1、第三章 函数的概念与性质 3 3. .1 1 函数的概念及其表示函数的概念及其表示 3.1.13.1.1 函数的概念函数的概念 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 2 学 习 目 标 核 心 素 养 1.进一步体会函数是描述变量之间的依赖 关系的重要数学模型能用集合与对应的 语言刻画出函数，体会对应关系在刻画数 学概念中的作用(重点、难点) 2 了解构成函数的要素，会求一些简单函 数的定义域和值域(重点) 3能够正确使用区间表示数集(易混点) 1.通过学习函数的概念，培养 数学抽象素养 2借助函数定义域的求解，培 养数学运算素养 3借助 f(x)与 f(a)的关系，培 养逻辑推理素养. 栏目导
2、航栏目导航 栏目导航栏目导航 3 自自 主主 预预 习习 探探 新新 知知 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 4 1函数的概念 定义 一般地，设 A，B 是非空的 ，如果对于集合 A 中 的 按照某种确定的对应关系 f， 在集合 B 中 都有 的数 y 和它对应，那么就称 f：AB 为从 集合 A 到集合 B 的一个函数 对应关系 yf(x)，xA 定义域 的取值范围 三 要 素 值域 与 x 的值相对应的 y 的函数值的集合 实数集 任意一个数 x 唯一确定 自变量 x f(x)|xA 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 5 思考 1： (1)有人认为“yf(x)”表示的是“y 等于 f
3、与 x 的乘积”， 这 种看法对吗？ (2)f(x)与 f(a)有何区别与联系？ 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 6 提示：(1)这种看法不对 符号 yf(x)是“y 是 x 的函数”的数学表示，应理解为 x 是自变量， 它是关系所施加的对象；f 是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可 以是图象、表格，也可以是文字描述；y 是自变量的函数，当 x 允许取某 一具体值时，相应的 y 值为与该自变量值对应的函数值yf(x)仅仅是函 数符号，不表示“y 等于 f 与 x 的乘积”在研究函数时，除用符号 f(x) 外，还常用 g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数 栏目导航栏目导航 栏目导航栏
4、目导航 7 (2)f(x)与 f(a)的区别与联系：f(a)表示当 xa 时，函数 f(x)的值，是一 个常量， 而 f(x)是自变量 x 的函数， 一般情况下， 它是一个变量， f(a)是 f(x) 的一个特殊值，如一次函数 f(x)3x4，当 x8 时，f(8)38428 是一个常数 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 8 2区间及有关概念 (1)一般区间的表示 设 a，bR，且 ab，规定如下： 定义 名称 符号 数轴表示 x|axb 闭区间 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ x|axb 开区间 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
5、 _ _ _ _ x|axb 半开半闭区间 a，b) x|a0 得 x1. 所以函数的定义域为(1， ) 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 12 2若 f(x) 1 1x2，则 f(3) _. 1 8 f(3) 1 19 1 8. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 13 3用区间表示下列集合： (1)x|10 x100用区间表示为 _； (2)x|x1用区间表示为 _ (1)10,100 (2)(1， ) 结合 区间的定义可知(1)为10,100，(2)为 (1，) 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 14 合合 作作 探探 究究 提提 素素 养养 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 15
6、 【例1】 (1)下列各组函数是同一函数的是( ) f(x) 2x3与g(x)x 2x； f(x)x与g(x) x2； f(x)x0与g(x) 1 x0； f(x)x22x1与g(t)t22t1. A B C D 函数的概念 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 16 (2)判断下列对应是不是从集合A到集合B的函数 AN，BN*，对应法则f：对集合A中的元素取绝对值与B中元素 对应； A1,1,2，2，B1,4，对应法则f：xyx2，xA， yB； A1,1,2，2，B1,2,4，对应法则f：xyx2，xA， yB； A三角形，Bx|x0，对应法则f：对A中元素求面积与B中 元素对应 栏目导航栏
7、目导航 栏目导航栏目导航 17 (1)C f(x) 2x3|x| 2x与 g(x)x 2x的对应法则和值 域不同，故不是同一函数 g(x) x2|x|与 f(x)x 的对应法则和值域不同，故不是同一函 数 f(x)x0与 g(x) 1 x0都可化为 y1 且定义域是x|x0，故是同 一函数 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 18 f(x)x22x1 与 g(t)t22t1 的定义域都是 R，对应法则也相 同，而与用什么字母表示无关，故是同一函数 由上可知是同一函数的是. 故选 C. (2)解 对于 A 中的元素 0，在 f 的作用下得 0，但 0 不属于 B，即 A 中的元素 0 在 B 中
8、没有元素与之对应，所以不是函数 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 19 对于A中的元素 1，在f的作用下与B中的1对应，A中的元素 2，在 f的作用下与B中的4对应，所以满足A中的任一元素与B中唯一元素对应， 是“多对一”的对应，故是函数 对于A中的任一元素，在对应关系f的作用下，B中都有唯一的元素 与之对应，如 1对应1， 2对应4，所以是函数 集合A不是数集，故不是函数 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 20 1判断对应关系是否为函数的2个条件 (1)A，B必须是非空实数集 (2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应 对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的
9、不是函数关系 2判断函数相等的方法 (1)先看定义域，若定义域不同，则不相等； (2)若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 21 1下列四个图象中，不是函数图象的是( ) A B C D B 根据函数的定义知：y是x的函数中，x确定一个值，y就随之确 定一个值，体现在图象上，图象与平行于y轴的直线最多只能有一个交 点，对照选项，可知只有B不符合此条件故选B. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 22 2下列各组函数中是相等函数 的是( ) Ayx1与yx 21 x1 Byx21与st21 Cy2x与y2x(x0) Dy(x1)2与yx2 B
