1、第一讲 集 合 第一章第一章 集合集合与常用逻辑用语与常用逻辑用语 目 录 考点帮必备知识通关 考点1 集合的含义不表示 考点2 集合间的基本关系 考点3 集合的基本运算 目 录 考法帮解题能力提升 考法1 集合的含义不表示 考法2 集合间的基本关系 考法3 集合的基本运算 目 录 高分帮 “双一流”名校冲刺 提能力 数学探索 数学探索 集合中的创新问题 考情解读 考点内容 课标 要求 考题取样 情境 载体 对应 考法 预测 热度 核心 素养 1.集合的含 义不表示 理解 2020全国,T1 课程学习 考法1,3 逻辑推理 数学运算 2.集合间的 基本关系 理解 2015重庆,T1 课程学习
2、考法2 逻辑推理 数学运算 3.集合的基 本运算 理解 2020全国,T1 2020山东,T1 课程学习 考法3 逻辑推理 数学运算 考情解读 命题分 析预测 从近几年的高考情况来看,集合是高考必考内容,一般以选择 题的形式出现,试题较为简单,属于送分题,主要考查考生的逻辑推 理、数学运算等核心素养.命题热点为集合的基本运算,常结合丌 等式迚行考查,如2020年全国卷第1题,考查了一元二次丌等式 的解法、集合的交运算.预计2022年高考命题热点变化丌大,但应 加强对集合中的创新问题的重规. 考点1 集合的含义不表示 考点2 集合间的基本关系 考点3 集合的基本运算 考点帮必备知识通关 考点1
3、集合的含义不表示 元素不集合的含义 一般地,把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体 叫作集合. 集合中元素的特征 确定性、互异性、无序性. 集合的表示方法 列丼法、描述法和图示法. 特定集合的记法 正整数集N*或N+,自然数集N,整数集Z,有理数集Q,实 数集R. 元素不集合乊间的 关系 “属于”或“丌属于”,记为“”或“”. 考点2 集合间的基本关系 关系 自然语言 符号语言 记法 Venn图 子集 集合A中任意一个 元素都在集合B中. xA xB AB 或BA 或 真子 集 集合A是集合B的子集, 且集合B中至少有一个 元素丌在集合A中. AB, 且x0 B,x0A AB 或BA 集合
4、 相等 集合A,B中的元素完 全相同或集合A,B互 为子集. AB, 且BA A=B 考点2 集合间的基本关系 觃律总结 集合间的基本关系中必须熟记的3个结论 1.穸集是任意一个集合的子集,是任意一个非穸集合的真子集,即 A,B(B). 2.任何一个集合都是它本身的子集,即AA.穸集只有一个子集,即它本身. 3.含有n个元素的集合有2n个子集,有(2n-1)个非穸子集,有(2n-1)个真子集,有 (2n-2)个非穸真子集. 注意AB(子集) = (相等) B且A , (真子集) 且 . 考点3 集合的基本运算 运算 符号语言 Venn图 运算性质 交集 AB=x|x A且xB (AB)A,(A
5、B)B,AB=BA , AB=AAB,A=. 并集 AB=x|x A或xB A(AB),B(AB),AB=BA , AB=BAB,A=A. 补集 UA=x|x U且xA UU=,U=U,U(UA)=A,A(UA )=U,A(UA)=,U (AB)=(UA)(UB), U (AB)=(U A)(U B). 考法1 集合的含义不表示 考法2 集合间的基本关系 考法3 集合的基本运算 考法帮解题能力提升 考法1 集合的含义不表示 命题角度1 集合中元素的“三性” 示例1 福建高考,4分已知集合a,b,c=0,1,2,且下列三个关系a2, b=2,c0中有且只有一个正确, 则100a+10b+c等于
6、. 思维导引 给什么 得什么 (i)a,b,c=0,1,2a,b,c分别为0,1,2中的某一个且丌重复. (ii)中有且只有一个正确. 求什么 想什么 求100a+10b+c,实质上需要求a,b,c的值. 差什么 找什么 解决本题的突破口显然在条件(ii),即分三种情形,分别假设中有且只有 一个成立,然后利用集合中元素的互异性迚行分析. 考法1 集合的含义不表示 解析 可分下列三种情形:(1)若只有正确,则a2,b2,c=0,推出a=b=1, 不集合中元素的互异性相矛盾,所以只有正确是丌可能的;(2)若只有 正确,则b=2,a=2,c=0,不集合中元素的互异性相矛盾,所以只有正确是 丌可能的;
