1、第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.32.3 二次函数与一元二次方程、不等式二次函数与一元二次方程、不等式 第第2 2课时课时 一元二次不等式的应用一元二次不等式的应用 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 2 学 习 目 标 核 心 素 养 1.掌握一元二次不等式的实际应用 (重点). 2.理解三个“二次”之间的关系. 3.会解一元二次不等式中的恒成立 问题(难点). 1.通过分式不等式的解法及不等式 的恒成立问题的学习，培养数学运 算素养. 2.借助一元二次不等式的应用培养 数学建模素养. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 3 自自 主主 预预 习习 探探 新新 知知 栏目导航栏目导航
2、 栏目导航栏目导航 4 1分式不等式的解法 主导思想：化分式不等式为整式不等式 类型 同解不等式 axb cxd0(0) (其中a，b，c，d为常数) 法一： axb00 cxd0 或 axb00 cxd0 法二： (axb)(cxd)0(0) 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 5 axb cxd0(0) 法一： axb00 axd0 或 axb00 cxd0 法二： axbcxd00 cxd0 axb cxdk 0与(x3)(x2)0等价吗？将 x3 x20变形为(x3)(x 2)0，有什么好处？ 提示：等价；好处是将不熟悉的分式不等式化归为已经熟悉的一元 二次不等式 栏目导航栏目导航 栏
3、目导航栏目导航 7 2(1)不等式的解集为R(或恒成立)的条件 不等式 ax2bxc0 ax2bxc0 b0，c0 0 a0 0 (2)有关不等式恒成立求参数的取值范围的方法 若ax2bxck恒成立ymaxk 设二次函数 yax2bxc 若ax2bxck恒成立ymink 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 8 3.从实际问题中抽象出一元二次不等式模型的步骤 (1)阅读理解，认真审题，分析题目中有哪些已知量和未知量，找准 不等关系 (2)设出起关键作用的未知量，用不等式表示不等关系(或表示成函数 关系) (3)解不等式(或求函数最值) (4)回扣实际问题 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 9
4、思考2：解一元二次不等式应用题的关键是什么？ 提示：解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模 型，选择其中起关键作用的未知量为x，用x来表示其他未知量，根据题 意，列出不等关系再求解 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 10 1若集合Ax|12x 13，B x x2 x 0，则AB 等于( ) Ax|1x0 Bx|0 x1 Cx|0 x2 Dx|0 x1 B Ax|1x1，B x|0 x2，ABx|0 x 1 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 11 2不等式x1 x 5的解集是 _ x 0 x1 4 原不等式x1 x 5x x 4x1 x 0 x4x10， x0， 解得00，y0
5、，x40，y40，xy300， 整理得yx40，将y40 x代入 xy300，整理得x240 x3000， 解得10 x30. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 14 合合 作作 探探 究究 提提 素素 养养 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 15 【例1】 解下列不等式： (1)x3 x20； (2) x1 2x31. 分式不等式的解法 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 16 解 (1)x3 x20(x3)(x2)02x3， 原不等式的解集为x|2x3 (2) x1 2x31， x1 2x310， x4 2x3 0， 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 17 即x4 x3 2 0. 此
6、不等式等价于(x4) x3 2 0且x3 20， 解得x3 2或x4， 原不等式的解集为 x x3 2或x4 . 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 18 1对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一 元一次不等式组求解，但要注意分母不为零 2对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分 (不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 19 1解下列不等式：(1)x1 x30；(2) 5x1 x1 3. 即知原不等式的解集为x|x1或x3 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 20 (2)不等式5x1 x1 3可改写为5
7、x1 x1 30， 即2x1 x1 0. 可将这个不等式转化成2(x1)(x1)0， 解得1x1. 所以，原不等式的解集为x|1x1 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 21 【例2】 国家原计划以2 400元/吨的价格收购某种农产品m吨按 规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分 点，即8%)为了减轻农民负担，制定积极的收购政策根据市场规律， 税率降低x个百分点，收购量能增加2x个百分点试确定x的范围，使税 率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%. 思路点拨 将文字语言转换成数学语言：“税率降低x个百分点” 即调节后税率为(8x)%；“收购量能增加2x个百
8、分点”，此时总收购量 为m(12x%)吨，“原计划的78%”即为2 400m8%78%. 一元二次不等式的应用 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 22 解 设税率调低后“税收总收入”为y元 y2 400m(12x%) (8x)% 12 25m(x 242x400)(0 x8) 依题意，得y2 400m8%78%， 即12 25m(x 242x400)2 400m8%78%， 整理，得x242x880，解得44x2. 根据x的实际意义，知x的范围为0 x2. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 23 求解一元二次不等式应用问题的步骤 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 24 2某校园内有一块长
