1、第五章 三角函数 5 5. .2 2 三角函数的概念三角函数的概念 5.2.15.2.1 三角函数的概念三角函数的概念 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 2 学 习 目 标 核 心 素 养 1.借助单位圆理解任意角三角函数(正 弦、余弦、正切)的定义(重点、难点) 2掌握任意角三角函数(正弦、余弦、 正切)在各象限的符号(易错点) 3掌握公式并会应用. 1.通过三角函数的概念，培养 数学抽象素养 2借助公式的运算，提升数 学运算素养. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 3 自自 主主 预预 习习 探探 新新 知知 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 4 1单位圆 在直角坐标系中，我们称以原
2、点O为圆心，以 为半径的圆 为单位圆 2任意角的三角函数的定义 (1)条件 在平面直角坐标系中，设是一个任意角，R它的终边与 交于点P(x，y)，那么： 单位长度 单位圆 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 5 (2)结论 y 叫做 的 函数，记作_，即 sin y； x 叫做 的 函数，记作 ，即 cos x； y x叫做 的 ，记作 ，即 tan y x(x0) (3)总结 y xtan (x0)是以角为自变量， 以单位圆上点的纵坐标或横坐标的比 值为函数值的函数，正切函数我们将正弦函数、余弦函数、正切函数统称 为三角函数 正弦 sin 余弦 cos 正切 tan 栏目导航栏目导航 栏目导
3、航栏目导航 6 3正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域 三角函数 定义域 sin cos tan _ R R xR xk 2，kZ 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 7 4.正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号 (1)图示： (2)口诀：“一全正，二 ，三 ，四 ” 正弦 正切 余弦 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 8 5公式一 sin cos tan 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 9 1sin(315 )的值是( ) A 2 2 B1 2 C. 2 2 D.1 2 C sin(315 )sin(360 45 )sin 45 2 2 . 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 10
4、 2已知sin 0，cos 0，则 角是( ) A第一象限角 B第二象限角 C第三象限角 D第四象限角 B 由正弦、余弦函数值在各 象限内的符号知，角是第二象限 角 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 11 3sin25 3 _. 3 2 sin25 3 sin 8 3 sin 3 3 2 . 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 12 4角终边与单位圆相交于点 M 3 2 ，1 2 ，则cos sin 的值为 _ 31 2 cos x 3 2 ，sin y1 2， 故cos sin 31 2 . 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 13 合合 作作 探探 究究 提提 素素 养养 栏目导航栏目导
5、航 栏目导航栏目导航 14 探究问题 1一般地，设角终边上任意一点的坐标为(x，y)，它与原点的距离 为r，则sin ，cos ，tan 为何值？ 提示：sin y r，cos x r，tan y x(x0) 2sin ，cos ，tan 的值是否随P点在终边上的位置的改变而改 变？ 提示：sin ，cos ，tan 的值只与的终边位置有关，不随P点在终 边上的位置的改变而改变 三角函数的定义及应用 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 15 【例 1】 (1)已知角 的终边上有一点 P(x,3)(x0)， 且 cos 10 10 x， 则 sin tan 的值为_ (2)已知角 的终边落在直线
6、 3xy0 上，求 sin ，cos ，tan 的 值 思路点拨 (1)依据余弦函数定义列方程求x 依据正弦、正切函数定义求sin tan (2) 判断角的 终边位置 分类讨论求sin ， cos ，tan 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 16 (1)3 1030 10 或3 1030 10 因为r x29，cos x r， 所以 10 10 x x x29. 又x0，所以x 1，所以r 10. 又y30，所以是第一或第二象限角 当为第一象限角时，sin 3 10 10 ，tan 3，则sin tan 3 1030 10 . 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 17 当为第二象限角时，si
7、n 3 10 10 ，tan 3， 则sin tan 3 1030 10 . (2)解 直线 3xy0，即y 3x，经过第二、四象限，在第二 象限取直线上的点(1， 3)，则r 12 322，所以sin 3 2 ，cos 1 2，tan 3； 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 18 在第四象限取直线上的点(1， 3)， 则r 12 322， 所以sin 3 2 ，cos 1 2，tan 3. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 19 1将本例(2)的条件“ 3xy0”改为“y2x”其他条件不变，结 果又如何？ 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 20 解 当角的终边在第一象限时，在角的终边上
8、取点P(1,2)，由r |OP| 1222 5，得sin 2 5 2 5 5 ，cos 1 5 5 5 ，tan 2 12. 当角的终边在第三象限时，在角的终边上取点Q(1，2)， 由r|OQ| 1222 5，得： sin 2 5 2 5 5 ，cos 1 5 5 5 ， tan 2 12. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 21 2将本例(2)的条件“落在直线 3xy0 上”改为“过点 P(3a, 4a)(a0)”，求 2sin cos . 解 因为r 3a24a25|a|， 若a0，则r5a，角在第二象限， sin y r 4a 5a 4 5，cos x r 3a 5a 3 5， 所以2