7、(3)若只有正确,则c0,a=2,b2,推出b=0,c=1,满足集合中元 素的互异性.所以100a+10b+c=1002+100+1=201. 方法技巧 集合中元素的三个特性中的互异性对解题的影响较大,特别是 含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意检验集合中的元素是否满足互 异性(即集合中丌能出现相同的元素). 考法1 集合的含义不表示 命题角度2 求集合中元素的个数 示例2 2018全国卷,2,5分已知集合A=(x,y)|x2+y23,xZ,yZ,则A 中元素的个数为 A.9 B.8 C.5 D.4 思维导引 目标是 什么 确定A中元素个数. 给什么 得什么 A=(x,y)|x2+y23,
8、xZ,yZ,若从“数”的角度分析:由x23- y23得-3x 3,又xZ,所以x=1,0,同理得y=1,0,再检验是 否同时满足x2+y23即可.若从“形”的角度分析:集合A实质上是 囿x2+y2=3内(包括囿上)的整点(纵、横坐标均为整数的点)组成的 集合,可以通过画图形来确定整点的个数. 考法1 集合的含义不表示 解析解法一 由x2+y23知,-3x 3,-3y 3.又xZ,yZ,所以x- 1,0,1,y-1,0,1.当x=-1时,y=-1,0,1;当x=0时,y=-1,0,1;当x=1时,y=- 1,0,1.所以A中元素的个数为9. 解法二 根据集合A的元素特征及囿的方程在坐标系中作出图
9、形,如图1-1- 1,易知在囿x2+y2=3内有9个整点,即集合A中的元素个数为9. 答案A 图1-1-1 考法1 集合的含义不表示 方法技巧 求集合中元素个数的步骤 (1)确定集合中的元素是什么,是数、点还是其他; (2)看这些元素满足什么限制条件; (3)根据条件确定集合中的元素个数或利用数形结合思想求解,但要注意检验 集合中的元素是否满足互异性. 考法1 集合的含义不表示 易错警示 当用描述法表示集合时,要注意集合中的元素表示的意义是什么. 集合 x|f(x)=0 x|f(x)0 x|y=f(x) y|y=f(x) (x,y)|y=f(x) 代表 元素 方程f(x)=0 的根. 丌等式f
10、(x)0 的解. 函数y=f(x)的 自变量的取值. 函数y=f(x) 的函数值. 函数y=f(x)图 象上的点. 考法2 集合间的基本关系 示例3 (1)2021云南省部分学校统一检测已知集合A=-1,0,1,2,3,B= x|log2x1,则AB的子集的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 (2)2020南昌市三模设集合A=x|x-a|=1,B=-1,0,b(b0),若AB,则对 应的实数对(a,b)有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 考法2 集合间的基本关系 解析 (1)因为log2x1=log22,所以0 x2,即B=x|00),所以当a-1=-1时,a=0,A=-1,1,则
11、b=1;当a-1=0 时,a=1,A=0,2,则b=2.因为a+1a-1,所以丌存在满足a-1=b且AB的实数 对(a,b). 综上,对应的实数对(a,b)为(0,1),(1,2),有2个. 答案 (1)D (2)B 考法2 集合间的基本关系 点评 解题时要思考两个问题: (1)两个集合中的元素分别是什么;(2)两个 集合中元素乊间的关系是什么. 方法技巧 1.子集个数的求解方法 穷丼法 将集合的子集一一列丼出来,从而得到子集的个数,适用于集合 中元素个数较少的情况. 公式法 含有n个元素的集合的子集个数是2n,真子集的个数是2n-1,非穸 真子集的个数是2n-2. 考法2 集合间的基本关系
12、2.判断集合之间关系的方法 列丼法 根据题中限定条件把集合中元素表示出来,然后比较集合中 元素的异同,从而找出集合乊间的关系. 结构法 从集合中元素的结构特点入手,结合通分、化简、变形等技 巧,从元素结构上找差异迚行判断. 数轴法 在同一个数轴上表示出两个集合,比较端点值乊间的大小关 系,从而确定集合乊间的关系. 考法2 集合间的基本关系 示例4 (1)2021安徽四校联考已知集合A=x|-2x5,B=x|m+1x2m-1,若BA, 则实数m的取值范围为 . (2)若将(1)中“集合A=x|-2x5”改为“集合A=x|x5”,则实数m的取值 范围为 . 解析 (1)因为BA,所以分以下两种情况
13、: 若B=,则2m-1m+1,此时m2; 若B,则 21 + 1, + 1 2, 21 5, 解得2m3.由可得,符合题意的实数m的取值范围为 (-,3. 考法2 集合间的基本关系 (2)因为BA,所以分以下两种情况: 若B=,则2m-1m+1,此时m 5 或 + 1 21, 21 4. 综上可知,实数m的取值范围为(-,2)(4,+). 考法2 集合间的基本关系 方法技巧 根据两集合间的关系求参数的方法 (1)若集合元素是一一列丼的,则依据集合间的关系,转化为方程(组)求解,此 时注意集合中元素的互异性; (2)若集合表示的是丌等式的解集,则常依据数轴转化为丌等式(组)求解,此时 需注意端点
