当且仅当 = 时取等号, = 2+ 1 ,故正确; 对于,() = 32 4 + , () = 2+ = 1 , 因此函数()在(,()处的切线与直线 = 0平行,故正确; 对于,函数 = () + 22= 3+

12、, () = 32+ 2+ 1 0, ()在,0,-上的最大值为() = 3 23+ (2+ 1 ) = 1,故错误; 对于, ,0,1-时,函数() = = () 2 = 3 22+ (2+ 1 ) 2 = 3 22, () = 32 4 = 3( 4 3) 0, 因此函数()在,0,1-上单调递减,故正确. 故答案为:. 三、解答题三、解答题 【答案】 (1)证明: + + = ,sin( + ) = 2sincos( + ), sin = 2sincos, 在 中,由正弦定理得, = 2cos, sin2 + sin2 sin2 + 2sinsin = 0, 由正弦定理可得2+ 2 2+

13、 2 = 0, cos = 2:2;2 2 = 2 2 , 由0 ,可得 = 3 4 , = 2,则2= 22= 2, ,2成等比数列. (2)解: = 1 2sin = 2 4 = 2,则 = 42, 由(1)知, = 2,联立两式解得 = 2, = 22, 由余弦定理得, 2= 2+ 2 2cos = 4 + 8 2 2 22 ( 2 2 ) = 20, = 25 【考点】 数列与三角函数的综合 两角和与差的三角函数 正弦定理 余弦定理 三角形的面积公式 【解析】 (1)运用三角形的内角和定理、诱导公式和正弦定理、余弦定理,计算可得 = 2,再由等比数列中项 性质即可得证; (2)运用三角

14、形的面积公式和余弦定理,解方程即可得到所求值 【解答】 (1)证明: + + = ,sin( + ) = 2sincos( + ), sin = 2sincos, 在 中,由正弦定理得, = 2cos, sin2 + sin2 sin2 + 2sinsin = 0, 由正弦定理可得2+ 2 2+ 2 = 0, cos = 2:2;2 2 = 2 2 , 由0 ,可得 = 3 4 , = 2,则2= 22= 2, ,2成等比数列. (2)解: = 1 2sin = 2 4 = 2,则 = 42, 由(1)知, = 2,联立两式解得 = 2, = 22, 由余弦定理得, 2= 2+ 2 2cos

15、= 4 + 8 2 2 22 ( 2 2 ) = 20, = 25 【答案】 (1)证明: 是线段的中垂线, 是的中点, 平面 , 又 = , 平面 平面 , 平面 平面 (2)解:连接,如图, 为的中点, 是的中点, /, 平面 ,且 = 1 2 = 3 2 = 23, = 3 由题意知 , = + = 2 2+ 2 2= 3 = 1 2 = 1 2 3 3 = 33 2 , ;= 1 3 = 1 3 3 2 33 2 = 3 4 【考点】 平面与平面垂直的判定 柱体、锥体、台体的体积计算 【解析】 无 无 【解答】 (1)证明: 是线段的中垂线, 是的中点, 平面 , 又 = , 平面 平

16、面 , 平面 平面 (2)解:连接,如图, 为的中点, 是的中点, /, 平面 ,且 = 1 2 = 3 2 = 23, = 3 由题意知 , = + = 2 2+ 2 2= 3 = 1 2 = 1 2 3 3 = 33 2 , ;= 1 3 = 1 3 3 2 33 2 = 3 4 【答案】 解:(1)当 = 1时,() 3可化为| + 1| + | 3, 当 1时, 1 3, 解得 2,所以 2; 当1 0时, + 1 3,1 3,无解; 当 0时, + 1 + 3,解得 1,所以 1. 综上,不等式() 3的解集为(,2- ,1,+). (2)当 1时,不等式() + 2可化简为| +

17、1| 1, 由不等式的性质得 + 1 1或 + 1 1, 即( 1) 2或( 1) 0, 当 1时, ,不等式( 1) 2不恒成立, 为使不等式( 1) 0恒成立,则 0. 综上,所求实数的取值范围为,0,+). 【考点】 绝对值不等式的解法与证明 不等式恒成立的问题 绝对值不等式 【解析】 (1)分3种情况去绝对值转化为不等式组可解得; (2)转化为( 1) 0或( 1) 2恒成立可得 【解答】 解:(1)当 = 1时,() 3可化为| + 1| + | 3, 当 1时, 1 3, 解得 2,所以 2; 当1 0, 0, 若 (0,), 0,此时() 0,此时() 0,()在(,+)上单调递

18、增. 综上所述:()在 (0,)上单调递减,在(,+)上单调递增 (2)证明:由(1)知: ()min= () = 2 (ln 1 2) = ln 1 , 即: () = ln 1 要证() 1,即证明 ln 1 1, 即证明1 ln 1 2 0, () = 1 1 2 2 3 = 2;2 3 = (;2)(:1) 3 , 且 0, 当 (0,2), 2 0,此时() 0,此时() 0,()在(2,+)上单调递增, ()min= (2) = ln2 + 1 2 + 1 4 1 = ln2 1 4 0, () = ln + 1 + 1 2 1 0, () 1 【考点】 利用导数研究函数的单调性

