1、第五章 三角函数 5.55.5 三角恒等变换三角恒等变换 5.5.15.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式两角和与差的正弦、余弦和正切公式 第第3 3课时课时 两角和与差的正切公式两角和与差的正切公式 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 2 学 习 目 标 核 心 素 养 1.能利用两角和与差的正弦、余弦 公式推导出两角和与差的正切公式. 2.能利用两角和与差的正切公式进 行化简、求值、证明(重点) 3.熟悉两角和与差的正切公式的常 见变形，并能灵活应用(难点) 1.通过利用公式进行化简、证明等 问题，培养逻辑推理素养. 2.借助公式进行求值，提升数学运 算素养. 栏目导航栏目导航 栏目
2、导航栏目导航 3 自自 主主 预预 习习 探探 新新 知知 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 4 两角和与差的正切公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角和 的正切 T() tan()_ ，k 2(kZ) 且 tan tan 1 两角差 的正切 T() tan()_ ，k 2(kZ) 且 tan tan 1 tan tan 1tan tan tan tan 1tan tan 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 5 1已知tan tan 2，tan( )4，则tan tan 等于( ) A2 B1 C.1 2 D4 C tan() tan tan 1tan tan 4，且 tan tan 2
3、， 2 1tan tan 4， 解得tan tan 1 2. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 6 2求值：tan11 12 _. 23 tan 11 12 tan 12 tan 4 6 tan 4tan 6 1tan 4tan 6 1 3 3 1 3 3 2 3. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 7 3已知tan 2，则tan 4 _. 3 tan 4 tan tan 4 1tan tan 4 21 1213. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 8 4. tan 75 tan 15 1tan 75 tan 15 _. 3 原式tan(75 15 )tan 60 3. 栏目导航栏目导航
4、 栏目导航栏目导航 9 合合 作作 探探 究究 提提 素素 养养 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 10 【例1】 (1)已知，均为锐角，tan 1 2，tan 1 3，则 _. (2)如图，在ABC中，ADBC，D为垂足，AD在ABC 的外部，且BDCDAD236，则tanBAC _. 思路点拨 (1)先用公式T()求tan()，再求. (2)先求CAD，BAD的正切值，再依据tanBACtan(CAD BAD)求值 两角和与差的正切公式的正用 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 11 (1) 4 (2) 1 7 (1)tan 1 2，tan 1 3， tan() tan tan 1tan
5、 tan 1 2 1 3 11 2 1 3 1. ，均为锐角， (0，)， 4. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 12 (2)ADBC且BDCDAD236， tanBADBD AD 1 3， tanCADCD AD 1 2， tanBACtan(CADBAD) 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 13 tanCADtanBAD 1tanCADtanBAD 1 2 1 3 11 2 1 3 1 7. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 14 1公式T( )的结构特征和符号规律： (1)结构特征：公式T( )的右侧为分式形式，其中分子为tan 与tan 的和或差，分母为1与tan tan 的差
6、或和 (2)符号规律：分子同，分母反 2利用公式T()求角的步骤： (1)计算待求角的正切值 (2)缩小待求角的范围，特别注意隐含的信息 (3)根据角的范围及三角函数值确定角 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 15 1(1)已知tan5 4 1 5，则tan _. (2)已知角，均为锐角，且cos 3 5，tan() 1 3，则tan _. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 16 (1)3 2 (2)3 (1)因为tan 5 4 1 5， 所以tan tan 5 4 5 4 tan5 4 tan 5 4 1tan5 4 tan 5 4 1 51 11 51 3 2. (2)因为cos 3
7、5，为锐角，所以sin 4 5，tan 4 3， 所以tan tan() tan tan 1tan tan 4 3 1 3 14 3 1 3 3. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 17 【例2】 (1)1tan 15 1tan 15 _. (2)1 3tan 75 3tan 75 _. 思路点拨 注意特殊角的正切值和公式T( )的结构，适当变形后 逆用公式求值 两角和与差的正切公式的逆用 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 18 (1) 3 (2)1 (1)原式 tan 45 tan 15 1tan 45 tan 15 tan(45 15 ) tan 60 3. (2)原式 3 3 tan
8、 75 1 3 3 tan 75 tan 30 tan 75 1tan 30 tan 75 tan(30 75 )tan 45 1. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 19 公式T 的逆用 一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换. 如tan 41，tan 6 3 3 ，tan 3 3等. 要特别注意tan 4 1tan 1tan ，tan 4 1tan 1tan . 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 20 2已知、均为锐角，且sin 22sin 2，则( ) Atan()3tan() Btan()2tan() C3tan()tan() D3tan()2tan() 栏目导航栏目导航
