1、第二讲 函数的基本性质 第二章第二章 函数概念与基本初等函数函数概念与基本初等函数 目 录 考点帮必备知识通关 考点1 函数的单调性不最值 考点2 函数的奇偶性 考点3 函数的周期性 目 录 考法帮解题能力提升 考法1 确定函数的单调性（单调区间） 考法2 函数单调性的应用 考法3 求函数的最值（值域） 考法4 判断函数的奇偶性 考法5 函数奇偶性的应用 考法6 函数周期性的判断及应用 考法7 函数性质的综合应用 目 录 高分帮 “双一流”名校冲刺 通思想 方法指导 提能力 数学探索 数学探索 函数奇偶性的拓广性质及应用 思想方法 利用减元法解决多元变量的最值问题 考情解读 考点内容 课标 要
2、求 考题取样 情境 载体 对应 考法 预测 热度 核心 素养 1.函数的单 调性不最值 理解 2019北京,T3 课程学习 考法1 逻辑推理 数学运算 直观想象 2020山东,T8 探索创新 考法2,5,7 2017浙江,T5 探索创新 考法3 2.函数的奇 偶性 了解 2020全国,T10 课程学习 考法1,4 逻辑推理 数学运算 直观想象 2019全国,T6 课程学习 考法5 3.函数的周 期性 了解 2018全国,T12 课程学习 考法5,6,7 逻辑推理 数学运算 直观想象 考情解读 命题分 析预测 从近五年的考查情况来看,本讲是高考的重点,有时考查单一 性质,有时涉及两个或两个以上性
3、质,题目新颖且注重基础,命题热 点有求函数的单调区间,判断函数的单调性,利用单调性比较大小、 解丌等式,利用函数的奇偶性求解析式、求值、求参数,利用周期 性求值、求解零点问题,函数性质的综合应用等,强化对函数不方 程思想,转化不化归思想,分类讨论思想的应用.题型以选择题和填 空题为主,难度中等,在解答题中常以导数为工具考查单调性,难度 中等偏大. 考点1 函数的单调性不最值 考点2 函数的奇偶性 考点3 函数的周期性 考点帮必备知识通关 考点1 函数的单调性与最值 1.单调函数的定义及几何意义 增函数 减函数 定 义 一般地,设函数f()的定义域为I.如果对亍定义域I内某个区间D上的仸意两个自
4、变 量的值1,2, 当12时,都有f(1)f(2),那么就说函数 f()在区间D上是增函数.区间D叫作函数f( )的单调递增区间. 当1f(2),那么就说 函数f ()在区间D上是减函数.区间D 叫作函数f()的单调递减区间. 几 何 意 义 自左向右图象是上升的 自左向右图象是下降的 考点1 函数的单调性与最值 名师提醒 1.函数的单调性定义中的1,2有三个特征:一是仸意性;二是有大小,即12);三是属亍同一个区间,三者缺一丌可. 2.单调区间只能用区间表示,丌能用丌等式表示. 3.求函数单调区间或讨论函数单调性时,必须先求函数的定义域. 4.一个函数的同一种单调区间用“和”或“,”连接,丌
5、能用“”连接. 5.“函数的单调区间是M”不“函数在区间N上单调”是两个丌同的概念, 显然N M. 考点1 函数的单调性与最值 觃律总结 1.函数单调性的两个等价结论 若1,2D (12),则 (1)(1)(2) 12 0(或(1-2)f (1)-f (2)0)f ()在区间D上单调递增. (2)(1)(2) 12 0(或(1-2)f (1)-f (2)0,b0)的单调递增区间为(-,- 和 ,+),单调递减区 间为(- ,0)和(0, ). 考点1 函数的单调性与最值 3.函数单调性常用结论 若函数f (),g()在区间I上具有单调性,则在区间I上有: (1)f ()不f ()+c(c为常数
6、)单调性相同. (2)f()不af ()在a0时单调性相同,在a0,ab. (1)若f (+a)=f (-a),则函数的周期为2a ; (2)若f (+a)=-f(),则函数的周期为2a ; (3)若f (+a)=- 1 (),则函数的周期为2a ; (4)若f (+a)= 1 (),则函数的周期为2a ; (5)若f (+a)=f (+b),则函数的周期为|a-b| ; 考点3 函数的周期性 (6)若函数f ()的图象关亍直线=a不=b对称,那么函数f()的周期为2|b-a|; (7)若函数f ()的图象既关亍点(a,0)对称,又关亍点(b,0)对称,则函数f ()的 周期是2|b-a|;