19、利用导数研究函数的最值 利用导数研究不等式恒成立问题 【解析】 (1)写出定义域,求函数导数,分析导数何时大于零,何时小于零即可求出单调区间 (2)由(1)知:()min= (),原不等式式化为 ln 1 0,即可,利用导数即可证明()min 0 【解答】 (1)解:()的定义域为(0,+), () = 1 + 2 2 .1 + 2 3/, = 2:2 2 2:2 3 = ( 2:2)(;) 3 , 2+ 2 0, 0, 若 (0,), 0,此时() 0,此时() 0,()在(,+)上单调递增. 综上所述:()在 (0,)上单调递减,在(,+)上单调递增 (2)证明:由(1)知: ()min=

20、 () = 2 (ln 1 2) = ln 1 , 即: () = ln 1 要证() 1,即证明 ln 1 1, 即证明1 ln 1 2 0, () = 1 1 2 2 3 = 2;2 3 = (;2)(:1) 3 , 且 0, 当 (0,2), 2 0,此时() 0,此时() 0,()在(2,+)上单调递增, ()min= (2) = ln2 + 1 2 + 1 4 1 = ln2 1 4 0, () = ln + 1 + 1 2 1 0, () 0, 由题意知() 0在(0,+)上有解, 即 + 1 + 1 0, + 1 2, + 1 1有解, 只需要 + 1 的最小值小于 1, 2 0

21、, 令() = 0,得2 ( 1) + 1 = 0, 1,2(1 2)是函数()的两个极值点, 1,2(1 2)是方程2 ( 1) + 1 = 0的两个根, 1+ 2= 1,12= 1, 则(1) (2) = ,ln1+ 1 2 1 2 ( 1)1- ,ln2+ 1 2 2 2 ( 1)2- = ln 1 2 + 1 2 (1 2 2 2) ( 1)(1 2) = ln 1 2 + 1 2 (1 2 2 2) (1 + 2)(1 2) = ln 1 2 1 2 (1 2 2 2) = ln 1 2 1 2 (1 2 2 2 12 ) = ln 1 2 1 2( 1 2 2 1), 0 1 2,

22、 设 = 1 2,0 1, 令() = ln 1 2( 1 ),0 1, 则() = 1 1 2(1 + 1 2) = ;(;1)2 22 0, 由1+ 2= 1,12= 1, 可得( 1)2= (1+ 2)2= (1:2)2 12 = 1 2:22:212 12 = + 1 + 2 25 4 , 化简整理,得42 17 + 4 = (4 1)( 4) 0, 解得 1 4或 4, 而0 1, 0 1 4, 又() = 1 1 2(1 + 1 2) = ;(;1)2 22 0,由题意知() 0在(0,+)上有解,即 + 1 + 1 0, 由题意知() 0, 设() 2 ( 1) + 1,由此利用

23、构造成法和导数性质能求出(1) (2)的最小值 【解答】 解:(1) () = + ln, () = 1 + , ()在 = 1处的切线与直线2 + 3 = 0平行, = (1) = 1 + = 2, 解得 = 1. (2) () = ln + 1 2 2 ( 1), () = 1 + ( 1) = 2;(;1):1 , 0, 由题意知() 0在(0,+)上有解, 即 + 1 + 1 0, + 1 2, + 1 1有解, 只需要 + 1 的最小值小于 1, 2 0, 令() = 0,得2 ( 1) + 1 = 0, 1,2(1 2)是函数()的两个极值点, 1,2(1 2)是方程2 ( 1)

24、+ 1 = 0的两个根, 1+ 2= 1,12= 1, 则(1) (2) = ,ln1+ 1 2 1 2 ( 1)1- ,ln2+ 1 2 2 2 ( 1)2- = ln 1 2 + 1 2 (1 2 2 2) ( 1)(1 2) = ln 1 2 + 1 2 (1 2 2 2) (1 + 2)(1 2) = ln 1 2 1 2 (1 2 2 2) = ln 1 2 1 2 (1 2 2 2 12 ) = ln 1 2 1 2( 1 2 2 1), 0 1 2, 设 = 1 2,0 1, 令() = ln 1 2( 1 ),0 1, 则() = 1 1 2(1 + 1 2) = ;(;1)2 22 0, 由1+ 2= 1,12= 1, 可得( 1)2= (1+ 2)2= (1:2)2 12 = 1 2:22:212 12 = + 1 + 2 25 4 , 化简整理,得42 17 + 4 = (4 1)( 4) 0, 解得 1 4或 4, 而0 1, 0 1 4, 又() = 1 1 2(1 + 1 2) = ;(;1)2 22 0, 函数()在(0, 1 4-单调递减, () (1 4) = ln 1 4 1 2( 1 4 4) = 15 8 2ln2, 故(1) (2)的最小值为15 8 2ln2