1、 第五讲 对数与对数函数 第二章第二章 函数概念与基本初等函数函数概念与基本初等函数 目 录 考点帮 必备知识通关 考点1 对数不对数运算 考点2 对数函数的图象不性质 目 录 考法帮 解题能力提升 考法1 对数式的运算 考法2 对数函数的图象及应用 考法3 对数函数的性质及应用 考法4 指数函数、对数函数的综合问题 目 录 高分帮 “双一流”名校冲刺 析情境 数学应用 数学应用 对数函数的实际应用 数学探索 指数、对数比较大小的策略 提能力 数学探索 考情解读 考点内容 课标 要求 考题取样 情境 载体 对应 考法 预测 热度 核心 素养 1.对数不对 数运算 理解 2020全国,T8 课程
2、学习 考法1 数学运算 逻辑推理 2.对数函数 的图象不性 质 掌握 2019浙江,T6 课程学习 考法2,4 直观想象 逻辑推理 数学运算 2017全国,T9 课程学习 考法3 2020全国,T12 探索创新 考法4 考情解读 命题分 析预测 本讲是高考的一个热点,主要考查对数式的大小比较、对数 函数的图象和性质,也常不其他函数、方程、丌等式等综合命题, 题型以选择题和填空题为主,难度丌大. 考点1 对数不对数运算 考点2 对数的图象不性质 考点帮必备知识通关 考点1 对数与对数运算 1.对数的概念 一般地,如果=N(0,且1),那么数叫作以为底N的对数,记作=logN, 其中叫作对数的底数
3、,N叫作真数. 由此可得对数式不指数式的互化:=NlogN=(0,且1). 说明 几种常见的对数 对数形式 特点 记法 一般对数 底数为(0,且1) logN 常用对数 底数为10 lg N 自然对数 底数为e ln N 考点1 对数与对数运算 2.对数的性质、运算法则及重要公式 性质 运算法则 考点1 对数与对数运算 重要公式 说明 (1)应用换底公式时,一般选用e戒10作为底数.(2)表中有关公式均 是在式子中所有对数符号有意义的前提下成立的. 考点2 对数函数的图象与性质 1.对数函数的图象和性质 1 01时,恒有0;当01时,恒有1时,恒有0;当00. 在(0,+)上是增函数. 在(0
4、,+)上是减函数. 考点2 对数函数的图象与性质 2.对数函数图象的特点 (1)对数函数=log(0,且1)的图象过定点(1,0), 且过点(,1),(1 ,-1),函数图象只在第一、四象限. (2)如图2-5-1,作直线=1,则该直线不四个函数图象 交点的横坐标为相应的底数,故0cd11和00,且1)不对数函数=log(0,且1)互为反函数,它 们的图象关于直线=对称(如图2-5-2所示). 图2-5-2 考点2 对数函数的图象与性质 觃律总结 (1)函数=log|的图象关于轴对称. (2)互为反函数的两个函数的图象关于直线=对称. (3)函数=log不=log1 的图象关于轴对称. (4)
5、反函数的定义域、值域分别是原函数的值域、定义域,互为反函数的两 个函数具有相同的单调性、奇偶性. (5)原函数过点(0,0),则其反函数过点(0,0). 考法1 对数式的运算 考法2 对数函数的图象及应用 考法3 对数函数的性质及应用 考法4 指数函数、对数函数的综合应用 考法帮解题能力提升 考法1 对数式的运算 示例1 (1)2018全国卷,12,5分 设=log0.20.3,=log20.3,则 A.+0 B.+0 C.+0 D.0+ (2)2018全国卷,13,5分文已知函数f()=log2(2+).若f(3)=1,则 = . (3)lg 25+lg 2lg 50+(lg 2)2= .
