1、第五章 三角函数 5.35.3 诱导公式诱导公式 第第1 1课时课时 公式二、公式三和公式四公式二、公式三和公式四 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 2 学 习 目 标 核 心 素 养 1.了解公式二、公式三和公式四的 推导方法 2能够准确记忆公式二、公式三和 公式四(重点、易混点) 3掌握公式二、公式三和公式四， 并能灵活应用(难点) 1.借助公式进行运算，培养数学运 算素养 2通过公式的变形进行化简和证 明，提升逻辑推理素养. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 3 自自 主主 预预 习习 探探 新新 知知 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 4 1公式二 (1)角 与角 的终边关于 对
2、称如图所示 (2)公式：sin() ， cos() ， tan() . 原点 sin cos tan 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 5 2公式三 (1)角与角的终边关于 轴对称如图所示 (2)公式：sin() ， cos() ， tan() . x sin cos tan 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 6 3公式四 (1)角 与角 的终边关于 轴对称如图所示 (2)公式：sin() ， cos() ， tan() . y sin cos tan 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 7 思考：(1)诱导公式中角只能是锐角吗？ (2)诱导公式一四改变函数的名称吗？ 提示：(1)诱导公式
3、中角可以是任意角，要注意正切函数中要求 k 2，kZ. (2)诱导公式一四都不改变函数名称 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 8 1如果 ， 满足 ，那么下列式子中正确的个数是( ) sin sin ；sin sin ；cos cos ；cos cos ； tan tan . A1 B2 C3 D4 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 9 C 因为，所以sin sin()sin ， 故正确，错误； cos cos()cos ， 故正确，错误； tan tan()tan ，正确 故选C. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 10 2tan 4 3 等于( ) A 3 3 B. 3 3 C 3
4、D. 3 C tan 4 3 tan 22 3 tan2 3 tan 3 tan 3 3. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 11 3已知tan 3，则tan() _. 3 tan()tan 3. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 12 4求值：(1)sin2 3 _. (2)cos 7 6 _. (1) 3 2 (2) 3 2 (1)sin 2 3 sin 3 sin 3 3 2 . (2)cos 7 6 cos7 6 cos 6 cos 6 3 2 . 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 13 合合 作作 探探 究究 提提 素素 养养 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 14 【例1】
5、 求下列各三角函数值： (1)sin 1 320 ；(2)cos 31 6 ；(3)tan(945 ) 给角求值问题 解 (1)法一：sin 1 320 sin(3360 240 )sin 240 sin(180 60 )sin 60 3 2 . 法二：sin 1 320 sin(4360 120 )sin(120 ) sin(180 60 )sin 60 3 2 . 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 15 (2)法一：cos 31 6 cos31 6 cos 47 6 cos 6 cos 6 3 2 . 法二：cos 31 6 cos 65 6 cos 6 cos 6 3 2 . (3)t
6、an(945 )tan 945 tan(225 2360 ) tan 225 tan(180 45 )tan 45 1. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 16 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 1“负化正”用公式一或三来转化； 2“大化小”用公式一将角化为0 到360 间的角； 3“小化锐”用公式二或四将大于90 的角转化为锐角； 4“锐求值”得到锐角的三角函数后求值. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 17 1计算：(1)cos 5cos 2 5 cos3 5 cos4 5 ； (2)tan 10 tan 170 sin 1 866 sin(606 ) 栏目导航栏目导航 栏目导航栏
7、目导航 18 解 (1)原式 cos 5cos 4 5 cos2 5 cos3 5 cos 5cos 5 cos2 5 cos 2 5 cos 5cos 5 cos2 5 cos2 5 0. (2)原式tan 10 tan(180 10 )sin(5360 66 )sin(2) 360 114 tan 10 tan 10 sin 66 sin(180 66 ) sin 66 sin 66 0. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 19 【例2】 (1)已知sin(360 )cos(180 )m，则sin(180 ) cos(180 )等于( ) A.m 21 2 B.m 21 2 C.1m 2
8、 2 Dm 21 2 (2)已知cos(75 )1 3，且为第四象限角，求sin(105 )的值 给值(式)求值问题 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 20 思路点拨 (1)化简已知和所求三角函数式 根据sin cos ，sin cos 的关系求值 (2) 105 75 180 cos75 1 3，为第四象限角 求sin75 用sin180 sin 求值 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 21 (1)A sin(360 )cos(180 ) sin cos m， sin(180 )cos(180 )sin cos sin cos 21 2 m 21 2 . 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导