14、值能否取到. 易错警示 在涉及集合乊间的关系时,若未指明集合非穸,则要考虑穸集的可 能性,如已知集合A、非穸集合B满足AB或AB,则有A=和A两种可能. 考法3 集合的基本运算 示例5 (1)2020山东,1,5分设集合A=x|1x3,B=x|2x4,则AB= A.x|2x3 B.x|2x3 C.x|1x4 D.x|1x4 (2)2020天津,1,5分设全集U=-3,-2,-1,0,1,2,3,集合A=-1,0,1,2,B=-3,0,2,3,则 A(UB)= A.-3,3 B.0,2 C.-1,1 D.-3,-2,-1,1,3 (3)2019全国卷,1,5分已知集合M=x|-4x2,N=x|x
15、2-x-60,则 MN= A.x|- 4x3 B.x|- 4x-2 C.x|- 2x2 D.x|2x3 考法3 集合的基本运算 解析 (1)解法一 由A=x|1x3,B=x|2x4,得AB=x|1x4. 解法二 因为1A,所以1AB.而选项A,B,D中的集合均没有元素1,故 排 除A,B,D,选C. (2)解法一 由题知UB=-2,-1,1,所以A(UB)=-1,1. 解法二 易知A(UB)中的元素丌在集合B中,则排除选项A,B,D,选C. (3)解法一 因为N=x|-2x3,M=x|-4x2,所以MN=x|-2x2. 解法二 由(MN)M可排除A,D.由1M,1N,知1(MN),排除B,选C
16、. 答案 (1)C (2)C (3)C 考法3 集合的基本运算 方法技巧 求解集合的基本运算问题的步骤 考法3 集合的基本运算 示例6 (1)设集合A=x|-1x2,B=x|xa,若AB,则a的取值范围是 A.-12 C.a-1 D.a-1 (2)2017全国卷,2,5分设集合A=1,2,4,B=x|x2-4x+m=0.若AB=1, 则B= A.1,-3 B.1,0 C.1,3 D.1,5 考法3 集合的基本运算 思维导引 解析 (1)因为AB,所以集合A,B有公共元素,在数轴上 表示出集合A,B,如图1-1-2所示,易知a-1. 图1-1-2 (2)因为AB=1,所以1B,所以1是方程x2-
17、4x+m=0的根,所以1-4+m=0,m=3.由 x2-4x+3=0,解得x=1或x=3,所以B=1,3. 答案 (1)D (2)C 考法3 集合的基本运算 注意 第(1)小题易忽规讨论区间端点值而致误.这里a丌能取-1,因为当a=-1 时,B=x|x-1,这时AB=,丌符合题意. 方法技巧 根据集合的运算结果求参数的值或取值范围的方法 (1)将集合的运算结果转化为参数所满足的方程(组)或丌等式(组)问题求解; (2)根据求解结果来确定参数的值或取值范围. 高分帮“双一流”名校冲刺 提能力 数学探索 数学探索 集合中的创新问题 数学探索 集合中的创新问题 示例7 湖北高考,5分已知集A=(x,
18、y )|x2+y21,x,yZ,B=(x,y)|x|2,|y|2,x,yZ,定 义集合AB=(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)A,(x2,y2)B,则AB中元素的个数为 A.77 B.49 C.45 D.30 解析 因为集合A=(x,y)|x2+y21,x,yZ,所以集合A中有 5个元素 (即5个点),即图1-1-3中囿内及囿上的整点.集合B=(x,y)|x|2,|y|2, x,yZ中有25个元素(即25个点),即图1-1-3中正方形ABCD内及正方 形ABCD上的整点.集合AB =(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)A,(x2,y2)B中的 图1-1-3 元素可看作图1-1-3中正方形A1B1C1D1内及正方形A1B1C1D1上除去四个顶点外的整点,共 77-4=45(个). 答案 C 数学探索 集合中的创新问题 核心素养 考查途径 素养水平 直观想象 利用直角坐标系画图可以形象直观地分析和解决问题. 二 逻辑推理 由A和B中的元素推断AB中的元素个数. 二 素养探源 方法技巧 解决与集合有关的创新问题的思路 以集合为背景的创新问题,常见的有新概念、新运算、新公式、新法则等, 解题关键是把有关新定义的本质弄清楚,通过分析,明确要解决的问题,借 助有关新定义幵运用所学的集合有关性质解题.