9、栏目导航栏目导航 21 A sin 22sin 2， sin()()2sin()()， sin()cos()cos()sin() 2sin()cos()2cos()sin()， sin()cos()3cos()sin()， 两边同除以cos()cos()得 tan()3tan() 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 22 探究问题 1两角和与差的正切公式揭示了tan tan 与哪些式子的关系？ 提示：揭示了tan tan 与tan tan ，tan tan 与tan tan 之间 的关系 2若tan 、tan 是关于x的方程ax2bxc0(a0，b24ac0)的 两个根，则如何用a、b、c表示
10、tan()? 提示：tan() tan tan 1tan tan b a 1c a b ac. 两角和与差的正切公式的变形运用 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 23 【例3】 (1)tan 67 tan 22 tan 67 tan 22 _. (2)已知ABC中，tan Btan C 3tan Btan C 3，且 3tan A 3 tan Btan Atan B1，试判断ABC的形状 思路点拨 (1)看到tan 67 tan 22 与tan 67 tan 22 想到将tan(67 22 )展开变形，寻找解题思路 (2)先由关于角A，B的等式求出tan(AB)得角AB，然后求角C并代 入关
11、于角B，C的等式求角B，最后求角A，判断ABC的形状 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 24 (1)1 tan 67 tan 22 tan(67 22 )(1tan 67 tan 22 ) tan 45 (1tan 67 tan 22 ) 1tan 67 tan 22 ， tan 67 tan 22 tan 67 tan 22 1tan 67 tan 22 tan 67 tan 22 1. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 25 (2)解 3tan A 3tan Btan Atan B1， 3(tan Atan B)tan Atan B1， tan Atan B 1tan Atan B 3
12、 3 ，tan(AB) 3 3 . 又0AB，AB5 6 ，C 6. tan Btan C 3tan Btan C 3，tan C 3 3 ， tan B 3 3 tan B 3，tan B 3 3 ， B 6，A 2 3 ，ABC为等腰钝角三角形 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 26 1将例3(1)中的角同时增加1 结果又如何？ 解 tan 45 tan(68 23 ) tan 68 tan 23 1tan 68 tan 23 ， 1tan 68 tan 23 tan 68 tan 23 ， 即tan 68 tan 23 tan 68 tan 23 1. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导
13、航 27 2能否为例3(1)和探究1归纳出一个一般结论？若能，试证明 解 一般结论：若45 (，k180 90 ，kZ)，则tan tan tan tan 1. 证明：tan 45 tan() tan tan 1tan tan ， 1tan tan tan tan ， 即tan tan tan tan 1. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 28 1整体意识：若化简的式子中出现了“tan tan ”及“tan tan ”两个整体，常考虑tan( )的变形公式 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 29 2熟知变形：两角和的正切公式的常见四种变形： (1)tan tan tan()(1tan t
14、an )； (2)1tan tan tan tan tan ； (3)tan tan tan tan tan()tan()； (4)tan tan 1tan tan tan . 提醒：当一个式子中出现两角正切的和或差时，常考虑使用两角和 或差的正切公式 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 30 1公式T( )与S( )、C( )的一个重要区别，就是前者角、 都不能取k 2 (kZ)，而后两者、R，应用时要特别注意这一点 2注意公式的变形应用 如：tan tan tan()(1tan tan )，1tan tan tan tan tan ，tan tan tan()(1tan tan )，1ta
15、n tan tan tan tan 等. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 31 当当 堂堂 达达 标标 固固 双双 基基 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 32 1思考辨析 (1)存在，R，使tan()tan tan 成立( ) (2)对任意，R，tan() tan tan 1tan tan 都成立( ) (3)tan() tan tan 1tan tan 等价于tan tan tan() (1tan tan )( ) 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 33 提示 (1).当0， 3时，tan()tan 0 3 tan 0tan 3，但一般情况下不成立 (2).两角和的正切公式的适用范
16、围是，k 2(kZ) (3).当k 2(kZ)，k 2(kZ)，k 2(kZ)时， 由前一个式子两边同乘以1tan tan 可得后一个式子 答案 (1) (2) (3) 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 34 2若tan 3，tan() 2，则tan ( ) A.1 7 B 1 7 C1 D1 A tan tan() tantan 1tantan 23 123 1 7. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 35 3若tan 3 3，则tan 的值 为_ 65 3 13 tan tan 3 3 tan 3tan 3 1tan 3tan 3 33 1 33 333 31 3 321 1210 3 26 65 3 13 . 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 36 4已知cos 5 5 ，cos 3 5，其中，都是锐角，求tan()的 值 解 因为，都是锐角， 所以sin 1cos22 5 5 ， sin 1cos24 5， tan sin cos 2，tan sin cos 4 3， 所以tan() tan tan 1tan tan 2. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 37 课课 时时 分分 层层 作作 业业 点击右图进入点击右图进入 Thank you for watching !