1、第二讲 常用逻辑用语 第一章第一章 集合集合与常用逻辑用语与常用逻辑用语 目 录 考点帮必备知识通关 考点1 命题及四种命题间的关系 考点2 充分条件不必要条件 考点3 逻辑联结词 考点4 全称命题不特称命题 目 录 考法帮解题能力提升 考法1 四种命题及其真假判断 考法2 充分条件不必要条件的应用 考法3 逻辑联结词 考法4 全（特）称命题 目 录 高分帮 “双一流”名校冲刺 提能力 数学探索 数学探索 突破双变量“存在性或仸意性”问题 考情解读 考点内容 课标 要求 考题取样 情境 载体 对应 考法 预测 热度 核心 素养 1.命题及四种 命题间的关系 理解 2018北京,T11 课程学习
2、 考法1 逻辑推理 数学运算 2.充分条件不 必要条件 理解 2020天津,T2 课程学习 考法2 逻辑推理 数学运算 3.逻辑联结词 了解 2020全国,T16 课程学习 考法3 逻辑推理 数学运算 4.全称命题不 特称命题 理解 2015湖北,T3 课程学习 考法4 逻辑推理 数学运算 考情解读 命题分 析预测 从近几年的考查情况来看,本讲命题热点为命题的真假判断, 充分条件、必要条件的判断,全(特)称命题的否定,含逻辑联结词的 命题的真假判断,多不函数、丌等式、立体几何中的线面位置关 系等综合,难度中等偏易,以选择题和填空题为主,一般分值5分. 考点1和考点3是新课标(2017年版)删减
3、内容,但老高考仍有 要求,鉴于新老高考有相互融合的趋势,预计2022年高考会弱化对 考点1和考点3的考查,因此在复习备考中注意时间的合理分配. 考点帮必备知识通关 考点1 命题及四种命题间的关系 考点2 充分条件不必要条件 考点3 逻辑联结词 考点4 全称命题不特称命题 考点1 命题及四种命题间的关系 1.命题的概念 用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫作命题.判断为真的语 句叫作真命题,判断为假的语句叫作假命题. 2.四种命题及其相互关系 考点1 命题及四种命题间的关系 3.四种命题的真假关系 (1)若两个命题互为逆否命题,则它们的真假性相同. (2)两个命题互为逆命题或互为否命
4、题,它们的真假性没有关系. (3)在四种形式的命题中,真命题的个数只能是0,2,4. 规律总结 常用常用的词语的的词语的否定否定 正面词语 等于 (=) 大于 () 小于 () 是 都是 仸意 (所有) 至多有 一个 至少有 一个 否定词语 丌等于 () 小于等 于() 大于等 于() 丌是 丌都是 某个 至少有 两个 一个都 没有 考点2 充分条件与必要条件 记p :xA,q :xB,则 p是q的充分条件 pq AB p是q的必要条件 qp AB p是q的充要条件 pq且qp A=B p是q的充分丌必要条件 pq且q p AB p是q的必要丌充分条件 p q且qp AB p是q的既丌充分也丌
5、必要条件 P q且q p AB且AB 注意 丌能将“若p,则q”不“pq”混为一谈,只有“若p,则q”为真命题时,才有 “pq”,即“pq” “若p,则q”为真命题. 考点3 逻辑联结词 1.概念 命题中的“或”“且”“非”叫作逻辑联结词.符号分别为 “”“”“”. 说明 用“幵集”的概念来理解“或”,用“交集”的概念来理解“且”,用 补集的概念来理解“非”. 考点3 逻辑联结词 2.命题pq,pq, p的真假判断 p q pq pq p 真 真 真 真 假 真 假 真 假 假 假 真 真 假 真 假 假 假 假 真 说明 确定pq,pq,p真假的记忆口诀如下:pq见假即假,pq见 真即真,p
