1、第四章 指数函数与对数函数 章末复习课章末复习课 2 3 【例 1】 计算：(1)2log32log332 9 log385log53； (2)1.5 1 3 7 6 080.254 2(32 3)6 2 3 2 3. 解 (1)原式log32 28 32 9 3231. (2)原式 2 3 1 323 42 1 42233 2 3 1 321427110. 指数与对数的运算 4 指数、对数的运算应遵循的原则 指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根 式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解 以达到约分的目的.对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前
2、后 要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式 是对数计算、化简、证明常用的技巧. 5 1 设 3x4y36， 则2 x 1 y的值为 ( ) A6 B3 C2 D1 D 由 3x4y36 得 xlog336， ylog436， 2 x 1 y2log363log364log369 log364log36361. 6 【例2】 (1)若函数ylogax(a0，且a1)的图象如图所示，则下列 函数正确的是( ) A B C D 指数函数、对数函数的图象及应用 7 (2)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，当 x0 时，f(x) 1 2 x . 如图，画出函数 f(x)
3、的图象； 根据图象写出 f(x)的单调区间，并写出函数的值域 8 (1)B 由已知函数图象可得，loga31，所以 a3.A 项，函数解析 式为 y3 x，在 R 上单调递减，与图象不符；C 项中函数的解析式为 y (x)3x3，当 x 0 时，y 0，这与图象不符；D 项中函数解析式为 y log3(x)，在(，0)上为单调递减函数，与图象不符；B 项中对应函 数解析式为 yx3，与图象相符故选 B. 9 (2)解 先作出当x0时，f(x) 1 2 x 的图象，利用偶函数的图象关 于y轴对称，再作出f(x)在x(，0)时的图象 函数f(x)的单调递增区间为(，0)，单调递减区间为0， )，值
4、域为(0,1 10 1识别函数的图象从以下几个方面入手： (1)单调性：函数图象的变化趋势； (2)奇偶性：函数图象的对称性； (3)特殊点对应的函数值 2指数函数与对数函数图象经过定点的实质是a01，loga10. 11 2函数y1log1 2(x1)的图象 一定经过点( ) A(1,1) B(1,0) C(2,1) D(2,0) C 把ylog1 2x的图象向右平移 1个单位，再向上平移1个单位即可 得到y1log1 2(x1)的图象，故其 经过点(2,1) 12 【例3】 若0 xy1，则( ) A3y3x Blogx3logy3 Clog4xlog4y D. 1 4 x 1 4 y 比
5、较大小 13 对于A，函数y3x在R上单调递增，故3x3y，A错误 对于B，根据底数a对对数函数ylogax的影响：当0a1时，在 x(1，)上“底小图高”因为0 xylogy3，B错误 对于C，函数ylog4x在(0，)上单调递增，故log4x 1 4 y ，D错误 14 1比较两数大小常用的方法有单调性法、图象法、中间值法等 2当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对 数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较 3比较多个数的大小时，先利用“0”“1”作为分界点，然后在各 部分内再利用函数性质比较大小 4含参数的问题，要根据参数的取值进行分类讨论 15 3设 alo
6、g2，blog1 2，c 2，则( ) Aabc Bbac Cacb Dcba C alog2log221，b log1 2log 1 210， c 21 2， 即0ccb，故选 C. 16 【例4】 (1)设函数f(x)ln(1x)ln(1x)，则f(x)是( ) A奇函数，且在(0,1)上是增函数 B奇函数，且在(0,1)上是减函数 C偶函数，且在(0,1)上是增函数 D偶函数，且在(0,1)上是减函数 指数函数、对数函数的性质 17 (2)已知a0，a1且loga3loga2，若函数f(x)logax在区间a,3a上的 最大值与最小值之差为1. 求a的值； 若1x3，求函数y(logax
7、)2logax2的值域 18 (1)A 由题意可得，函数f(x)的定义域为(1,1)，且f(x)ln(1x) ln(1x)f(x)，故f(x)为奇函数又f(x)ln1x 1xln 2 1x1 ，易知y 2 1x1在(0,1)上为增函数，故f(x)在(0,1)上为增函数 (2)解 因为loga3loga2，所以f(x)logax在a,3a上为增函数 又f(x)在a,3a上的最大值与最小值之差为1， 所以loga(3a)logaa1，即loga31，所以a3. 19 函数y(log3x)2log3x2(log3x)21 2log3x2 log3x1 4 231 16. 令tlog3x，因为1x3，
8、 所以0log3x1，即0t1. 所以y t1 4 231 16 31 16， 5 2 ， 所以所求函数的值域为 31 16， 5 2 . 20 1把本例(1)的函数f(x)改为“f(x)ln(x 1x2)”，判断其奇偶 性 解 f(x)ln(x 1x2)，其定义域为R， 又f(x)ln(x 1x2)， f(x)f(x)ln(x 1x2)ln(x 1x2)ln 10， f(x)f(x)，f(x)为奇函数 21 2把本例(2)中的函数改为“ya2xax1”，求其最小值 解 由题意可知y32x3x1，令3xt，则t3,27， f(t)t2t1 t1 2 25 4，t3,27， 当t3时，f(t)m
9、inf(3)93111. 22 1研究函数的性质要树立定义域优先的原则 2换元法的作用是利用整体代换，将问题转化为常见问题该类问 题中，常设ulogax或uax，转化为一元二次方程、二次函数等问 题要注意换元后u的取值范围 23 【例5】 一种放射性元素，最初的质量为500 g，按每年10%衰减 (1)求t年后，这种放射性元素的质量w的表达式； (2)由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期(结果精确到 0.1) 函数的应用 24 解 (1)最初的质量为500 g. 经过1年，w500(110%)5000.9； 经过2年，w5000.92； 由此推知，t年后，w5000.9t. (2)由题
10、意得5000.9t250，即 09t0.5，两边同时取以10为底的对数，得 lg 0.9tlg 0.5，即tlg 0.9lg 0.5，所以tlg 0.5 lg 0.96.6. 即这种放射性元素的半衰期约为6.6年 25 指数函数模型的应用 在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题 常可以用指数函数模型表示.通常可以表示为yN1px其中N为基础 数，p为增长率，x为时间的形式. 26 4某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过 0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少1 3，问至少应过 滤几次才能使产品达到市场要求？(已知：lg 20.301 0，lg 30.477 1) 27 解 设过滤 n 次能使产品达到市场要求，依题意，得 2 100 2 3 n 1 1 000，即 2 3 n 1 20. 则 n(lg 2lg 3)(1lg 2)， 故 n 1lg 2 lg 3lg 27.4， 考虑到 nN，故 n8，即至少要过滤 8 次才能达到市场要求 Thank you for watching !