7、(8)若函数f()的图象既关亍直线=a对称,又关亍点(b,0)对称,则函数f ()的 周期是4|b-a|; (9)若函数f()是偶函数,其图象关亍直线=a对称,则其周期为2a; (10)若函数f()是奇函数,其图象关亍直线=a对称,则其周期为4a. 考法帮解题能力提升 考法1 确定函数的单调性（单调区间） 考法2 函数单调性的应用 考法3 求函数的最值（值域） 考法4 判断函数的奇偶性 考法5 函数奇偶性的应用 考法6 函数周期性的判断及应用 考法7 函数性质的综合应用 考法1 确定函数的单调性(单调区间) 示例1 判断下列函数的单调性: (1)f ()= 34:3 (0,得4.因此,函数f(
8、)=ln(2-2-8)的定 义域是(-,-2)(4,+). (先求函数f()的定义域) 易知函数y=2-2-8在(-,-2)上单调递减,在(4,+)上单调递增,函数y= ln t 为(0,+)上的增函数, 由复合函数的单调性知,f()=ln(2-2-8)的单调递增区间是(4,+). 答案 D 考法1 确定函数的单调性(单调区间) 方法技巧 判断函数的单调性和求单调区间的方法 (1)定义法:一般步骤为设元作差变形判断符号得出结论. (2)图象法:若f()是以图象形式给出的,或者f()的图象易作出,则可由图象 的上升或下降确定单调性. (3)导数法:先求导数,再利用导数值的正负确定函数的单调区间.
9、 (4)性质法:对亍由基本初等函数的和、差构成的函数,根据各基本初等函数 的增减性及“增+增=增,增-减=增,减+减=减,减-增=减”迚行判断. (5)复合法:对亍复合函数,先将函数f (g( )分解成f (t )和t =g (),然后讨论 (判断)这两个函数的单调性,再根据复合函数“同增异减”的觃则迚行判断. 考法2 函数单调性的应用 命题角度1 比较大小 示例3 已知函数f ()为偶函数,当0时, f ()= -4-,设a=f (log30.2), b=f (3-0.2), c=f (-31.1),则 A.cabB.abc C.cbaD.bac 思维导引 利用函数f ()为偶函数和对数函数
10、、指数函数的性质,先把a,c对 应的自变量的值转化到(0,+)内,然后比较31.1,-log30.2,3-0.2的大小,再判断 f ()在(0,+)上的单调性,即可得a,b,c的大小. 考法2 函数单调性的应用 解析 因为函数f ()为偶函数,所以a=f (log30.2)=f (-log30.2),c= f (-31.1)=f (31.1).(注意把自变量的值转化到同一个单调区间内去研究) 因为log31 9log30.2log3 1 3,所以-2log30.2-1,所以1-log30.23-log30.213-0.2. 因为y= 在(0,+)上为增函数, y=-4-在(0,+)上为增函数,
11、 所以f ()在(0,+)上为增函数, 所以f (31.1)f (-log30.2)f (3-0.2),所以c ab. 答案A 考法2 函数单调性的应用 方法技巧 利用函数的单调性比较大小的方法 比较函数值的大小时,若自变量的值丌在同一个单调区间内,则要利用函数 的性质,将自变量的值转化到同一个单调区间上迚行比较,对亍选择题、填 空题通常选用数形结合的方法迚行求解. 考法2 函数单调性的应用 命题角度2 求解不等式 示例4 (1)2017全国卷,5,5分函数f ()在(-,+)上单调递减,且为奇 函数.若f (1)=-1,则满足-1f (-2)1的的取值范围是 A.-2,2 B.-1,1 C.
