1、第五章 三角函数 章末复习课章末复习课 2 3 【例1】 (1)已知sin()2cos(3)0，则sin cos sin cos _. 同角三角函数基本关系和诱导公式的应用 4 (2)已知f()sin 2 cos2 tan sin tan3 . 化简f()； 若f()1 8，且 4 2，求cos sin 的值； 若47 4 ，求f()的值 思路点拨 先用诱导公式化简，再用同角三角函数基本关系求值 5 (1)1 3 由已知得sin 2cos 0，故tan 2， 则sin cos sin cos tan 1 tan 1 21 21 1 3. (2)解 f() sin2 cos tan sin ta
2、n sin cos . 由f()sin cos 1 8可知， (cos sin )2cos22sin cos sin2 12sin cos 121 8 3 4， 6 又 4 2，cos sin ， 即cos sin 0， cos sin 3 2 . 47 4 62 4， f 47 4 cos 47 4 sin 47 4 cos 62 4 sin 62 4 cos 4 sin 4 2 2 2 2 1 2. 7 1将本例(2)中“1 8”改为“ 1 8”“ 4 2”改为“ 40” 求cos sin . 解 因为 40，所以cos 0，sin 0且|cos |sin |， 所以cos sin 0，
3、又(cos sin )212sin cos 12 1 8 3 4，所以cos sin 3 2 . 8 2将本例(2)中的用tan 表示 1 fcos2. 解 1 fcos2 1 sin cos cos2 sin2cos2 sin cos cos2 tan21 tan 1. 9 1牢记两个基本关系式sin2cos21及 sin cos tan ，并能应用两 个关系式进行三角函数的求值、化简、证明在应用中，要注意掌握解 题的技巧比如：已知sin cos 的值，可求cos sin .注意应用(cos sin )21 2sin cos . 2诱导公式可概括为k 2 (kZ)的各三角函数值的化简公式记忆
4、 规律是：奇变偶不变，符号看象限 10 【例2】 (1)已知曲线C1：ycos x，C2：ysin 2x2 3 ，则下面结 论正确的是( ) A把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到 的曲线向右平移 6个单位长度，得到曲线C2 B把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到 的曲线向左平移 12个单位长度，得到曲线C2 三角函数的图象变换问题 11 C把C1上各点的横坐标缩短到原来的1 2倍，纵坐标不变，再把得到 的曲线向右平移 6个单位长度，得到曲线C2 D把C1上各点的横坐标缩短到原来的1 2倍，纵坐标不变，再把得到 的曲线向左平移 12个单位长度，得到曲
5、线C2 12 (2)将函数ysin(2x)的图象沿x轴向左平移 8个单位长度后，得到 一个偶函数的图象，则的一个可能取值为( ) A. 2 B. 4 C0 D 4 13 (1)D (2)B (1)因为ysin 2x2 3 cos 2x2 3 2 cos 2x 6 ， 所以曲线C1：ycos x上各点的横坐标缩短到原来的1 2倍，纵坐标不变， 得到曲线ycos 2x，再把得到的曲线ycos 2x向左平移 12个单位长度， 得到曲线ycos 2 x 12 cos 2x 6 . 故选D. 14 (2)ysin(2x)的图象沿x轴向左平移 8个单位后 得ysin 2 x 8 sin 2x 4 .若该函
6、数为偶函数， 则 4k 2，kZ，故k 4.当k0时 4.故选B. 15 1函数ysin x的图象变换到yAsin(x)，xR图象的两种方法 16 2对称变换 (1)yf(x)的图象 关于 x轴对称 yf(x)的图象 (2)yf(x)的图象 关于y轴 对称 yf(x)的图象 (3)yf(x)的图象 关于0，0 对称 yf(x)的图象 17 1将函数y2sin 2x 6 的图象向右平移1 4个周期后，所得图象对应 的函数为( ) Ay2sin 2x 4 By2sin 2x 3 Cy2sin 2x 4 Dy2sin 2x 3 18 D 函数y2sin 2x 6 的周期为，将函数y2sin 2x 6
7、 的图象向右 平移1 4个周期即 4个单位长度，所得图象对应的函数为y2sin 2 x 4 6 2sin 2x 3 ，故选D. 19 【例3】 (1)若函数f(x)3sin(2x)(0)是偶函数，则f(x)在 0，上的单调递增区间是( ) A. 0， 2 B. 2， C. 4， 2 D. 3 4 ， 三角函数的性质 20 (2)已知函数f(x)2sin 2x 6 a1(其中a为常数) 求f(x)的单调区间； 若x 0， 2 时，f(x)的最大值为4，求a的值 思路点拨 (1)先根据函数f(x)是偶函数，求，再依据单调性求增区 间，最后与0，求交集 (2)由2k 22x 62k 2，kZ求增区间
8、， 由2k 22x 62k 3 2 ，kZ求减区间 先求f(x)的最大值，得关于a的方程，再求a的值 21 (1)B 因为函数f(x)3sin(2x)(0)是偶函数， 所以 2，f(x)3sin 2x 2 3cos 2x， 令2k2x2k，得k 2xk， 可得函数f(x)的增区间为 k 2，k ，kZ， 所以f(x)在0，上的单调递增区间为 2， . 22 (2)解 由 22k2x 6 22k，kZ，解得 3kx 6 k，kZ， 函数f(x)的单调增区间为 3k， 6k (kZ)，由 22k2x 6 3 2 2k，kZ， 解得 6kx 2 3 k，kZ， 函数f(x)的单调减区间为 6k， 2
