1、2020-2021 学年河南省南阳市高三（上）质量检测数学（文）试卷学年河南省南阳市高三（上）质量检测数学（文）试卷 一、选择题一、选择题 1. 已知集合 = *| 4 + 5+， = *|2 4+，则 =( ) A.*|0 2+ B.2| 5 3 23 C.2| 5 33 D.*| 2 0, 0)的两条渐近线分别交于， 两点 若的 焦距为4，则 面积的最大值为( ) A.1 B.2 C.4 D.8 8. 下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是( ) A.4 B.5 C.6 D.7 9. 已知，分别为椭圆 2 2 + 2 2 = 1( 0)的左、右顶点，是椭圆上的不同两点且关于轴对称
2、， 设直线，的斜率分别为，若 = 1 4，则该椭圆的离心率为( ) A. 6 3 B. 2 2 C. 3 2 D.2 3 10. 已知函数() = sin( + ). 0,| 2 1，(1);(2) 1;2 (1+ 2)成立，则的取值范围为( ) A.,2,1- B.,2,1) C.,4,1- D.,4,1) 12. 设函数() = ln ，若存在,- 01 ,1，使得()在,-上的值域为,-，则实数的取值范围为 ( ) A., 1 2 , 1 2) B., 1 2 ,1) C., 1 2 , 1 ) D., 1 2 ,1) 二、填空题二、填空题 已知平面向量 = (1,)， = ( 1,3)
3、，且 = | |，则 =_. 定义在上的奇函数()在,0,+)上是减函数， 若() + (3 2) (0)， 则的取值范围为_. 在 中，角，所对的边分别为， = 4，sin = 4sin，若此三角形有两解，则的取 值范围是_. 如图，在四棱锥 中， 平面，若 = = 2，/， = = 3，与 平面所成角的正切值为23 3 ，则四棱锥 外接球的表面积为_. 三、解答题三、解答题 为了解某农场的种植情况，该农场的技术人员对种植出来的水果进行抽样检测，将测得的水果重量分成 ,15.5,16.5)，,16.5,17.5) ，,17.5,18.5)，,18.5,19.5)，,19.5,20.5)，,2
4、0.5,21.5-六组进行统计，得到如图所示 的统计图 (1)估计该农场的水果重量的平均数（同一组当中的水果重量用该组的中间值代替） ； (2)从样本中重量不小于19.5克的水果中任取2个，求至少有1个水果的重量不小于20.5克的概率 已知数列*+的首项为1 2，且满足( + 1) = ( 1);1（ 2， ） (1)求*+的通项公式； (2)已知= + 1 ，求数列*+的前项和 如图，在四面体中， 是等边三角形，且 = . (1)证明： ； (2)若 = 2， = 3， ，求点到平面的距离 已知动点到点(3,0)的距离比它到直线: + 5 = 0的距离小2. (1)求动点的轨迹的方程； (2
5、)过点作斜率为( 0)的直线与轨迹交于点，线段的垂直平分线交轴于点，证明：| |为 定值 已知函数() = ln . (1)讨论函数()的单调性； (2)若不等式() ( 1) 对 ,1,+)恒成立，求的取值范围 在直角坐标系中，直线的参数方程为 = 1 + 2, = 3 2 （为参数） ，曲线的方程为2 4 + 2+ 2 = 0， 以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系 (1)求直线和曲线的极坐标方程； (2)若射线 = (0 2)与曲线相切于点（点位于第一象限） ，且与直线相交于点，求|. 已知正实数，满足 + + = . (1)证明： + + 9； (2)证明： 2 + 2 + 2 1.
