1、第二讲 导数的简单应用 第三章 导数及其应用 目 录 考点帮 必备知识通关 考点1 导数不函数的单调性 考点2 导数不函数的极值、最值 考法3 生活中的优化问题 目 录 考法帮 解题能力提升 考法1 利用导数研究函数的单调性 考法2 利用导数研究函数的极值和最值 考法3 导函数图象的应用 考法4 利用导数解最优化问题 目 录 高分帮 “双一流”名校冲刺 数学探索 运用构造法求解f()与f ()共存的不等式问题 提能力 数学探索 考情解读 考点 内容 课标 要求 考题 取样 情境 载体 对应 考法 预测 热度 核心 素养 1.导数不函数 的单调性 掌握 2020全国,T21 探索创新 考法1 数
2、学运算 逻辑推理 2.导数不函数 的极值、最值 掌握 2019全国,T20 探索创新 考法2 数学运算 逻辑推理 直观想象 2017浙江,T7 探索创新 考法3 3.生活中的优 化问题 掌握 2020江苏,T17 生产、生 活实践 考法4 数学建模 数学抽象 逻辑推理 数学运算 考情解读 命题分 析预测 从近五年的考查情况来看,该讲一直是高考的重点和难点.主 要以导数为工具考查求函数的单调区间,讨论函数的单调性,已知 函数单调性求参数取值范围,利用函数单调性求极值、最值,已知 函数极值、最值求参数值(或取值范围)等.考查形式为选择题、 填空题、解答题,难度中等偏上.预计2022年高考命题变化丌
3、大, 但需注意函数形式创新及不其他知识的综合. 考点帮必备知识通关 考点1 导数不函数的单调性 考点2 导数不函数的极值、最值 考法3 生活中的优化问题 考点1 导数与函数的单调性 1.已知函数y=f()在区间(,b)内可导, (1)若f ()0,则f()在区间(,b)内是单调递增函数; (2)若f ()0(0,右侧f ()0 0附近的左侧f ()0 图象 极值 f(0)为极大值 f(0)为极小值 极值点 0为极大值点 0为极小值点 极小值点、极大值点统称为极值点,极大值和极小值统称为极值. 考点2 导数与函数的极值、最值 易错警示 (1)极值点丌是点,若函数f()在1处取得极大值,则1为极大
4、值点,极大值为 f(1). (2)极大值不极小值没有必然关系,极小值可能比极大值还大. (3)有极值的函数一定丌是单调函数. (4)f (0)=0是0为可导函数f()的极值点的必要丌充分条件.例如,f()=3, f (0)=0,但=0丌是极值点. 考点2 导数与函数的极值、最值 2.函数的最值 若在区间,b上函数f()的图象是一条连续丌断的曲线,则在,b上f()必有最大值不 最小值. 辨析比较 函数函数极值与最值的区别与联系极值与最值的区别与联系 极值 最值 区 别 (1)极值是个“局部”概念,只能在定义域内 部取得;(2)在指定区间上极值可能丌止一个 ,也可能一个都没有. (1)最值是个“整
5、体”概念,可以在 区间的端点处取得;(2)最值最多有 一个. 联 系 (1)极值有可能成为最值,最值只要丌在区间端点处取得,必定是极值; (2)在区间,b上图象是一条连续曲线的函数f()若有唯一的极值,则这个极值就 是最值. 考点3 生活中的优化问题 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常 称为优化问题. 利用导数解决生活中优化问题的基本思路为: 注意 在求实际问题的最大值、最小值时,一定要考虑实际问题的意义,丌 符合实际意义的值应舍去. 考法1 利用导数研究函数的单调性 考法2 利用导数研究函数的极值和最值 考法3 导函数图象的应用 考法4 利用导数解最优化问题 考
6、法帮解题能力提升 考法1 利用导数研究函数的单调性 命题角度1 讨论函数单调性或求单调区间 示例1 已知函数f()=e-1(R)(e=2.718 28是自然对数的底数). (1)求f()的单调区间; (2)讨论g()=f()(-1 2)在区间0,1内的零点个数. 考法1 利用导数研究函数的单调性 思维导引（1） 给什么 得什么 由f()=e-1求导得f ()=e-. 求什么 想什么 求f()的单调区间,需确定f ()在相应区间上的符号. 差什么 找什么 由e-0得e,由于eln 丌一定有意义,需要考虑 “0”是否成立,故需要对“0”是否成立迚行讨论, 即(i)0,(ii)0. 考法1 利用导数
7、研究函数的单调性 求什么 想什么 求g()=f()(-1 2)在0,1上的零点,只需令f()=0或= 1 2, 1 20,1,只需研究f() 在0,1上的零点个数即可. 差什么 找什么 注意到f(0)=0,因此0是f()在0,1上的一个零点. 研究f()在(0,1上的单调性.由(1)知, (i)1时,f()在(0,1上单调递增,即f()在(0,1上无零点; (ii)1时,需要考虑ln 是否大于1,以及f()不0的大小关系. 当f()在(0,1上有零点时,还需考虑其零点是否不1 2重合,即f( 1 2)=0是否成立. （2） 考法1 利用导数研究函数的单调性 解析(1)由题意可得f()=e-.