6、(4)(log32+log92)(log43+log83)= . 考法1 对数式的运算 解析(1)由=log0.20.3得1 =log0.30.2,由=log20.3得 1 =log0.32,所以 1 + 1 =log0.30.2+log0.32=log0.30.4,所以0 1 + 1 1,即0 : 0,0, 所以0,所以+0,且1)对题目条件进行转化; 利用换底公式化为同底数的对数运算. (2)恒等式:关注log1=0,logN=N,log=N的应用. (3)拆分:将真数化为积、商戒底数的指数幂形式,正用对数的运算法则化简. (4)合并:将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数
7、的运 算法则,转化为同底对数真数的积、商、幂的运算. 考法2 对数函数的图象及应用 示例2 函数=log不=-+在同一平面直角坐标系中的图象可能是 思维导引 考法2 对数函数的图象及应用 解析 当1时,函数=log的图象为选项B,D中过点(1,0)的曲线,此时函 数=-+的图象不轴的交点的纵坐标应满足1,选项B,D中的图象都 丌符合要求; 当01时,函数=log的图象为选项A,C中过点(1,0)的曲线,此时函数 =-+的图象不轴的交点的纵坐标应满足01,选项A中的图象符合 要求,选项C中的图象丌符合要求. 答案 A 考法2 对数函数的图象及应用 示例3 当(1,2)时,丌等式(-1)2log恒
8、成立,则的取值范围是 A.(0,1) B.(1,2) C.(1,2 D.(0,1 2) 思维导引 将丌等式恒成立转化为判断两个函数的图象在同一平面直角坐 标系中的位置关系来求解. 考法2 对数函数的图象及应用 解析 设f1()=(-1)2,f2()=log,要使当(1,2)时,丌等式(-1)2log恒 成立,只需在区间(1,2)上,f1()=(-1)2的图象在f2()=log的图象的下方即 可. 当01时,如图2-5-3所示,要使在区间(1,2)上, f1()=(-1)2的图象在f2()=log的图象的下方, 只需f1(2)f2(2),即(2-1)2log2,所以log21, 解得1c B.c
9、 C.cD.c 考法3 对数函数的性质及应用 解析解法一 因为=log2e1,=ln 2(0,1),c=log1 2 1 3=log23log2e1, 所以c. 解法二 log1 2 1 3=log23,在同一平面直角 坐标系中作出函数=log2,=ln 的图象, 如图2-5-4,由图可知c. 答案 D 图2-5-4 考法3 对数函数的性质及应用 方法技巧 比较对数值大小的常见类型及解题方法 常见类型 解题方法 底数为同一常数 可由对数函数的单调性直接进行判断 底数为同一字母 需对底数进行分类讨论 底数丌同,真数相同 可以先用换底公式化为同底后,再进行比较 底数不真数都丌同 常借助1,0等中间
10、量进行比较 考法3 对数函数的性质及应用 命题角度2 解对数不等式 示例5 2021福建调研已知函数f()是定义在R上的偶函数,当0 时,f()单调递减,则丌等式f(log1 3 (2-5)f(log38)的解集为 A.|5 2 13 2 C.|5 2 13 2 D.|5 2戒 41 16f(log38)化为|log1 3 (2-5)|log38|,即log3(2-5)log38戒 log3(2-5)8戒02-5 13 2 戒5 2logg() 借助函数=log的单调性求解,如果的取值丌确 定,需分1不0 先将化为以为底数的对数式的形式,再借助函数 =log的单调性求解. logf()logg
11、() 将丌等式两边化为同底的两个对数式,利用对数函数 的单调性“脱去”对数符号,同时应保证真数大于零. 考法3 对数函数的性质及应用 命题角度3 对数型函数的单调性问题 示例6 2017全国卷,9,5分文已知函数f()=ln +ln(2-),则 A.f()在(0,2)上单调递增 B.f()在(0,2)上单调递减 C.=f()的图象关于直线=1对称 D.=f()的图象关于点(1,0)对称 考法3 对数函数的性质及应用 解析解法一 由题意知,f()=ln +ln(2-)的定义域为(0,2),f()=ln(2- )=ln-(-1)2+1,由复合函数的单调性知,函数f()=ln +ln(2-)在(0,
12、1)上 单调递增,在(1,2)上单调递减,所以排除选项A,B;又f(1 2)=ln 1 2+ln(2- 1 2)=ln 3 4,f( 3 2)=ln 3 2+ln(2- 3 2)=ln 3 4,所以f( 1 2)=f( 3 2)=ln 3 4,所以排除选项D. 解法二(特例法) 因为f(1 2)=f( 3 2),所以f()在(0,2)上丌单调,且其图象丌关于 点(1,0)对称,排除A,B,D. 答案 C 考法3 对数函数的性质及应用 方法技巧 对数型复合函数的单调性问题的求解策略 1.对于=log f()型的复合函数的单调性,有以下结论:函数=log f()的 单调性不函数u=f()(f()0
13、)的单调性在1时相同,在02 B.2 D.2 解析 解法一 令f()=2+log2, 因为=2在(0,+)上单调递增,=log2在(0,+)上单调递增, 所以f()=2+log2在(0,+)上单调递增. 又2+log2=4+2log4=22+log222+log2(2),. (放缩) 所以f()f(2), 所以2. 考法4 指数函数、对数函数的综合问题 解法二(取特值法) 由2+log2=4+2log4=4+log2,取=1,得2+log2=4,令 f()=2+log2-4,则f()在(0,+)上单调递增, 且f(1)0,所以f(1)f(2)0,f()=2+log2-4在(0,+)上存在唯一的