9、航 22 (2)解 cos(75 )1 30，且为第四象限角， sin(75 ) 1cos275 1 1 3 22 2 3 ， sin(105 )sin180 (75 ) sin(75 )2 2 3 . 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 23 1例2(2)条件不变，求cos(255 )的值 解 cos(255 )cos180 (75 ) cos(75 )1 3. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 24 2将例2(2)的条件“cos(75 )1 3”改为“tan(75 ) 5”，其他条件不变，结果又如何？ 解 因为tan(75 )50，且为第四象限角， 所以75 是第四象限角 由 sin27
10、5 cos275 1， sin75 cos75 5， 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 25 解得 sin75 5 26 26 ， cos75 26 26 或 sin75 5 26 26 ， cos75 26 26 . (舍) 所以sin(105 )sin180 (75 ) sin(75 )5 26 26 . 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 26 解决条件求值问题的两技巧 1寻找差异：解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之 间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系. 2转化：可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变 形向已知式转化. 提醒：设法消除已知式与所求式之间的种
11、种差异是解决问题的关键. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 27 探究问题 1利用诱导公式化简sin(k)(其中kZ)时，化简结果与k是否有 关？ 提示：有关因为k是奇数还是偶数不确定 当k是奇数时，即k2n1(nZ)，sin(k)sin()sin ； 当k是偶数时，即k2n(nZ)，sin(k)sin . 利用诱导公式化简问题 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 28 2利用诱导公式化简tan(k)(其中kZ)时，化简结果与k是否有 关？ 提示：无关根据公式tan()tan 可知tan(k)tan .(其中 kZ) 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 29 【例3】 设k为整数，化简： s
12、inkcosk1 sink1cosk. 思路点拨 本题常用的解决方法有两种： 为了便于运用诱导公式，必须把k分成偶数和奇数两种情况讨论； 观察式子结构，kk2k，(k1)(k1)2k， 可使用配角法 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 30 解 法一：(分类讨论)当 k 为偶数时，设 k2m(mZ)，则原式 sin2mcos2m1 sin2m1cos2m sincos sincos sin cos sin cos 1； 当 k 为奇数时，设 k2m1(mZ)，同理可得原式1. 法二： (配角法)由于 kk2k， (k1)(k1)2k， 故 cos(k1)cos(k1)cos(k)，sin(k1
13、) sin(k)， sin(k)sin(k) 所以原式sinkcosk sinkcosk 1. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 31 三角函数式化简的常用方法 1合理转化：将角化成2k，k，kZ的形式.,依据所给 式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角的三角函数. 2切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数. 提醒：注意分类讨论思想的应用. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 32 2化简：(1)tan2sin2cos6 cossin5 ； (2) sin1 440 cos1 080 cos180 sin180 . 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 33 解 (1)原式tan
14、 sincos cossin tan sin cos cos sin tan . (2)原式 sin4360 cos3360 cos180 sin180 sin cos cos sin cos cos 1. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 34 1诱导公式一四可简要概括为“k 2(kZ)， 的三角 函数值，等于 的同名函数值，前面加上一个把 看成锐角时原函数值的 符号”或者简述为“函数同名，象限定号” 2利用公式一四可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数， 一般可按下面步骤进行： 任意负角的 三角函数 用公式 三或一 任意正角的 三角函数 用公式一 02的角 的三角函数 用公式 二或四
15、锐角的三 角函数 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 35 当当 堂堂 达达 标标 固固 双双 基基 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 36 1思考辨析 (1)公式二四对任意角都成立( ) (2)由公式三知cos()cos()( ) (3)在ABC中，sin(AB)sin C( ) 提示 (1)错误，关于正切的三个公式中k 2，kZ. (2)由公式三知cos()cos()， 故cos()cos()是不正确的 (3)因为ABC，所以ABC， 所以sin(AB)sin(C)sin C. 答案 (1) (2) (3) 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 37 2已知sin()3 5，且是第 四象限
16、角，那么cos()的值是 ( ) A.4 5 B4 5 C 4 5 D.3 5 B 因为 sin()sin 3 5，所以 sin 3 5. 又 是第四象限角，所以 cos 4 5， 所以 cos()cos() cos 4 5. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 38 3. cos585 sin 495 sin570 的值等于_ 22 原式 cos360 225 sin360 135 sin360 210 cos180 45 sin180 45 sin180 30 cos 45 sin 45 sin 30 2 2 2 2 1 2 22. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 39 4化简(1)sin540 cos tan180 ； (2)sin2cos costan . 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 40 解 (1)sin540 cos tan180 sin180 cos tan sin cos tan cos2. (2)sin2cos costan sin cos cos tan cos . 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 41 课课 时时 分分 层层 作作 业业 点击右图进入点击右图进入 Thank you for watching !