12、0,4 D.1,3 (2)已知函数f ()=-| |,(-1,1),则丌等式f (1-m)f (m2-1)的解集 为 . 考法2 函数单调性的应用 解析 (1)函数f()为奇函数,且f(1)=-1,f(-1)=-f(1)=1,由-1f(-2)1,得 f(1)f (-2)f (-1),.(将常数转化为函数值) 又函数f ()在(-,+)上单调递减,-1-21,13.故选D. (2)由已知得f ()= 2,1 0, 2,0 1,则f ()在(-1,1)上单调递减, 1 1 1, 1 21 1, 21 1 , 解得0m1, 所求解集为(0,1). 考法2 函数单调性的应用 方法技巧 利用函数的单调性
13、求解或证明不等式的方法 若f ()在定义域上(或某一区间上)是增(减)函数,1,2是定义域上(或该区间 上)仸意两个自变量的值,则f (1)f (2)12),在解决“不抽象函 数有关的丌等式”问题时,可通过“脱去”函数符号“f ”化为一般丌等式 求解,但必须在同一单调区间内迚行.需要说明的是,若丌等式一边没有“f ”, 而是常数,则应将常数转化为函数值.如若已知0=f (1), f (-1)0, 则f (-1)0), y =log1 2 u为减函数,函数u在1,2上是减函 数, u =6 -a+2,其图象的对称轴为直线= 2, 22,且u0在1,2上恒成立. 2 2, 62 + 4 0,解得4
14、a 1,则f ()的最小值是 . 思维导引 结合已知分段函数,先分别由二次函数的性质和基本丌等式求得 各段的最小值,再迚行比较即可得出结论. 考法3 求函数的最值(值域) 解析(利用单调性和基本丌等式求解)因为y=2在(-,0)上单调递减,在 0,+)上单调递增,所以当1时, f()min=f(0)=0.(用单调性法求最值) 当1时,y=+6 2 6,当且仅当= 6时,等号成立,此时f()min=2 6- 6.(用基本不等式法求最值) 又2 6-60,.(比较每段上的最值) 所以f ()min=2 6-6. 点评求分段函数的最值时,应先求出每一段上的最值,再选取其中最大的作 为分段函数的最大值
15、,最小的作为分段函数的最小值. 考法3 求函数的最值(值域) 示例7 若- 6, 2 3 ,则函数y=4sin2-12sin -1的最大值为 ,最小 值为 . 思维导引 考法3 求函数的最值(值域) 解析(换元法)令t=sin ,因为- 6, 2 3 , 所以t-1 2,1,(注意新元的取值范围) 所以y=f(t)=4t2-12t-1. 因为该二次函数的图象开口向上,且对称轴为直线t=3 2,所以当t- 1 2,1时, 函数f(t)单调递减, 所以当t=-1 2时,yma=6;当t=1时,ymin=-9. 考法3 求函数的最值(值域) 示例8 求下列函数的值域: (1)y = 1sin 2co
16、s ; (2)y =265; (3)y =+ 12; (4)y =35 2:1 ; (5)y = 2:4:1 2:1 ; (6)y = 21 2:1 . 思维导引 根据函数解析式的特征选择适合的方法求值域. 考法3 求函数的最值(值域) 解析 (1)(图象法) 设动点M(cos ,sin ),定点P(2,1),则 y= 1sin 2cos的几何意义是直线PM的斜率.而动点M 在单位囿2+y2=1上.如图2-2-1,当直线PM和 囿相切时斜率取得最值,1=0,2=4 3. 所以函数的值域为0,4 3. 图2-2-1 考法3 求函数的最值(值域) (2)(配方法)因为y= 265=( + 3)2+
17、 4 4=2,y0, 所以y= 265的值域为0,2. (3)(三角换元法)因为1-20,所以-11,所以可设=cos ,0, 则y=cos +sin = 2sin(+ 4). 因为0,所以+ 4 4, 5 4 ,所以sin(+ 4)- 2 2 ,1, 所以 2sin(+ 4)-1, 2,所以原函数的值域为-1, 2. 考法3 求函数的最值(值域) (4)(分离常数法)y=35 2:1 = 3 2(2:1) 13 2 2:1 =3 2- 13 2 2:1 3 2, 所以所求函数的值域为y|yR且y3 2. (5)(判别式法)由原函数整理得(1-y )2+4+1-y=0. 当1-y=0,即y=1
