1、第四章 指数函数与对数函数 4.54.5 函数的应用函数的应用( (二二) ) 4.5.24.5.2 用二分法求方程的近似解用二分法求方程的近似解 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 2 学 习 目 标 核 心 素 养 1.通过具体实例理解二分法的概念及其使用条件(重 点) 2了解二分法是求方程近似解的常用方法，能借助计 算器用二分法求方程的近似解(难点) 3会用二分法求一个函数在给定区间内的零点，从而 求得方程的近似解(易混点) 借助二分法的操 作步骤与思想， 培养数学建模及 逻辑推理素养. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 3 自自 主主 预预 习习 探探 新新 知知 栏目导航栏目导航
2、栏目导航栏目导航 4 1二分法的定义 对于在区间a，b上图象 且 的函数 yf(x)，通 过不断地把它的零点所在的区间 ， 使所得区间的两个端点逐步逼 近 ，进而得到零点近似值的方法叫做二分法 连续不断 f(a)f(b)0 一分为二 零点 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 5 思考：若函数yf(x)在定义域内有零点，该零点是否一定能用二分 法求解？ 提示：二分法只适用于函数的变号零点(即函数在零点两侧符号相 反)，因此函数在零点两侧同号的零点不能用二分法求解，如f(x)(x1)2 的零点就不能用二分法求解 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 6 2二分法求函数零点近似值的步骤 (1)确定零点
3、x0的初始区间a，b，验证f(a)f(b)0. (2)求区间(a，b)的中点c. (3)计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间： 若f(c)0(此时x0c)，则c就是函数的零点； 若f(a)f(c)0(此时x0(a，c)，则令bc； 若f(c)f(b)0(此时x0(c，b)，则令ac. (4)判断是否达到精确度：若|ab|，则得到零点近似值a(或b)； 否则重复步骤(2)(4) 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 7 1用二分法求函数f(x)x35 的零点可以取的初始区间是( ) A2,1 B1,0 C0,1 D1,2 A f(2)3 0，f(2) f(1) 0，故可取2,1 作为初始区间，
4、用二分法逐次计 算 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 8 2用二分法求函数f(x)在(a，b) 内的唯一零点时，精确度为0.001， 则结束计算的条件是( ) A|ab|0.1 B|ab|0.001 D|ab|0.001 B 据二分法的步骤知当区间 长度|ba|小于精确度时，便可结束 计算 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 9 3已知函数y f(x)的图象如图所 示，则不能利用二 分法求解的零点是 _ x3 因为x3左右两侧的函数值 同号，故其不能用二分法求解 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 10 4用二分法研究函数 f(x)x3 3x1 的零点时，第一次经过计算得 f(0)0，f(0
5、.5)0，可得其中一个 零点 x0_，第二次应计算 _ (0,0.5) f(0.25) f(0) 0，x0(0,0.5)，故第二次 应计算 f(0.25) 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 11 合合 作作 探探 究究 提提 素素 养养 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 12 【例1】 已知函数f(x)的图象如图所示，其中零点的个数与可以用 二分法求解的个数分别为( ) A4,4 B3,4 C5,4 D4,3 D 图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右函数值异号的 零点有3个，所以用二分法求解的个数为3，故选D. 二分法的概念 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 13 判断一个函数
6、能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近 是连续不断的，且该零点为变号零点.因此，用二分法求函数的零点近似 值的方法仅对函数的变号零点适合，对函数的不变号零点不适合. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 14 1下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零 点的是( ) A B C D 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 15 B 二分法的理论依据是零点存在定理，必须满足零点两侧函数值 异号才能求解而选项B图中零点两侧函数值同号，即曲线经过零点时不 变号，称这样的零点为不变号零点另外，选项A，C，D零点两侧函数 值异号，称这样的零点为变号零点 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导
7、航 16 探究问题 1用二分法求方程的近似解，如何决定步骤的结束？ 提示：当零点所在区间的两个端点值之差的绝对值小于精确度时， 二分法步骤结束 2用二分法求方程的近似解时，精确度不同对零点有影响吗？ 提示：精确度决定步骤的始终，故精确度不同，零点可能会不同 用二分法求函数零点的近似值 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 17 【例 2】 求函数 f(x)x33x29x1 的一个负零点(精确度 0.01) 思路点拨 确定初始区间 二分法 定新的有解区间 检验精确度 得零点近似值 解 确定一个包含负数零点的区间(m，n)， 且f(m) f(n)0，f(2)0，f(2)0 (2，1.5) x11.5