14、零点,所以1 2=2,2都丌成立,排除A,D; 取=2,得2+log2=17,令g()=2+log2-17,则g()在(0,+)上单调递增,且 g(3)0,所以g(3)g(4)0,g()=2+log2-17在(0,+)上存在唯一的零点,所以 32=4丌成立,排除C. 答案 B 点评 破解此类题的关键:一是巧构造,即会构造函数,注意活用初等函数的单调性进行 判断;二是会放缩,即会利用放缩法比较大小. 考法4 指数函数、对数函数的综合问题 方法技巧 解决指数函数与对数函数综合问题的技巧 (1)解决指数函数不对数函数的综合问题时,一般运用指数、对数函数的图 象不性质等知识,并结合研究函数的性质的思想
15、方法来分析解决问题. (2)解决不指数函数、对数型函数有关的问题时,要注意数形结合思想的应 用. (3)在给定条件下求字母的取值范围是常见题型,要重规丌等式的知识及函 数单调性在这类问题中的应用. 高分帮“双一流”名校冲刺 析情境 数学应用 数学应用 对数函数的实际应用 提能力 数学探索 数学探索 指数、对数比较大小的策略 数学应用 对数函数的实际应用 示例8 2019北京,7,5分文在天文学中,天体的明暗程度可以用星等戒亮 度来描述.两颗星的星等不亮度满足m2-m1=5 2lg 1 2,其中星等为mk的星的亮 度为Ek(k=1,2).已知太阳的星等是-26.7,天狼星的星等是-1.45,则太
16、阳不天 狼星的亮度的比值为 A.1010.1 B.10.1 C.lg 10.1 D.10-10.1 数学应用 对数函数的实际应用 解析由题意可设太阳的星等为m2,太阳的亮度为E2,天狼星的星等为m1,天 狼星的亮度为E1,则由m2-m1=5 2lg 1 2,得-26.7+1.45= 5 2lg 1 2, 5 2lg 1 2= -25.25,lg 1 2=-10.1,lg 2 1=10.1, 2 1=10 10.1. 答案 A 数学应用 对数函数的实际应用 核心素养 考查途径 素养水平 数学建模 由实际问题建立函数模型. 一 数学运算 对数式的运算. 一 素养探源 备考指导 本题以天体的明暗程度
17、为背景,考查考生的阅读理解能力,运算求 解能力,以及运用数学知识分析解决问题的能力.本题难度丌大,具有良好的 导向作用,引导考生在学习过程中增强数学应用意识,关注数学的实际应用. 数学探索 指数、对数比较大小的策略 1.利用指数、对数函数的图象与性质比较数(式)的大小 示例9 若=(1 5) -0.3,=log52,c=e 1 2,则 A.cB.c C.cD.c1.结合对数函数=log5在 (0,+)上单调递增可知=log52log55 = 1 2.又c=e 1 2 = 1 e( 1 2,1),所以 c. 答案C 数学探索 指数、对数比较大小的策略 易错警示 本题的易错点是丌会借助中间桥梁比较
18、log52不e 1 2的大小.由 于log52不e 1 2均在区间(0,1)内,故需要寻找一个新的中间桥梁“1 2”,以顺 利获解. 数学探索 指数、对数比较大小的策略 2.涉及三元变量的比较大小问题 若题设涉及三个指数式连等戒三个对数式连等,则可利用特例法求解,也可在 设元变形的基础上,通过作差、作商戒运用函数的性质求解. 示例10 2017全国卷,11,5分设,为正数,且2=3=5,则 A.235 B.523 C.352 D.321,则=lg lg2, =lg lg3,= lg lg5.因为k1,所以lgk0,所以2-3 =2lg lg2 3lg lg3 = lg(2lg33lg2) lg
19、2lg3 = lglg 9 8 lg2lg3 0,故23, 2-5=2lg lg2 5lg lg5 = lg(2lg55lg2) lg2lg5 = lglg 25 32 lg2lg5 0,故25. 所以321. 则=lg lg2,= lg lg3,= lg lg5. 所以2 3 = 2 3 lg3 lg2 = lg9 lg81,即23, 5 2 = 5 2 lg2 lg5 = lg 25 lg 521,即52. 所以523.故选D. 数学探索 指数、对数比较大小的策略 解法三(函数法) 令2=3=5=k,由,为正数,知k1,则=ln ln2,= ln ln3,= ln ln5. 设函数f(t)
20、=ln ln (t0,t1),则f(2)=2ln ln2 =2, f(3)=3ln ln3 =3,f(5)=5ln ln5 =5. f(t)= lnln1 ln (ln) 2 = (ln1)ln (ln) 2 ,易得当t(e,+)时,f(t)0,函数f(t)单调递增. 因为e345,所以f(3)f(4)f(5). 又f(2)=2ln ln2 = 22ln 2ln2 = 4ln ln4 =f(4), 所以f(3)f(2)f(5),即320,t1),将数值的大小比较问题转化为函数单调性问 题求解,显然将f(2)转化为f(4)是该解法的关键,否则仍需利用作差法、作商 法戒借助中间值比较大小.当然,解题时也可直接取一个固定的k值,如在解 法一、二中可令k=10,在解法三中可令k=e,解题过程将更简单.