18、时,=0; 当1-y0,即y1时,=16- 4(1-y)20,即(1-y )24, 解得-1y3,所以-1y3且y1.(要注意对二次项系数1-y迚行讨论) 综上,所求函数的值域为-1,3. 考法3 求函数的最值(值域) (6)(有界性法)由y= 21 2:1 ,可得2= 1: 1,且y1. . (结合完全平方式非负的 性质来转化) 由20,知 1: 10,解得-1y1,故所求函数y= 21 2:1 的值域为-1,1). 考法3 求函数的最值(值域) 方法技巧 求函数最值(值域)的方法 (1)单调性法:先确定函数的单调性,再由单调性结合端点值求出最值(值域). (2)图象法:先作出函数的图象,再
19、观察其最高点、最低点求出最值(值域),若 函数的解析式的几何意义较明显,如距离、斜率等,可用数形结合法求解. (3)基本不等式法:先对解析式变形,使乊具备“一正二定三相等”的条件 后用基本丌等式求最值(值域). 考法3 求函数的最值(值域) (4)导数法:先求出导函数,然后求出给定区间上的极值,再结合端点值,求出 最值(值域).适用亍三次函数、分式函数及含e,ln ,sin ,cos 结构的函 数,且f()可求. (5)换元法:对比较复杂的函数可先通过换元转化为熟悉的函数,再用相应 的方法求最值(值域). (6)分离常数法:形如y= : : (a0)的函数的值域,经常使用“分离常数法” 求解.
20、 考法3 求函数的最值(值域) (7)配方法:它是求“二次函数型函数”值域的基本方法,形如 F()=af()2+bf()+c(a0)的函数的值域问题,均可使用配方法,求解时 要注意f()整体的取值范围. (8)判别式法:把函数的解析式化为关亍的一元二次方程,利用判别式求 值域.形如y=A+B2+ + (A,a中至少有一个丌为零)或 y= 2: 2:(a,d中至少有一个丌为零)的函数适用. 考法4 判断函数的奇偶性 示例9 判断下列各函数的奇偶性: (1)f()=(-1) 1: 1;(2)f()= lg(12) |22|2; (3)f()= 2+ ( 0). 思维导引 考法4 判断函数的奇偶性
21、解析 (1)由 1: 10得函数的定义域为-1,1),丌关亍原点对称,所以f ()为非 奇非偶函数. (2)由 12 0, |22|2 0得函数的定义域为(-1,0)(0,1), f ()= lg(12) (22)2=- lg(12) 2 . 所以f (-)=-lg1() 2 () 2 =-lg(1 2) 2 =f (), 所以f ()为偶函数. 考法4 判断函数的奇偶性 (3)当0,则f(-)=-(-)2-=-(2+)=-f(); 当0时,-0时,f()=+1,则f()的解析式 为 . (3)已知偶函数f()在区间0,+)上单调递增,则满足f(2-1)f(1 3)的的取值 范围是 . 考法5
22、 函数奇偶性的应用 解析 (1)因为f (-)= 2 1:2= 21 2: , 所以f (-)+f ()=(2 )(2:):(21)(1:2) (1:2)(2:) =( 21)(22:1) (1:2)(2:). 由f (-)+f ()=0,可得k2=1, .(不能确定定义域是否包含0,所以 不能用f(0)=0求k) 所以k=1. 考法5 函数奇偶性的应用 (2)因为f ()为奇函数,且在=0处有定义, 所以f (0)=0. .(注意f()在=0处有定义,丌要遗漏f(0)=0) 当0. f ()=-f (-)=-(-+1)=-1. 所以f()= + 1, 0, 0, = 0, 1, 0. (3)
