1、第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.12.1 等式性质与不等式性质等式性质与不等式性质 第第2 2课时课时 等式性质与不等式性质等式性质与不等式性质 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 2 学 习 目 标 核 心 素 养 1.掌握不等式的性质(重点) 2能利用不等式的性质进行数或式的 大小比较或不等式的证明(难点) 3通过类比等式与不等式的性质，探 索两者之间的共性与差异. 1.通过不等式性质的判断与证 明，培养逻辑推理能力 2借助不等式性质求范围问 题，提升数学运算素养. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 3 自自 主主 预预 习习 探探 新新 知知 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航
2、 4 1等式的性质 (1) 性质1 如果ab，那么ba； (2) 性质2 如果ab，bc，那么ac； (3) 性质3 如果ab，那么a cb c； (4) 性质4 如果ab，那么acbc； (5) 性质5 如果ab，c0，那么a c b c. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 5 2不等式的基本性质 (1)对称性：ab . (2)传递性：ab，bc . (3)可加性：ab . (4)可乘性：ab，c0 ；ab，c0 . (5)加法法则：ab，cd . (6)乘法法则：ab0，cd0 . (7)乘方法则：ab0_ ba ac acbc acbc acbc acbd acbd anbn0(nN,
3、n2) 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 6 1若ab，cd，则下列不等 关系中不一定成立的是( ) Aabdc Badbc Cacbc Dacad B 根据不等式的性质 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 7 2与ab等价的不等式是( ) A|a|b| Ba2b2 C.a b1 Da3b3 D 可利用赋值法令 a5， b0，则 A、B 正确而不满足 a b. 再令 a3，b1，则 C 正确而 不满足 a b，故选 D. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 8 3设xa0，则下列不等式一 定成立的是( ) Ax2axaxa2 Cx2a2a2ax B x a a2.x2 axx(xa) 0，x
4、2 ax.又 ax a2a(xa) 0，ax a2. x2 ax a2. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 9 合合 作作 探探 究究 提提 素素 养养 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 10 【例1】 对于实数a，b，c下列命题中的真命题是( ) A若ab，则ac2bc2 B若ab0，则1 a 1 b C若ab0，则b a a b D若ab，1 a 1 b，则a0，b0 思路点拨 本题可以利用不等式的性质直接判断命题的真假，也可 以采用特殊值法判断 利用不等式性质判断命题真假 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 11 D 法一：c20，c0时， 有ac2bc2，故A为假命题； 由ab0，
5、有ab0 a ab b ab 1 b 1 a， 故B为假命题； ab0ab01 b 1 a0 ab0ab0 a b b a， 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 12 故C为假命题； abba0 1 a 1 b 1 a 1 b0 ba ab 0 ab0. ab，a0且b0，故D为真命题 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 13 法二：特殊值排除法 取c0，则ac2bc2，故A错 取a2，b1，则1 a 1 2， 1 b1. 有1 a 1 b，故B错取a2，b1， 则b a 1 2， a b2，有 b a a b，故C错 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 14 运用不等式的性质判断时，要注意不
6、等式成立的条件，不要弱化条 件，尤其是不能凭想当然随意捏造性质.解有关不等式选择题时，也可采 用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条 件；二是取值要简单，便于验证计算. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 15 1下列命题正确的是( ) A若a2b2，则ab B若1 a 1 b，则ab C若acbc，则ab D若 a b，则ab D A错，例如(3)222；B 错，例如1 2 1 3；C错，例如当c 2，a3，b2时，有acbc， 但ab. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 16 【例2】 若ab0，cd0，e0，求证： e ac2 e bd2. 思路点拨 可结合不等
7、式的基本性质，分析所证不等式的结构，有 理有据地导出证明结果 利用不等式性质证明简单不等式 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 17 证明 cd0，cd0. 又ab0，acbd0. (ac)2(bd)20. 两边同乘以 1 ac2bd2， 得 1 ac2 1 bd2. 又 e0， e ac2 e bd2. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 18 本例条件不变的情况下，求证： e ac e bd. 证明 cd0，cd0. ab0，acbd0， 0 1 ac 1 bd， 又e0， e ac e bd. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 19 利用不等式的性质证明不等式注意事项 1利用不等式的性
8、质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题一 定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准 确地加以应用. 2应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的 条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 20 2已知ab，ef，c0，求证：facb，c0，acbc. 又ef，eacfbc， ebcfac，facebc. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 21 探究问题 1小明同学做题时进行如下变形： 2b3， 1 3 1 b 1 2， 又6a8， 2a b4. 你认为正确吗？为什么？ 不等式性质的应用 栏目导航栏目
9、导航 栏目导航栏目导航 22 提示：不正确因为不等式两边同乘以一个正数，不等号的方向不 变，但同乘以一个负数，不等号方向改变，在本题中只知道6a8.不 明确a值的正负故不能将1 3 1 b 1 2与6a8两边分别相乘，只有两边都 是正数的同向不等式才能分别相乘 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 23 2由6a8，4b2，两边分别相减得2ab6，你认为正 确吗？ 提示：不正确因为同向不等式具有可加性但不能相减，解题时 要充分利用条件，运用不等式的性质进行等价变形，而不可随意“创 造”性质 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 24 3你知道下面的推理、变形错在哪儿吗？ 2ab4， 4ba2. 又
10、2ab2， 0a3，3b0， 3ab3. 这怎么与2ab2矛盾了呢？ 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 25 提示：利用几个不等式的范围来确定某不等式的范围要注意：同向不 等式两边可以相加(相乘)，这种转化不是等价变形本题中将 2ab4 与2ab2 两边相加得 0a3， 又将4ba2 与2ab2 两边 相加得出3b0，又将该式与 0a3 两边相加得出3abb，则acbc一定成立( ) (2)若acbd，则ab，cd.( ) 提示 (1)错误由不等式的可乘性知，当不等式两端同乘以一个 正数时，不等号方向不变，因此若ab，则acbc不一定成立 (2)错误取a4，c5，b6，d2.满足acbd，但
11、不满足 ab. 答案 (1) (2) 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 34 2如果ab0，cd0， 则下列不等式中不正确的是( ) Aadbc Ba d b c Cadbc Dacbd C 由已知及不等式的性质可得ac bd， 即adbc，所以A正确； 由cd0，得1 d 1 c0. 又ab0，所以a d b c， a d b c即B 正确； 显然D正确，因此不正确的选项是C. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 35 3若11，则下 列各式中恒成立的是( ) A20 B21 C10 D11 A 由11，11， 得11. 22，但. 故知20. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 36 4若bcad0，bd0.求证：ab b cd d . 证明 因为bcad0，所以adbc， 因为bd0，所以a b c d，所以 a b1 c d1，所以 ab b cd d . 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 37 课课 时时 分分 层层 作作 业业 点击右图进入点击右图进入 Thank you for watching !