10、A，C选项中两函数的定义 域不同，D选项中两函数的对应关系 不同，故A，C，D错误，选B. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 23 【例2】 设f(x)2x22，g(x) 1 x2， (1)求f(2)，f(a3)，g(a)g(0)(a2)，g(f(2) (2)求g(f(x) 思路点拨 (1)直接把变量的取值代入相应函数解析式，求值即 可； (2)把f(x)直接代入g(x)中便可得到g(f(x) 求函数值 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 24 解 (1)因为f(x)2x22， 所以f(2)222210， f(a3)2(a3)222a212a20.因为g(x) 1 x2， 所以g(a)g(0
11、) 1 a2 1 02 1 a2 1 2(a2) g(f(2)g(10) 1 102 1 12. (2)g(f(x) 1 fx2 1 2x222 1 2x24. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 25 函数求值的方法 1已知fx的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得fa的值. 2求fga的值应遵循由里往外的原则. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 26 3已知f(x)x32x3，求f(1)，f(t)，f(2a1)和f(f(1)的值 解 f(1)132136； f(t)t32t3； f(2a1)(2a1)32(2a1)38a312a210a； f(f(1)f(1)32(1)3)f(0)3.
12、 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 27 探究问题 1已知函数的解析式，求其定义域时，能否可以对其先化简再求定 义域？ 提示：不可以如f(x) x1 x21.倘若先化简，则f(x) 1 x1，从而定义 域与原函数不等价 求函数的定义域 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 28 2若函数yf(x1)的定义域是1,2，这里的“1,2”是指谁的取值 范围？函数yf(x)的定义域是什么？ 提示：1,2是自变量x的取值范围 函数yf(x)的定义域是x1的范围2,3 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 29 【例3】 求下列函数的定义域： (1)f(x)2 3 x2； (2)f(x)(x1)0 2 x1
13、； (3)f(x) 3x x1； (4)f(x)x1 2 x1 1x. 思路点拨 要求函数的定义域，只需分母不为0，偶次方根中被开 方数大于等于0即可 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 30 解 (1)当且仅当x20，即x2时， 函数f(x)2 3 x2有意义， 所以这个函数的定义域为x|x2 (2)函数有意义，当且仅当 x10， 2 x10， x10， 解得x1且x1， 所以这个函数的定义域为x|x1且x1 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 31 (3)函数有意义，当且仅当 3x0， x10， 解得1x3， 所以这个函数的定义域为x|1x3 (4)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足
14、x10， 1x0， 解得x1 且x1， 即函数定义域为x|x1且x1 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 32 (变结论)在本例(3)条件不变的前提下，求函数yf(x1)的定义域 解 由1x13得0 x2. 所以函数yf(x1)的定义域为0,2 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 33 求函数定义域的常用方法 1若fx是分式，则应考虑使分母不为零. 2若fx是偶次根式，则被开方数大于或等于零. 3若fx是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合. 4若fx是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的 交集. 5若fx是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意 义. 栏
15、目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 34 1对于用关系式表示的函数如果没有给出定义域，那么就认为函 数的定义域是指使函数表达式有意义的自变量取值的集合这也是求某 函数定义域的依据 2函数的定义主要包括定义域和定义域到值域的对应法则，因此， 判定两个函数是否相同时，就看定义域和对应法则是否完全一致，完全 一致的两个函数才算相同 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 35 3函数符号yf(x)是学习的难点，它是抽象符号之一首先明确符 号“yf(x)”为y是x的函数，它仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x 的乘积”. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 36 当当 堂堂 达达 标标 固固 双双 基基
16、栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 37 1思考辨析 (1)区间表示数集，数集一定能用区间表示( ) (2)数集x|x2可用区间表示为2，( ) (3)函数的定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定 了( ) (4)函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对 应( ) (5)函数的定义域和值域一定是无限集合( ) 答案 (1) (2) (3) (4) (5) 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 38 2下列函数中，与函数yx相 等的是( ) Ay( x)2 By x2 Cy|x| Dy3x3 D 函数yx的定义域为R；y ( x)2的定义域为0，)；y x2|x|，对应关系不同；y|x
17、|对应 关系不同；y3x3x，且定义域为 R.故选D. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 39 3将函数y 3 1 1x的定义 域用区间表示为_ (，0)(0,1 由 1x0， 1 1x0， 解得 x1 且 x0， 用区间表示为(， 0)(0,1 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 40 4已知函数 f(x)x1 x， (1)求 f(x)的定义域； (2)求 f(1)，f(2)的值； (3)当 a1 时，求 f(a1)的值 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 41 解 (1)要使函数 f(x)有意义，必须使 x0， f(x)的定义域是(，0)(0，) (2)f(1)1 1 12，f(2)2 1 2 5 2. (3)当 a1 时，a10， f(a1)a1 1 a1. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 42 课课 时时 分分 层层 作作 业业 点击右图进入点击右图进入 Thank you for watching !