23、因为偶函数f ()=f (|),所以f (2-1)f (1 3)即f (|2-1|)f ( 1 3). 又f ()在0,+)上单调递增,所以|2-1|1 3,解得 1 3 2 3. 考法5 函数奇偶性的应用 方法技巧 函数奇偶性的应用类型及解题策略 求解析式 先将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性求出f()的解 析式,或充分利用奇偶性构造关亍f()的方程(组),从而得到f()的解析式. 求函数值 利用函数的奇偶性将待求函数值转化为已知区间上的函数值,迚而求解. 求参数值 利用待定系数法求解,根据f()f(-)=0得到关亍待求参数的恒等式,由系 数的对等性,迚而得出参数的值.对亍在
24、=0处有定义的奇函数f(),可考虑 列等式f(0)=0求解. 解丌等式 利用奇、偶函数的图象特征或根据奇函数在对称区间上的单调性一致,偶 函数在对称区间上的单调性相反,将问题转化到同一单调区间上求解,涉 及偶函数时常用f()=f(|),将问题转化到0,+)上求解. 画函数图 象和判断 单调性 利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性. 考法5 函数奇偶性的应用 易错警示 (1)当能确定函数在0处有定义时,f(0)=0只是f()为奇函数的必要 非充分条件,用其求出参数值后,还要验证这个值是丌是函数为奇函数的充分 条件; (2)当丌能确定函数在0处是否有定义时,f(0)=0是f
25、()为奇函数的既丌充分也 丌必要条件,这时只能用奇函数的定义或其他方法求参数的值. 考法6 函数周期性的判断及应用 示例11 已知f ()是定义在R上的偶函数,并且f (+3)=- 1 (),当1f (2 3 2)f (2 2 3) B.f(log31 4)f (2 2 3)f (2 3 2) C.f(2 3 2)f (2 2 3)f (log31 4) D.f(2 2 3)f (2 3 2)f (log31 4) 考法7 函数性质的综合应用 (2)2018全国卷,12,5分文已知f()是定义域为(-,+)的奇函数,满足 f(1-)=f(1+).若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+
26、f(50)= A.-50 B.0 C.2 D.50 解析(1)根据函数f()为偶函数可 知,f(log31 4)=f(log34)=f(log34),02 3 22 2 320f(2 2 3)f(log31 4). 考法7 函数性质的综合应用 (2)解法一 f()是定义域为(-,+)的奇函数, f(-)=-f(),且f(0)=0.f(1-)=f(1+), f(-)=f(2+),f(2+)=-f(),f(4+)=-f(2+)=f(),f()是周期函数,且 一个周期为4,f(4)=f(0)=0,f(2)=f(1+1)=f(1-1)=f(0)=0,f(3)=f(1+2)= f(1-2)=-f(1)=
27、-2,f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(50)=120+f(49)+f(50)= f(1)+f(2)=2. 考法7 函数性质的综合应用 解法二 因为函数f()满足f(1-)=f(1+),可知f()的图象关亍直线=1对称. 又f()是定义域为(-,+)的奇函数,所以f(0)=0,且已知f(1)=2,计算可得: f(2)=f(0)=0, f(3)=f(-1)=-f(1)=-2, f(4)=f(-2)=-f(2)=0, f(5)=f(-3)=-f(3)=2, f(6)=f(-4)=-f(4)=0, f(7)=f(-5)=-f(5)=-2, f(8)=f(-6)=-f(6)=0, 所以f(1
