1、第四章 指数函数与对数函数 4.44.4 对数函数对数函数 第第3 3课时课时 不同函数增长的差异不同函数增长的差异 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 2 学 习 目 标 核 心 素 养 1.理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含 义(重点) 2区分指数函数、对数函数以及一次函数增 长速度的差异(易混点) 3会选择适当的函数模型分析和解决一些实 际问题(难点) 借助三个函数模型的增长 特征培养数学运算、数学 建模的素养. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 3 自自 主主 预预 习习 探探 新新 知知 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 4 三种函数模型的性质 yax(a1) ylogax(a
2、1) ykx(k0) 在(0， )上的 增减性 _ _ _ 图象的变化趋 势 随 x 增大逐渐近 似与 平行 随 x 增大逐渐近 似与 平行 保持固定增长速 度 增函数 增函数 增函数 y 轴 x 轴 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 5 增长速度 yax(a1)：随着 x 的增大，y 增长速度 ，会 远远大于 ykx(k0)的增长速度，ylogax(a1)的增长 速度 ； 存在一个 x0，当 xx0时，有 越来越快 越来越慢 axkxlogax 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 6 1已知变量y12x，当x减 少1个单位时，y的变化情况是( ) Ay减少1个单位 By增加1个单位 Cy减
3、少2个单位 Dy增加2个单位 C 结合函数y12x的变化 特征可知C正确 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 7 2下列函数中随x的增大而增 大且速度最快的是( ) Ayex Byln x Cy2x Dye x A 结合指数函数、对数函数 及一次函数的图象变化趋势可知A正 确 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 8 3某工厂8年来某种产品总产量C与时间t(年)的函数关 系如图所示 以下四种说法： 前三年产量增长的速度越来越快；前三年产量增 长的速度越来越慢；第三年后这种产品停止生产；第 三年后产量保持不变 其中说法正确的序号是_ 结合图象 可知正 确，故填 . 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导
4、航 9 合合 作作 探探 究究 提提 素素 养养 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 10 【例1】 (1)下列函数中，增长速度最快的是( ) Ay2 019x By2019 Cylog2 019x Dy2 019x 几类函数模型的增长差异 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 11 (2)下面对函数 f(x)log1 2x，g(x) 1 2 x 与 h(x)2x 在区间(0，)上的 递减情况说法正确的是( ) Af(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越 慢 Bf(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度越来越 快 Cf(x)递减速度越来
5、越慢，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度不变 Df(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越 快 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 12 (1)A (2)C (1)指数函数yax，在a1时呈爆炸式 增长，并且随a值的增大，增长速度越快，应选A. (2)观察函数f(x)log1 2x，g(x) 1 2 x与h(x)2x在区 间(0，)上的图象(如图)可知： 函数f(x)的图象在区间(0,1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区 间(1，)上，递减较慢，且越来越慢，同样，函数g(x)的图象在区间 (0，)上，递减较慢，且递减速度越来越慢；函数h(x)的图象递
6、减速 度不变 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 13 常见的函数模型及增长特点 1线性函数模型 线性函数模型ykxbk0的增长特点是直线上升，其增长速度不 变. 2指数函数模型 指数函数模型yaxa1的增长特点是随着自变量的增大，函数值增 大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 14 3对数函数模型 对数函数模型ylogaxa1的增长特点是随着自变量的增大，函数 值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 15 1四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如表： x 1 5 10 15 20 25
7、30 y1 2 26 101 226 401 626 901 y2 2 32 1 024 37 768 1.05106 3.36107 1.07109 y3 2 10 20 30 40 50 60 y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907 关于x呈指数函数变化的变量是_ 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 16 y2 以爆炸式增长的变量呈指数函数变化从表格中可以看出，四 个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度 不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2 关于x呈指数型函数变化故填y2. 栏目
8、导航栏目导航 栏目导航栏目导航 17 【例2】 函数f(x)2x和g(x)2x的图象如图所示，设两函数的图象 交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1x2. (1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数； (2)结合函数图象，判断f 3 2 与g 3 2 ，f(2 019)与g(2 019)的大小 指数函数、对数函数与一次函数模型的比较 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 18 解 (1)C1对应的函数为g(x)2x，C2对应的函数为f(x)2x. (2)f(1)g(1)，f(2)g(2) 从图象上可以看出，当1x2时，f(x)g(x)， f 3 2 g 3 2 ； 当x2时，f(x)
9、g(x)， f(2 019)g(2 019) 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 19 由图象判断指数函数、一次函数的方法 根据图象判断增长型的指数函数、一次函数时，通常是观察函数图 象上升得快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 20 2函数f(x)lg x，g(x)0.3x1的图象如图所 示 (1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数； (2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大 小进行比较) 解 (1)C1对应的函数为g(x)0.3x1，C2对应的函数为f(x)lg x. (2)当xf(
10、x)；当x1xg(x)；当xx2时， g(x)f(x)；当xx1或xx2时，f(x)g(x) 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 21 直线上升、指数爆炸、对数增长 对于直线ykxb(k0)、指数函数yax(a1)、对数函数y logbx(b1)，当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长得快，一次 函数比对数函数增长得快，并且直线上升，其增长量固定不变. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 22 当当 堂堂 达达 标标 固固 双双 基基 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 23 1思考辨析 (1)函数y2x比y2x增长的速度更快些( ) (2)当a1，n0时，在区间(0，)上，对任意的x，
11、总有logaxkxax成立( ) (3)函数ylog1 2x衰减的速度越来越慢( ) 答案 (1) (2) (3) 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 24 2下列函数中，随x的增大， 增长速度最快的是( ) Ay1 Byx Cy3x Dylog3x C 结合函数y1，yx，y 3x及ylog3x的图象可知(图略)，随 着x的增大，增长速度最快的是y 3x. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 25 3某人投资x元，获利y元，有 以下三种方案甲：y0.2x，乙： ylog2x100，丙：y1.005x，则 投资500元，1 000元，1 500元时， 应分别选择_方案 乙、甲、丙 将投资数分别代 入甲、乙、丙的函数关系式中比较y 值的大小即可求出 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 26 4画出函数f(x) x与函数g(x)1 4x 22的图象，并比较两者在0， )上的大小关系 解 函数f(x)与g(x)的图象如图所示 根据图象易得：当0 xg(x)； 当x4时，f(x)g(x)； 当x4时，f(x)g(x) 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 27 课课 时时 分分 层层 作作 业业 点击右图进入点击右图进入 Thank you for watching !