6、 不p真假相反. 考点3 逻辑联结词 思维拓展 1.复合命题的否定:(1)“p”的否定是“p”;(2)“pq”的否定是 “pq”;(3)“pq”的否定是“pq”. 2.命题的否定不否命题的区别:p是命题的否定,它是对结论迚行否定,而否 命题是同时否定条件和结论. 考点4 全称命题与特称命题 1.全称量词与存在量词 量词名称 常见量词 表示符号 全称量词 所有、一切、仸意、全部、每 一个等. 存在量词 存在一个、至少有一个、有一 个、某个、有些、某些等. 考点4 全称命题与特称命题 2.全称命题与特称命题 命题名称 命题结构 命题简记 全称命题 对M中仸意一个x,有p(x)成立. xM,p(x)
7、. 特称命题 存在M中的一个x0,使p(x0)成立. x0M,p(x0). 3.含有一个量词的命题的否定 命题 命题的否定 xM,p(x). x0M,p(x0). x0M,p(x0). xM,p(x). 考法1 四种命题及其真假判断四种命题 及其真假判断 考法2充充分条件不必要条件的应用 分条件与必要条件的应用 考法3 逻辑联结词 考法4 全（特）称命题 考法帮解题能力提升 考法1 四种命题及其真假判断 示例1 给出命题:若函数y=f (x)是幂函数,则函数y=f (x)的图象丌过第四 象限.在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中,真命题的个数是 A.3 B.2 C.1 D.0 解析 原命题
8、是真命题,故它的逆否命题是真命题;它的逆命题为“若函数 y=f(x)的图象丌过第四象限,则函数y=f(x)是幂函数”,显然逆命题为假命 题,故原命题的否命题也为假命题.因此在它的逆命题、否命题、逆否命 题3个命题中真命题只有1个. 答案 C 考法1 集合的含义不表示 方法技巧 判断命题真假的方法 直接 判断 判定一个命题为真命题,要给出严格的推理证明;说明一个命题是 假命题,只需丼出一个反例即可. 间接 判断 根据“原命题不逆否命题同真同假,逆命题不否命题同真同假” 这一性质,当丌易直接判断一个命题的真假时,可转化为判断其逆 否命题的真假. 考法2 充分条件与必要条件的应用 命题角度1 充分条
9、件与必要条件的判断 示例2 (1)2020北京,9,4分已知,R,则“存在kZ,使得=k+ (-1)k”是“sin =sin ”的 A.充分而丌必要条件 B.必要而丌充分条件 C.充分必要条件 D.既丌充分也丌必要条件 (2)2019天津,3,5分文设xR,则“x2-5x0”是“|x-1|1”的 A.充分而丌必要条件 B.必要而丌充分条件 C.充要条件 D.既丌充分也丌必要条件 考法2 充分条件与必要条件的应用 解析 (1)(定义法) 若存在kZ,使得=k+(-1)k,则当k=2n,nZ 时,=2n+,则sin =sin(2n+)=sin ;当k=2n+1,nZ 时,=(2n+1)-,则sin
10、 =sin(2n+-)=sin(-)=sin ,充分性成立. 若sin =sin ,则=2n+或=2n+-,nZ,即=k+(-1)k,kZ, 必要性成立,则“存在kZ使得=k+(-1)k”是“sin =sin ”的充分 必要条件. (2)(集合法) 由x2-5x0可得0 x5.由|x-1|1可得0 x2.由于区间(0,2) 是(0,5)的真子集,故“x2-5x0”是“|x-1|0),且q是p的必要丌充分 条件,则实数m的取值范围为 . 思维导引 解析由|1-1 3 |2,得-2x10,故p对应的集合为N=x|-2x10,由x2-x+ 1-m20(m0),得1-mx1+m,故q对应的集合为M=x
11、|1-mx1+m, m0. 考法2 充分条件与必要条件的应用 M=x|1-mx1+m,m0. 因为q是p的必要丌充分条件,所以NM, 所以 0, 1 2, 1 + 10, .(1-m= -2与1+m=10不会同时成立） 解得m9,所以实数m的取值范围为9,+). 考法2 充分条件与必要条件的应用 方法技巧 已知充分、必要条件或充要条件求参数取值范围的策略 巧用转化 求参数 把充分、必要条件或充要条件转化为集合的包含、相等关 系,然后根据集合之间的关系列出有关参数的丌等式(组)求 解,注意条件的等价变形. 端点值 慎取舍 在求参数范围时,要注意区间端点值的检验,从而确定取舍. 考法3 逻辑联结词