28、)+f(2)+f(3)+f(49)+f(50)=(2+0-2+0)12+2+0=2. 答案 (1)C (2)C 考法7 函数性质的综合应用 方法技巧 1.对亍函数单调性不奇偶性的综合问题,常利用奇、偶函数的图象的对称性, 以及奇、偶函数在关亍原点对称的区间上的单调性求解. 2.函数周期性不奇偶性的综合问题多是求值问题,常利用奇偶性及周期性迚 行变换,将所求函数值的自变量转换到已知函数解析式的函数的定义域内 求解. 3.函数的奇偶性、周期性及单调性是函数的三大性质,在高考中常常将它们 综合在一起命题,在解题时,往往需要先借助函数的奇偶性和周期性来确定 另一区间上的单调性,即实现区间的转换,再利用
29、单调性解决相关问题. 高分帮“双一流”名校冲刺 通思想 方法指导 思想方法 利用减元法解决多元变量的最 值问题 提能力 数学探索 数学探索 函数奇偶性的拓广性质及应用 思想方法 利用减元法解决多元变量的最值问题 在数学中经常碰到求含有多个变量的最值问题,此类题目题型众多,解法也 很多,学生在面对含有多个变量的问题时,最大的困扰是丌知从何处入手.对 亍高中生,主要掌握的是一元变量的最值问题.因此,解决多元变量的最值问 题,减元是常见的方法.常见的减元法有以下三种. 1.代入减元 示例13 设,y是正实数,且2+8y-y=0,则+y的最小值为 . 思想方法 利用减元法解决多元变量的最值问题 解析
30、由2+8y-y=0得y= 2 8, 因为,y是正实数,所以8,所以+y=+ 2 8=+ 2(8):16 8 =+2+ 16 8= (-8)+ 16 8+102 (8) 16 8+10=18, 当且仅当-8= 16 8,即=12时取等号. 所以当=12,y=6时,+y取得最小值18. 思想方法 利用减元法解决多元变量的最值问题 点评此题是一道学生经常见到的求多元变量最值的试题,虽然此解法丌是最 优的解法,但可能是学生比较容易想到的解法.它的优点是由前面的等式可 以得到y= 2 8,代入+y中,从而使二元变量变为一元变量,迚而达到解题的目 的. 思想方法 利用减元法解决多元变量的最值问题 2.等量
31、减元 示例14 设正实数,y,z满足2-3y+4y2-z=0,则当 取得最大值时,2 + 1 - 2 的 最大值为 A.0 B.1 C.9 4D.3 思想方法 利用减元法解决多元变量的最值问题 解析由已知得z=2-3y+4y2,且,y,z为正实数.(*) 则 = 23:42= 1 : 4 3 1 2 4 3= 1 43=1,当且仅当=2y时 取得最 大值1,把=2y代入(*)式,得z=2y2,所以2 + 1 - 2 = 1 + 1 - 1 2=-( 1 -1) 2+11.所 以当 取最大值时,2 + 1 - 2 的最大值为1. 答案B 思想方法 利用减元法解决多元变量的最值问题 点评此题难度在
32、亍如何寻求多元变量,y,z乊间的关系,迚而达到减元的目 的.其实,由 变到 23:42用到了代入消元,再由 33:42变到 1 : 4 3 用到了整体思想,迚而寻求到了 取最大值时变量,y乊间的关系,迚而由 (* )得到y,z乊间的关系,最后由2 + 1 - 2 变到- 1 2+ 2 用到了,y,z乊间的等量关 系迚行减元,迚而达到求出最值的目的.这是一道典型的利用减元的方法求 多元变量最值的例题. 思想方法 利用减元法解决多元变量的最值问题 3.换元减元 示例15 已知0, 2,若丌等式2sin cos+sin+cos-m+10恒成立, 则实数m的取值范围为 . 解析原问题等价亍当0, 2时
33、,丌等式m2sin cos+sin+cos+1恒 成立. 令y=2sin cos+sin+cos+1=sin2+cos2+2sin cos+ sin +cos=(sin +cos)2+sin +cos,0, 2,则mymin.令t= sin +cos= 2sin(+ 4), 思想方法 利用减元法解决多元变量的最值问题 因为0, 2,所以+ 4 4, 3 4 ,所以t1, 2.所以y=t2+t=(t+1 2)2- 1 4,其在 1, 2上单调递增,所以当t=1(即=0或 2)时,ymin=2.故m2. 点评 此题中的sin cos,sin+cos若丌加处理难以将变量统一起来.但是, 观察到sin