6、 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题一、选择题 1. 【答案】 B 【考点】 一元二次不等式的解法 交集及其运算 【解析】 【解答】 解： = *| 4 + 5+ = 2| 5 33， = *| 2 2+， = 2| 5 3 100，循环； = 2， = 0 + 23= 8，不满足 100，循环； = 3， = 8 + 33= 19，不满足 100，循环； = 4， = 19 + 43= 45，不满足 100，循环； = 5， = 45 + 53= 80，不满足 100，循环； = 6， = 80 + 63= 136，满足 100，输出 = 6 故选 9. 【答案】 C 【考点】
7、 椭圆的离心率 斜率的计算公式 【解析】 【解答】 解：设(0,0)，则(0,0)， = 0 0:， = ;0 0;， 则 = 0 2 0 2;2. 又 0 2 = 2 2 ( 0 2)， = 2 2 = 1 4， = 2;2 2 = 3 2 故选 10. 【答案】 D 【考点】 由 y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式 函数的求值 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：由函数图象可知 4 = 7 12 3 = 4，即 = 2 = ， 解得 = 2. 将.7 12 ,1/代入得，sin.2 7 12 + / = 1， 即7 6 + = 3 2 + 2， ， = 3 + 2， . 又| (
8、1+ 2)， (1) 1 2 (2) 2 2. 1 2 1， 函数() 2在(1,+)上单调递增 令() = () 2 = (1 )2+ 2 2 当 = 1时，() = 2 2，满足题意； 当 1时， 1 0, 2 2(1:) 1， 解得2 (0)可化为() (2 3)， 则 3，即的取值范围为(3,+). 故答案为：(3,+). 【答案】 (4,42) 【考点】 正弦定理 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：由sin = 4sin，可得 = 4， 由正弦定理可得 sin = sin = 4 sin 4 = 4 2 2 , 即sin = 42 又三角形有两解， 所以只需 ， sin 1, 即
9、4 0， 当0 0， 则函数()在(0,)上单调递增； 当 时，() 0， 则函数()在(,+)上单调递减 若 0，() = ; 0， 则函数()在(0,+)上单调递减 (2)若不等式() ( 1) 在,1,+)上恒成立， 即ln + 0恒成立. 设() = ln + ， 则() = + ， 令() = ()， 则() = 2 当 0时，() 0恒成立， 所以()在,1,+)上单调递增， 所以() (1) = 0， 即 0符合题意； 当 0恒成立， 所以()在,1,+)上单调递增. 又因为(1) = 0， 所以存在0 (1,ln( )，使得 ( 0) = 0， 当 (1,0)时，() 0， 即
10、()在(1,0)上单调递减， 所以(0) (1) = 0， 即 0， 当0 0， 则函数()在(0,)上单调递增； 当 时，() 0， 则函数()在(,+)上单调递减 若 0，() = ; 0， 则函数()在(0,+)上单调递减 (2)若不等式() ( 1) 在,1,+)上恒成立， 即ln + 0恒成立. 设() = ln + ， 则() = + ， 令() = ()， 则() = 2 当 0时，() 0恒成立， 所以()在,1,+)上单调递增， 所以() (1) = 0， 即 0符合题意； 当 0恒成立， 所以()在,1,+)上单调递增. 又因为(1) = 0， 所以存在0 (1,ln( )
11、，使得 ( 0) = 0， 当 (1,0)时，() 0， 即()在(1,0)上单调递减， 所以(0) (1) = 0， 即 0不符合题意 综上，的取值范围为,0,+) 【答案】 解：(1)消去可得： + 4 = 0. 将 = cos， = sin代入普通方程， 可得直线的极坐标方程为cos + sin 4 = 0， 曲线的极坐标方程为2 4cos + 2 = 0 (2)在极坐标系中，联立 = ， 2 4cos + 2 = 0， 可得2 4cos + 2 = 0 因为射线 = 与曲线相切， 所以(4cos)2 4 2 = 0， 解得cos = 2 2 . 又点位于第一象限， 所以 = 4， 所以
12、| = 2 联立 = 4 , cos + sin 4 = 0， 解得 = 22，即| = 22， 所以| = | | = 2 【考点】 参数方程与普通方程的互化 圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化 直线与圆的位置关系 【解析】 【解答】 解：(1)消去可得： + 4 = 0. 将 = cos， = sin代入普通方程， 可得直线的极坐标方程为cos + sin 4 = 0， 曲线的极坐标方程为2 4cos + 2 = 0 (2)在极坐标系中，联立 = ， 2 4cos + 2 = 0， 可得2 4cos + 2 = 0 因为射线 = 与曲线相切， 所以(4cos)2 4 2 = 0， 解得co
13、s = 2 2 . 又点位于第一象限， 所以 = 4， 所以| = 2 联立 = 4 , cos + sin 4 = 0， 解得 = 22，即| = 22， 所以| = | | = 2 【答案】 证明：(1)因为 + + = ， 所以1 + 1 + 1 = 1， 所以 + + = ( + + ) .1 + 1 + 1 / = 3 + + + + + + 3 + 2 + 2 + 2 = 9， 当且仅当 = = 时，等号成立， 所以 + + 9 (2) 2 + 2 + 2 = 2 + 2 + 2 + 1 + 1 + 1 1 = ( 2 + 1 ) + ( 2 + 1 ) + ( 2 + 1 ) 1
14、 2 + 2 + 2 1 = 1， 当且仅当 = = 时，等号成立， 所以 2 + 2 + 2 1 【考点】 基本不等式在最值问题中的应用 【解析】 此题暂无解析 【解答】 证明：(1)因为 + + = ， 所以1 + 1 + 1 = 1， 所以 + + = ( + + ) .1 + 1 + 1 / = 3 + + + + + + 3 + 2 + 2 + 2 = 9， 当且仅当 = = 时，等号成立， 所以 + + 9 (2) 2 + 2 + 2 = 2 + 2 + 2 + 1 + 1 + 1 1 = ( 2 + 1 ) + ( 2 + 1 ) + ( 2 + 1 ) 1 2 + 2 + 2 1 = 1， 当且仅当 = = 时，等号成立， 所以 2 + 2 + 2 1