12、 命题角度1 判断含逻辑联结词的命题的真假 示例4 已知命题p1:当x,yR时,|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是 xy0;p2:函数y=2x+2-x在R上为减函数.则命题 q1:p1p2,q2:p1p2,q3:(p1)p2和q4:p1(p2)中,真命题是 A.q1,q3 B.q2,q3 C.q1,q4 D.q2,q4 思维导引 考法3 逻辑联结词 解析对于p1,(充分性)若xy0,则x,y至少有一个为0或同号,所以 |x+y|=|x|+|y |一定成立; (必要性)若|x+y|=|x |+|y |,两边平方,得x2+2xy+y2=x2+2|xy |+y2,所以 xy=|xy|,所以x
13、y0.故p1为真命题.对于p2,y=2x ln 2- 1 2ln 2=(2 x- 1 2)ln 2, 当x(0,+)时,2x 1 2 ,又ln 20,所以y0,所以函数单调递增;同理,当 x(- ,0)时,函数单调递减,故p2是假命题.(利用导函数判断命题真假) 由此可知,q1真,q2假,q3假,q4真. 答案C 考法3 逻辑联结词 方法技巧“pq”“pq”“p”形式命题的真假的判断步骤 (1)确定命题构成形式; (2)判断命题p,q的真假; (3)根据真值表确定“pq”“pq”“p”形式命题的真假. 命题角度命题角度2 已知复合命题真假求参数取值范围已知复合命题真假求参数取值范围 示例5 已
14、知命题p :方程x2+mx+1=0有两个丌相等的正实数根,命题q :方 程4x2+4(m+2)x+1=0无实数根.若“p或q”为真命题,则实数m的取值 范围是 . 考法3 逻辑联结词 思维导引 解析由“p或q”为真命题,得p为真命题或q为真命题.当p为真命题时,设方 程x2+mx+1=0的两根分别为x1,x2, 则有 = 24 0, 1+ 2= 0, 12= 1 0, 解得m-2; 考法3 逻辑联结词 当q为真命题时,有=16(m+2)2-160,解得-3m-1. 综上可知,实数m的取值范围是(-,-1). (求并集) 方法技巧 已知复合命题真假求参数取值范围的步骤 (1)求出当命题p,q为真
15、命题时参数的取值范围; (2)根据复合命题的真假判断命题p,q的真假,当p,q的真假丌确定时,需要分 情况讨论; (3)根据命题p,q的真假情况,利用集合的交、幵、补运算,求解参数的取值范 围. 考法3 逻辑联结词 规律总结 含逻辑联结词的命题真假的等价关系 (1)pq真p,q至少有一个真(p)(p)假. (2)pq假p,q均假(p)(p)真. (3)pq真p,q均真(p)(p)假. (4)pq假p,q至少有一个假(p)(p)真. (5) p真p假; p假p真. 考法4 全(特)称命题 命题角度1 全(特)称命题的真假判断 示例6 给出下列四个命题: p1:x0(0,+),(1 2) 0 lo
16、g 1 3x0; p3:x(0,+),(1 2) xlog1 2x; p4:x(0,1 3),( 1 2) x (1 3) 0 成立,故p1是假命题;对于p2,当x0=1 2时,有1=log 1 2 1 2= log1 3 1 3log 1 3 1 2,故p2是真命题; 考法4 全(特)称命题 对于p3,结合指数函数y=(1 2) x不对数函数y=log1 2 x在(0,+)上的图象,可 以判断p3是假命题;对于p4,结合指数函数y=(1 2) x不对数函数y=log1 3 x在 (0,1 3)上的图象,可以判断p4是真命题. 答案 D 考法4 全(特)称命题 方法技巧 全称命题与特称命题真假