9、 3 k (kZ) 23 0 x 2， 62x 6 7 6 ， 1 2sin 2x 6 1， f(x)的最大值为2a14，a1. 24 1求本例(2)中函数yf(x)，xR取最大值时x的取值集合 解 当f(x)取最大值时，2x 6 22k， 2x 32k，x 6k，kZ. 当f(x)取最大值时，x的取值集合是 x x 6k，kZ . 25 2在本例(2)的条件下，求不等式f(x)1的解集 解 由f(x)1得2sin 2x 6 21， 所以sin 2x 6 1 2 所以2k5 6 2x 62k 6，kZ. 26 解得k 2xk 6，kZ. 所以不等式f(x)1的解集为 x k 2xk 6，kZ
10、. 27 【例4】 已知函数f(x)sin 2x sin x 3cos 2x. (1)求f(x)的最小正周期和最大值； (2)讨论f(x)在 6， 2 3 上的单调性 三角恒等变换的综合应用 28 解 (1)f(x)sin 2x sin x 3cos 2x cos xsin x 3 2 (1cos 2x) 1 2sin 2x 3 2 cos 2x 3 2 sin 2x 3 3 2 ， 因此f(x)的最小正周期为，最大值为2 3 2 . 29 (2)当x 6， 2 3 时，02x 3，从而 当02x 3 2，即 6x 5 12时，f(x)单调递增， 当 22x 3，即 5 12x 2 3 时，f
11、(x)单调递减 综上可知，f(x)在 6， 5 12 上单调递增；在 5 12， 2 3 上单调递减 30 三角函数的图象和性质是三角函数的重要内容.如果给出的三角函数 的表达式较为复杂，我们必须先通过三角恒等变换，将三角函数的表达 式变形化简，然后根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质. 1求三角函数的值域、单调区间、图象变换、周期性、对称性等问 题，一般先要通过三角恒等变换将函数表达式变形为yAsinxk 或yAcosxk等形式，让角和三角函数名称尽量少，然后再根据 正、余弦函数基本性质和相关原理进行求解. 31 2要注意三角恒等变换中由于消项、约分、合并等原因，函数定义 域往往会发生一些
12、变化，所以一定要在变换前确定好原三角函数的定义 域，并在这个定义域内分析问题. 32 2已知函数f(x)sin xcos xsin 2x sin x . (1)求f(x)的定义域及最小正周期； (2)求f(x)的单调递减区间 33 解 (1)由sin x0得xk(kZ)， 故f(x)的定义域为xR|xk，kZ 因为f(x)sin xcos xsin 2x sin x 2cos x(sin xcos x) sin 2xcos 2x1 2sin 2x 4 1， 所以f(x)的最小正周期T2 2 . 34 (2)函数ysin x的单调递减区间为2k 2，2k 3 2 (kZ) 由2k 22x 42k
13、 3 2 ，xk(kZ)， 得k3 8 xk7 8 (kZ)， 所以f(x)的单调递减区间为 k3 8 ，k7 8 (kZ) 35 【例5】 直角走廊的示意图如图所示，其两边走廊的宽度均为2 米，过点P的一直线与走廊的外侧两边交于A，B两点，且与走廊的一边 的夹角为 0 2 . (1)将线段AB的长度l表示为的函数； (2)一根长度为5米的铁棒能否水平(即铁棒与地面平行)通过该直角走 廊？并说明理由(铁棒的粗细忽略不计) 三角函数的平面几何中的应用 36 思路点拨 (1)长度l可分成PA，PB两段分别用表示 (2)判断铁棒能否水平通过该直角走廊需要比较铁棒长度与AB长度的 最小值 37 解 (
14、1)由题意可知： l 2 sin 2 cos 2sin cos sin cos ， 其中0 2. (2)l2sin cos sin cos ， 设tsin cos 2sin 4 ， 因为0 2， 38 所以 4 4 3 4 ， 所以t(1， 2， 所以l 4t t21 4 t1 t . 因为t1 t 在(1， 2上是增函数， 所以t1 t 的最大值为 2 2 ， 39 所以l 4 t1 t 的最小值为4 2. 因为4 25， 所以长度为5米的铁棒能水平通过该直角走廊 40 三角函数的实际应用多与最值有关，解决这类问题的一般步骤如 下： 1审读题意，合理地选取“角”为自变量，建立三角函数关系式.
15、 2利用和、差、倍、半角公式进行化简整理，通常要整理为y Asinxb的形式. 3在符合实际问题意义的情形下求目标式的最值. 41 3福建沿海的超强台风过后，当地人民积极恢复生 产，焊接工王师傅每天都很忙碌今天他遇到了一个难 题：如图所示，有一块扇形钢板，半径为1米，圆心角 3，施工要求按 图中所画的那样，在钢板OPQ上裁下一块平行四边形钢板ABOC，要求使 裁下的钢板面积最大试问王师傅如何确定A的位置，才能使裁下的钢板 符合要求？最大面积为多少？ 42 解 连接OA，设AOP，过A作AHOP，垂足 为点H，在RtAOH中，OHcos ，AHsin ，所以BH AH tan 60 3 3 sin ，所以OBOHBHcos 3 3 sin ， 设平行四边形ABOC的面积为S，则SOB AH cos 3 3 sin sin sin cos 3 3 sin21 2sin 2 3 6 (1cos 2)1 2 sin 2 3 6 cos 2 3 6 1 3 3 2 sin 21 2cos 2 3 6 1 3sin 2 6 3 6 . 43 由于0 3，所以 62 6 5 6， 当2 6 2，即 6时，Smax 1 3 3 6 3 6 ，所以当A是PQ的中点 时，所裁钢板的面积最大，最大面积为 3 6 平方米 Thank you for watching !