9、sin cos 8 5 3 51. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 22 若a0)则sin y r，cos x r.已知的终边求的三角函数时，用这几个公式更方便 (2)当角的终边上点的坐标以参数形式给出时，一定注意对字母正、 负的辨别，若正、负未定，则需分类讨论 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 24 【例2】 (1)已知点P(tan ，cos )在第四象限，则角终边在( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 (2)判断下列各式的符号： sin 145 cos(210 )；sin 3 cos 4 tan 5. 思路点拨 (1)先判断tan ，cos 的符号，再判断角终边在第
10、几象 限 (2)先判断已知角分别是第几象限角，再确定各三角函数值的符号， 最后判断乘积的符号 三角函数值符号的运用 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 25 (1)C 因为点P在第四象限，所以有 tan 0， cos 0， 由此可判断角终边 在第三象限 (2)解 145 是第二象限角， sin 145 0， 210 360 150 ， 210 是第二象限角， cos(210 )0， sin 145 cos(210 )0. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 26 23，4 3 2 ，3 2 52， sin 30，cos 40，tan 50， sin 3 cos 4 tan 50. 栏目导航栏目
11、导航 栏目导航栏目导航 27 判断三角函数值在各象限符号的攻略： 1基础：准确确定三角函数值中各角所在象限； 2关键：准确记忆三角函数在各象限的符号； 3注意：用弧度制给出的角常常不写单位，不要误认为角度导致象 限判断错误. 提醒：注意巧用口诀记忆三角函数值在各象限符号. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 28 1已知角的终边过点(3a 9，a2)且cos 0，sin 0，则 实数a的取值范围是_ 2a3 因为cos 0，sin 0， 所以角的终边在第二象限或y 轴非负半轴上，因为终边过(3a 9，a2)， 所以 3a90， a20， 所以2 a3. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 29
12、 2设角是第三象限角，且 sin 2 sin 2，则角 2是第_ 象限角 四 角是第三象限角，则角 2 是第二、四象限角， sin 2 sin 2，角 2是第四 象限角 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 30 【例3】 求值： (1)tan 405 sin 450 cos 750 ； (2)sin7 3 cos 23 6 tan 15 4 cos13 3 . 解 (1)原式tan(360 45 )sin(360 90 )cos(2360 30 ) tan 45 sin 90 cos 30 11 3 2 3 2 . 诱导公式一的应用 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 31 (2)原式sin
13、2 3 cos 4 6 tan 4 4 cos 4 3 sin 3cos 6tan 4cos 3 3 2 3 2 11 2 5 4. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 32 利用诱导公式一进行化简求值的步骤 1定形：将已知的任意角写成2k的形式，其中0，2， kZ. 2转化：根据诱导公式，转化为求角的某个三角函数值. 3求值：若角为特殊角，可直接求出该角的三角函数值. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 33 3化简下列各式： (1)a2sin(1 350 )b2tan 405 2abcos(1 080 )； (2)sin 11 6 cos12 5 tan 4. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏
14、目导航 34 解 (1)原式a2sin(4360 90 )b2tan(360 45 )2abcos( 3360 ) a2sin 90 b2tan 45 2abcos 0 a2b22ab(ab)2. (2)sin 11 6 cos12 5 tan 4 sin 2 6 cos2 5 tan 0sin 60 1 2. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 35 1三角函数的定义的学习是以后学习一切三角函数知识的基础，要 充分理解其内涵，把握住三角函数值只与角的终边所在位置有关，与所 选取的点无关这一关键点 2诱导公式一指的是终边相同角的同名三角函数值相等，反之不一 定成立，记忆时可结合三角函数定义进行
15、记忆 3三角函数值在各象限的符号主要涉及开方，去绝对值计算问题， 同时也要注意终边在坐标轴上正弦、余弦的符号问题 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 36 当当 堂堂 达达 标标 固固 双双 基基 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 37 1思考辨析 (1)sin 表示sin与的乘积( ) (2)设角终边上的点P(x，y)，r|OP|0，则sin y r，且y越大，sin 的值越大( ) (3)终边相同的角的同一三角函数值相等( ) (4)终边落在y轴上的角的正切函数值为0.( ) 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 38 提示 (1)错误sin 表示角的正弦值，是一个“整体” (2)错误由任
16、意角的正弦函数的定义知，sin y r.但y变化时，sin 是定值 (3)正确 (4)错误终边落在y轴上的角的正切函数值不存在 答案 (1) (2) (3) (4) 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 39 2 已知角 终边过点 P(1， 1)， 则 tan 的值为( ) A1 B1 C. 2 2 D 2 2 B 由三角函数定义知tan 1 1 1. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 40 3在平面直角坐标系xOy中， 角与角均以Ox为始边，它们的终 边关于x轴对称，若sin 1 5，则sin _. 1 5 设角的终边与单位圆相 交于点P(x，y)， 则角的终边与单位圆相交于点 Q(x，y)， 由题意知ysin 1 5，所以sin y1 5. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 41 4求值：(1)sin 180 cos 90 tan 0 . (2)cos25 3 tan 15 4 . 解 (1)sin 180 cos 90 tan 0 0000. (2)cos25 3 tan 15 4 cos 8 3 tan 4 4 cos 3tan 4 1 21 3 2. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 42 课课 时时 分分 层层 作作 业业 点击右图进入点击右图进入 Thank you for watching !