1、第四章 指数函数与对数函数 4.44.4 对数函数对数函数 第第2 2课时课时 对数函数及其性质的应用对数函数及其性质的应用 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 2 学 习 目 标 核 心 素 养 1.掌握对数函数的单调性，会进行同底对 数和不同底对数大小的比较(重点) 2通过指数函数、对数函数的学习，加 深理解分类讨论、数形结合这两种重要数 学思想的意义和作用(重点) 1.通过学习对数函数的单调性 的应用，培养逻辑推理素养 2借助对数函数性质的综合 应用的学习，提升逻辑推理及 数学运算素养. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 3 合合 作作 探探 究究 提提 素素 养养 栏目导航栏目导航
2、栏目导航栏目导航 4 【例 1】 比较下列各组值的大小： (1)log53 4与 log5 4 3； (2)log1 32 与 log 1 52； (3)log23 与 log54. 比较对数值的大小 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 5 解 (1)法一(单调性法)： 对数函数 ylog5x 在(0， )上是增函数， 而3 4 4 3，所以 log5 3 4log5 4 3. 法二(中间值法)：因为 log53 40， 所以 log53 4 1 5，所以 0log2 1 3log2 1 5， 所以 1 log21 3 1 log21 5 ，所以 log1 32log 1 52. 栏目导航栏目
3、导航 栏目导航栏目导航 7 法二(图象法)：如图，在同一坐标系中分别画出ylog1 3x及ylog 1 5x的 图象，由图易知：log1 32log221log55log54， 所以log23log54. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 8 比较对数值大小的常用方法 1同底数的利用对数函数的单调性. 2同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化. 3底数和真数都不同，找中间量. 提醒：比较数的大小时先利用性质比较出与零或1的大小. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 9 1比较下列各组值的大小： (1)log2 30.5，log 2 30.6； (2)log1.51.6，log1.51.4
4、； (3)log0.57，log0.67； (4)log3，log20.8. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 10 解 (1)因为函数 ylog2 3x 是减函数，且 0.5log 2 3 0.6. (2)因为函数 ylog1.5x 是增函数，且 1.61.4，所以 log1.51.6log1.51.4. (3)因为 0log70.6log70.5， 所以 1 log70.6 1 log70.5，即 log0 .67log310，log20.8log20.8. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 11 【例2】 已知函数f(x)loga(x1)，g(x)loga(62x)(a0，且 a1)
5、 (1)求函数(x)f(x)g(x)的定义域； (2)试确定不等式f(x)g(x)中x的取值范围 思路点拨 (1)直接由对数式的真数大于0联立不等式组求解x的取 值集合 (2)分a1和0a1求解不等式得答案 解对数不等式 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 12 解 (1)由 x10， 62x0， 解得1x3，函数(x)的定义域为x|1x 3 (2)不等式f(x)g(x)，即为loga(x1)loga(62x)， 当a1时，不等式等价于 1x3， x162x， 解得1x7 3； 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 13 当 0a1 时，不等式等价于 1x3， x162x， 解得7 3x1，求
6、a 的取值范围； (2)已知 log0.7(2x)1 得 loga 1 2logaa. 当 a1 时，有 a1 2，此时无解 当 0a1 时，有1 2a，从而 1 2a1. 所以 a 的取值范围是 1 2，1 . 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 16 (2)因为函数 ylog0.7x 在(0，)上为减函数， 所以由 log0.7(2x)0， x10， 2xx1， 解得 x1. 即 x 的取值范围是(1，) 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 17 探究问题 1类比 yaf(x)单调性的判断法，你能分析一下 ylog1 2(2x1)的单调 性吗？ 提示： 形如 yaf(x)的单调性满足“同增
7、异减”的原则， 由于 ylog1 2(2x 1)由函数 ylog1 2t 及 t2x1 复合而成，且定义域为 2x10，即 x 1 2， 结合“同增异减”可知， ylog1 2(2x1)的减区间为 1 2， . 对数函数性质的综合应用 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 18 2如何求形如 ylogaf(x)的值域？ 提示： 先求 yf(x)的值域， 注意 f(x)0， 在此基础上， 分 a1 和 0a1， 即 loga2loga2a， a1， a1， 2a0， 1a2. (2)f(x)log1 2(x 22x3)log1 2(x1) 22， 因为(x1)222， 所以 log1 2(x1)
8、22log1 221， 所以函数 f(x)的值域是(， 1 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 21 1求本例(2)的函数 f(x)在3,1上的值域 解 x3,1， 2x22x36， log1 26log 1 2(x 22x3)log1 22， 即log26f(x)1， f(x)的值域为log26，1 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 22 2求本例(2)的单调区间 解 x22x3(x1)220， 又 ylog1 2t 在(0，)为减函数， 且 tx22x3 在(，1)上为减函数，在1，)上为增函 数，故由复合函数单调性可知，ylog1 2(x 22x3)单调递增区间为(， 1)，单调递减区
9、间为1，) 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 23 1已知对数型函数的单调性求参数的取值范围，要结合复合函数的 单调性规律，注意函数的定义域求解；若是分段函数，则需注意两段函数 最值的大小关系 2求对数型函数的值域一般是先求真数的范围，然后利用对数函数 的单调性求解 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 24 1比较两个对数值的大小及解对数不等式问题，其依据是对数函数 的单调性，若对数的底数是字母且范围不明确，一般要分 a1 和 0a1 两类分别求解 2解决与对数函数相关的问题时要树立“定义域优先”的原则，同 时注意数形结合思想和分类讨论思想在解决问题中的应用 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导
10、航 25 当当 堂堂 达达 标标 固固 双双 基基 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 26 1思考辨析 (1)ylog2x2在0， )上为增函 数( ) (2)ylog1 2x 2 在(0， )上为增函 数( ) (3)ln xcb Bbca Ccba Dcab D alog32 log221，由对数函数的性质 可知 log52 log32，b a c，故选 D. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 28 3函数 f(x)log2(12x)的单调 增区间是_ 1 2， 易知函数f(x)的定 义域为1 2，又因为函数 y log2x 和 y12x 都是增函数，所以 f(x)的单调增区间是 1
11、2， . 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 29 4已知 a0 且满足不等式 22a 125a2. (1)求实数 a 的取值范围； (2)求不等式 loga(3x1)loga(75x)的解集； (3)若函数yloga(2x1)在区间1,3上有最小值为2， 求实数a的值 解 (1)22a 125a2，2a15a2，即 3a3，a1，即 0 a1.实数 a 的取值范围是(0,1) 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 30 (2)由(1)得，0a1，loga(3x1)0， 75x0， 3x175x， 即 x1 3， x3 4， 解得3 4x 7 5. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 31 即不等式的解集为 3 4， 7 5 . (3)0a1，函数 yloga(2x1)在区间1,3上为减函数，当 x 3 时，y 有最小值为2，即 loga52，a 21 a25，解得 a 5 5 . 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 32 课课 时时 分分 层层 作作 业业 点击右图进入点击右图进入 Thank you for watching !