8、2 2 1.75 f(x1)2.2030 (2，1.75) x21.752 2 1.875 f(x2)0.7360 (2，1.875) 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 19 x31.8752 2 1.937 5 f(x3)0.097 40 (1.937 5， 1.906 25) x51.937 51.906 25 2 1.921 875 f(x5)0.117 40 (1.937 5， 1.921 875) 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 20 x61.937 51.921 875 2 1.929 687 5 f(x6)0.010 50 (1.937 5， 1.929 687 5) 由于
9、|1.929 687 51.937 5|0.007 812 50，f(2)0，f(2)0 (2，1.5) x11.52 2 1.75 f(x1)2.2030 (2，1.75) x21.752 2 1.875 f(x2)0.7360 (2，1.875) 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 23 x31.8752 2 1.937 5 f(x3)0.097 40 (1.937 5，1.875) 由于|1.8751.937 5|0.062 50.1，所以函数在区间2，1 内的一个近似零点可取为1.937 5. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 24 解 确定一个包含正数零点的区间(m，n)， 且 f
10、(m) f(n)0. 因为 f(0)60，f(1)60， 所以可以取区间(1,2)作为计算的初始区间， 用二分法逐步计算，列表如下： 端点(中点) 端点或中点的函数值 取值区间 f(1)60 (1,2) 2.若将本例函数改为“f(x)x32x23x6”，如何求该函数的正数 零点？(精确度 0.1) 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 25 x112 2 1.5 f(1.5)2.6250 (1.5,1.75) x31.51.75 2 1.625 f(1.625)1.302 70 (1.625,1.75) x41.6251.75 2 1.687 5 f(1.687 5)0.561 80 (1.68
11、7 5,1.75) 由于|1.751.687 5|0.062 50.1，所以函数的正数 零点的近似值可取为1.687 5. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 26 利用二分法求方程近似解的过程图示 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 27 1二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点 逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确 度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点 2并非所有函数都可以用二分法求其零点，只有满足： (1)在区间a，b上连续不断； (2)f(a) f(b)0， 上述两条的函数方可采用二分法求得零点的近似值 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航
12、 28 当当 堂堂 达达 标标 固固 双双 基基 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 29 1思考辨析 (1)二分法所求出的方程的解都是近似解( ) (2)函数f(x)|x|可以用二分法求零点( ) (3)用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间 后，零点必定在右侧区间内( ) 答案 (1) (2) (3) 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 30 2关于“二分法”求方程的近似解，说法正确的是( ) A“二分法”求方程的近似解一定可将yf(x)在a，b内的所有零点 得到 B“二分法”求方程的近似解有可能得不到yf(x)在a，b内的零点 C应用“二分法”求方程的近似解，yf(x)在a，b内有可
13、能无零点 D“二分法”求方程的近似解可能得到f(x)0在a，b内的精确解 D 二分法求零点，则一定有且能求出，故B，C不正确；零点左侧与 右侧的函数值符号相同的零点不能用二分法得到，故A不正确，故选D. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 31 3用二分法求函数yf(x)在区 间2,4上零点的近似值，经验证有 f(2) f(4)0.取区间的中点x124 2 3，计算得f(2) f(x1)0，则此时零点 x0_(填区间) (2,3) 因为f(2) f(3) 0，所以零 点在区间(2,3)内 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 32 4用二分法求方程 ln(2x6)23x的根的近似值时，令 f(x
14、)ln(2x 6)23x，并用计算器得到下表： x 1.00 1.25 1.375 1.50 f(x) 1.079 4 0.191 8 0.360 4 0.998 9 由表中的数据，求方程 ln(2x6)23x的一个近似解(精确度为 0.1) 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 33 解 因为f(1.25) f(1.375)0.1，因 此需要取(1.25,1.375)的中点1.312 5，两个区间(1.25,1.312 5)和(1.312 5,1.375)中必有一个满足区间端点的函数值符号相异，又区间的长度为 0.062 50.1，因此1.312 5是一个近似解 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 34 课课 时时 分分 层层 作作 业业 点击右图进入点击右图进入 Thank you for watching !