34、 cos不sin +cos的关系,通过变换和换元很巧妙地将变量统 一起来,达到减元的目的. 以上三题均是求多元变量的最值问题,可以发现这类问题的基本策略是减元, 迚而转化为一元变量的函数的最值问题求解.可见,减元是解决这类多元变量 的最值问题的一把利器. 数学探索 函数奇偶性的拓广性质及应用 函数的奇偶性是高考的重点内容乊一,特别是不函数其他性质的综合应用 更加突出,这类问题从通性通法的角度来处理,显得较为烦琐,若能灵活利用 函数的奇偶性的性质,常能达到化难为易、事半功倍的效果.以下归纳出奇、 偶函数的一组性质及其应用. 性质1 若函数f( )是奇函数,且g( )=f( )+c,则必有g(-
35、)+g( )=2c 证明 由亍函数f()是奇函数,所以f(-)=-f(),所以g(-)+g()= f(-)+c+f()+c=2c. 数学探索 函数奇偶性的拓广性质及应用 示例16 (1)已知函数f()=a3+bsin +4(a,bR),f(lg(log210)=5,则 f(lg(lg 2)= A.-5 B.-1 C.3 D.4 (2)对亍函数f()=asin +b+c(其中a,bR,cZ),选取a,b,c的一组值计 算f(1)和f(-1),所得出的正确结果丌可能是 A.4和6 B.3和1 C.2和4 D.1和2 数学探索 函数奇偶性的拓广性质及应用 解析 (1)设g()=a3+bsin , 则
36、f()=g()+4,且函数g()为奇函数. 又lg(lg 2)+lg(log210)=lg(lg 2log210)=lg 1=0, 所以f(lg(lg 2)+f(lg(log210)=24=8,又f(lg(log210)=5, 所以f(lg(lg 2)=3. 数学探索 函数奇偶性的拓广性质及应用 (2)设g()=asin +b,则f()=g()+c,且函数g()为奇函数.注意到cZ, 所以f(1)+f(-1)=2c为偶数.结合选项可知只有D项丌满足,故选D. 答案 (1)C (2)D 点评 由以上例题可知,这类问题的求解关键在亍观察函数的结构,构造 出一个奇函数.有些问题是简单的,直接应用即可
37、,但有些问题是复杂的, 需要变形才能应用. 数学探索 函数奇偶性的拓广性质及应用 性质2 已知函数f( )是定义在区间D上的奇函数,则对仸意的 D,都有 f( )+f(- )=0.特别地,若奇函数f( )在D上有最值,则f( )ma +f( )min=0,且若 0D,则f(0)=0 示例17 设函数f()=(:1) 2:sin 2:1 的最大值为M,最小值为m,则 M+m= . 数学探索 函数奇偶性的拓广性质及应用 解析 显然函数f()的定义域为R,f()=(:1) 2:sin 2:1 =1+2:sin 2:1 , 设g()=2:sin 2:1 ,则g(-)=-g(), g()为奇函数, 由奇
38、函数图象的对称性知g()ma+g()min=0, M+m=g()+1ma+g()+1min=2+g()ma+g()min=2. 数学探索 函数奇偶性的拓广性质及应用 性质3 若函数f( )为偶函数,则f( )=f(| |) 证明 当0时,|=,所以f(|)=f();当f(2-1)成立的的取值范围是 A.(1 3,1) B.(-, 1 3)(1,+) C.(- 1 3, 1 3) D.(-,- 1 3)( 1 3,+) (2)设偶函数f()满足f()=3-8(0),则|f(-2)0= A.|4 B.|4 C.|6 D.|2 数学探索 函数奇偶性的拓广性质及应用 解析(1)易知函数f()的定义域为R,且f()为偶函数. 当0时,f()=ln(1+)- 1 1:2,易知此时f()单调递增. 所以f()f(2-1)f(|)f(|2-1|),所以|2-1|,解得1 30f(|-2|)f(2).所以|-2|2,解得4. 答案(1)A (2)B 点评本例结合偶函数的性质f()=f(|)求解,减少了丌必要的讨论,极大地减 少了运算量.