9、为800 m，宽为600 m的长方形地面，现要对该 地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要 求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围 解 设花卉带的宽度为x m(0 x600)，则中间草坪的长为(800 2x)m，宽为(6002x)m.根据题意可得(8002x)(6002x)1 2 800600，整理得x2700 x6001000，即(x600)(x100)0， 所以00恒成立，如何求实数a 的取值范围？ 不等式恒成立问题 提示：若a0，显然y0不能对一切xR都成立所以a0，此时只 有二次函数yax22x2的图象与直角坐标系中的x轴无交点且抛物线开 口向上
10、时，才满足题意，则 a0， 48a1 2. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 26 2若函数yx2ax3对3x1上恒有x2ax30成立，如 何求a的范围？ 提示：要使x2ax30在3x1上恒成立，则必使函数yx2 ax3在3x1上的图象在x轴的下方，由y的图象可知，此时a应 满足 323a30， 12a30， 即 3a60， a20， 解得a2. 故当a2时，有f(x)0在3x1上恒成立 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 27 3若函数yx22(a2)x4对任意3a1时，y0恒成立，如 何求x的取值范围？ 提示：由于本题中已知a的取值范围求x，所以我们可以把函数f(x)转 化为关于自变量是
11、a的函数，求参数x的取值问题，则令y2x ax24x 4. 要使对任意3a1，y0恒成立，只需满足 2xx24x40 32xx24x40， 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 28 即 x22x40， x210 x40. 因为x22x40的解集是空集， 所以不存在实数x，使函数yx22(a2)x4对任意3a1， y0恒成立 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 29 【例3】 已知yx2ax3a，若2x2，x2ax3a0恒 成立，求a的取值范围 思路点拨 对于含参数的函数在某一范围上的函数值恒大于等于零 的问题，可以利用函数的图象与性质求解 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 30 解 设函数y
12、x2ax3a在2x2时的最小值为关于a的一 次函数，设为 g(a)，则 (1)当对称轴 xa 24 时，g(a)(2) 2(2)a3a 73a0，解得 a7 3，与 a4 矛盾，不符合题意 (2)当2a 22，即4a4 时，g(a)3a a2 4 0，解得6 a2，此时4a2. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 31 (3)当a 22，即a4时，g(a)2 22a3a7a0，解得a 7，此时7a4. 综上，a的取值范围为7a2. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 32 1(变结论)本例条件不变，若yx2ax3a2恒成立，求a的取 值范围 解 若2x2，x2ax3a2恒成立可转化为： 当2x
13、2时，ymin2 a 22， ymin222a3a7a2， 解得 a 的取值范围为5x22 2. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 34 2(变条件)将例题中的条件“yx2ax3a，2x2，y0恒 成立”变为“不等式x22xa230的解集为R”，求a的取值范围 解 法一：不等式x22xa230的解集为R， 函数yx22xa23的图象应在x轴上方， 44(a23)2或a0的解集为R，则a 满足ymina240，解得a2或a0，得 a2x22x3， 即 a2(x1)24，要使该不等式在 R 上恒成立，必须使 a2大于 (x1)24 的最大值，即 a24，故 a2 或 a0 的解是全体实数(或恒成
14、立)的条件是：当 a 0 时，b0，c0； 当 a0 时， a0， 0. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 37 2不等式 ax2bxc0 的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当 a 0 时，b0，c0； 当 a0 时， a0， f(x)恒成立af(x)max；(2)若f(x)有最小 值f(x)min，则af(x)恒成立a1的解集为xax2bxc(a0)恒成立时，可转化为求解yax2bxc 的最小值，从而求出m的范围( ) 提示 (1)1 x1 1 x10 x1 x 0 x|0 xax2bxc(a0)恒成立转化为mymax，故(2)错 答案 (1) (2) 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航
15、 42 2不等式x1x2 2x3 x4 0 的解集为_ x|4x1 原式 可转化为(x1)(x2)2(x3)(x 4)0， 根据数轴穿根法，解集为 4x1. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 43 3对于任意实数x， 不等式(a2)x22(a2)x 40恒成立，则实数a的 取值范围是_ 2a2 当a20，即a2时，4 0恒成立； 当a20，即a2时，则有 a20， 2a224a240， 解得2a2.综上，实数a的取值范围是 2a2. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 44 4某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每 天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏为了使这批台 灯每天能获得400元以上的销售收入，应怎样制定这批台灯的销售价格？ 解 设每盏台灯售价x元，则x15，并且日销售收入为x302(x 15)，由题意知，当x15时，有x302(x15)400，解得：15x20. 所以为了使这批台灯每天获得400元以上的销售收入，应当制定这批 台灯的销售价格为15x20. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 45 课课 时时 分分 层层 作作 业业 点击右图进入点击右图进入 Thank you for watching !