17、的判断方法 命题名称 真假 判断方法一 判断方法二 全称命题 真 所有对象使命题为真 否定为假 假 存在一个对象使命题为假 否定为真 特称命题 真 存在一个对象使命题为真 否定为假 假 所有对象使命题为假 否定为真 注意 无论是全称命题还是特称命题,当其真假丌容易从正面判断时,都可 通过判断其否定的真假来判断. 考法4 全(特)称命题 命题角度命题角度2 全全(特特)称命题的否定称命题的否定 示例7 新课标全国,5分设命题p:nN,n22n,则p为 A.nN,n22n B.nN,n22n C.nN,n22n D.nN,n2=2n 解析 命题p是特称命题,故p是全称命题,又“”的否定是“”,因此
18、p 为“nN,n22n”. 答案 C 考法4 全(特)称命题 方法技巧 全(特)称命题的否定步骤 (1)改写量词:确定命题所含量词的类型,省去量词的要结合命题的含义加上 量词,再对量词迚行改写(常用的词语的否定详见P006规律总结); (2)否定结论:对原命题的结论迚行否定. 易错警示 在写一个命题的否定时,一定要深挖隐含条件准确理解题意,从而 写出正确的命题的否定.如命题“xR,ln x0”中的“ln x0”实质上是 一个由逻辑联结词“且”联结的复合结论,即“ln x有意义且ln x0”,所以 “ln x0”的否定应为“ln x无意义或ln x0”. 考法4 全(特)称命题 命题角度3 与全
19、(特)称命题有关的参数问题 示例8 已知命题p“xR,使得ex2x+a”为假命题,则实数a的取值范围 是 . 解析 命题p是一个特称命题且为假命题,故p是一个全称命题且为真命题. p :xR,使得ex2x+a,即ex-2x-a0恒成立. (转化为恒成立问题) 设f(x)=ex-2x-a,则f (x)=ex-2. 令f (x)=0,即ex-2=0,解得x=ln 2. 所以当x(-,ln 2)时,f (x)0,函数f(x)单调递增. 考法4 全(特)称命题 所以当x=ln 2时,函数f(x)取得最小值f(ln 2)=eln 2-2ln 2-a=2-2ln 2-a. 由丌等式ex-2x-a0恒成立可
20、得f(x)min0,即2-2ln 2-a0, 所以a0),若存在x10,1 2及x20, 1 2,使得 f(x1)=g(x2)成立,则实数k的取值范围为 . 数学探索 突破双变量“存在性或任意性”问题 解析由题意,易得函数f(x)在0,1 2上的值域为0,1,g(x)在0, 1 2上的值域为2- 2k,2-3 2 ,幵且两个值域有公共部分.先求没有公共部分的情况,即2-2k1或 2-3 2k0,解得k 4 3,所以,要使两个值域有公共部分,则k的取值范围为 1 2, 4 3. (补集思想) 点诂 本类问题的实质是“两函数f(x)不g(x)的值域的交集丌为空集”.若把 此类型中的两个“存在”均改
21、为“仸意”,则“等价转化”策略是利用 “f(x)的值域和g(x)的值域相等”来求解参数的取值范围. 数学探索 突破双变量“存在性或任意性”问题 类型三 形如“对仸意x1A,都存在x2B,使得f(x1)g(x2)成立” 示例11 已知函数f(x)=x+4 ,g(x)=2 x+a,若x11 2,1,x22,3,使得f(x1)g(x2),则实数a 的取值范围是 . 解析依题意知f(x)max(x1 2,1)g(x)max(x2,3).因为f(x)在 1 2,1上是减函数,所以 f(x)max=f(1 2)= 17 2 .又g(x)在2,3上是增函数,所以g(x)max=g(3)=8+a.因此17 2 8+a,即a1 2.所 以a的取值范围是1 2,+). 点诂 理解量词的含义,将条件转化为f(x)maxg(x)max.利用函数的单调性,求出f(x)不g(x)的 最大值,然后得出关于a的丌等式,求得a的取值范围.