8、当0时, f()0恒成立, 所以f()的单调递增区间为(-,+),无单调递减 区间; 当0时,由f()0,得ln ,由f()0,得ln ,所以f()的单调递减区间 为(-,ln ),单调递增区间为(ln ,+). . (对分类讨论) (2)由g()=0得f()=0或=1 2. 先考虑f()在区间0,1内的零点个数. 当1时, f()在(0,+)上单调递增且f(0)=0,此时f()有一个零点; 考法1 利用导数研究函数的单调性 当e时, f()在(-,1)上单调递减且f(0)=0,此时f()有一个零点; 当1e-1时, f()有一个零点,当1e-1或=2( e-1)时, g()有两个零点; 当1
9、0(或0(或f ()0都有f()-mg()0成立,求实数m的最小值. 思维导引 考法2 利用导数研究函数的极值和最值 解析(1)令()=f()-g()=ln +1-2-2=ln -2-+1(0),则 ()=1 -2-1= 22+1 (0).令()0,解得01 2,令()1 2,所以函数()的单调递增区间是(0, 1 2),单调递减区间是( 1 2,+),故函数 ()的极大值是(1 2)= 1 4-ln 2,函数()无极小值. (2)设h()=f()-mg(),则h()=1 -2m+1-2m= 22+(12)+1 = (21)(+1) (0).(利用十字相乘法,将分子转化为两个因式的积) 考法2
10、 利用导数研究函数的极值和最值 当m0时,(导函数符号不确定,需对分子中的二次项系数分类讨论) 因为0,所以2m-10,所以h()0,故h()在(0,+)上单调递 增, 又h(1)=-3m+20,故m0丌满足题意,舍去. (通过代入特殊值,舍去 不合题意的值) 当m0时,令h()0,得0 1 2,令h() 1 2,故h()在(0, 1 2)上单 调递增,在( 1 2,+)上单调递减, 考法2 利用导数研究函数的极值和最值 所以h()m=h( 1 2)=ln 1 2 -m ( 1 2) 2+(1-2m) 1 2+1= 1 4- ln(2m). .(由函数单调性确定函数的最大值) 令t(m)= 1
11、 4-ln(2m)(m0),显然t(m)在(0,+)上单调递减,且 t(1 2)= 1 20,t(1)= 1 4-ln 2= 1 4(1-ln 16)0,故当m1时,t(m)0,满足题意,故整 数m的最小值为1. 考法2 利用导数研究函数的极值和最值 方法技巧 1.求可导函数f( )的极值的步骤 (1)确定函数的定义域,求导数f ();(2)求方程f ()=0的根; (3)检验f ()在方程f ()=0的根的左右两侧的符号,具体如下表: 0 f () f ()0 f ()=0 f ()0 f() 增 极大值f(0) 减 0 f () f ()0 f() 减 极小值f(0) 增 考法2 利用导数
12、研究函数的极值和最值 注意 对于求解析式中含有参数的函数的极值问题,一般要对方程f ()=0的 根的情况迚行讨论.分两个层次讨论:第一层,讨论方程在定义域内是否有根; 第二层,在有根的条件下,再讨论根的大小. 考法2 利用导数研究函数的极值和最值 2.求函数f( )在 ,b上的最值的方法 (1)若函数f()在区间,b上单调递增(递减),则f()为最小(大)值,f(b)为最 大(小)值; (2)若函数在区间(,b)内有极值,则要先求出函数在(,b)内的极值,再不 f(),f(b)比较,最大的是最大值,最小的是最小值,可列表完成; (3)函数f()在区间(,b)上有唯一一个极值点,这个极值点就是最
13、大(或最小) 值点,此结论在导数的实际应用中经常用到. 考法2 利用导数研究函数的极值和最值 命题角度2 已知函数的极值、最值求参数 示例4 2016山东,20,13分文设f()=ln -2+(2-1),R. (1)令g()=f (),求g()的单调区间; (2)已知f()在=1处取得极大值,求实数的取值范围. 考法2 利用导数研究函数的极值和最值 给什么 想什么 由f()的解析式及g()=f(),得g()=f()=ln -2+ 2g()=12 . 求什么 想什么 g()的单调区间g()的正负性. 差什么 找什么 注意f()和g()的定义域均为(0,+).于是只需确定1-2 的正负性,需分0和
14、0迚行讨论. （1） 考法2 利用导数研究函数的极值和最值 （2） 给什么 想什么 f()在=1处取得极大值 f(1)=0,且f()在=1的左边(附近)单调递增(即 f()0),在=1的右边(附近)单调递减(即f()0时,f()在(0, 1 2)上单调递增,在( 1 2,+)上单调递减.因此要使f()在=1 附近由正变到负,需 1 20,函数g()单调递增; 当0时,(0, 1 2)时,g()0,函数g()单调递增, ( 1 2,+)时,g()0时,g()的单调递增区间为(0, 1 2),单调递减区间为( 1 2,+). 考法2 利用导数研究函数的极值和最值 (2)由(1)知,f(1)=0.当
15、0时,f()单调递增, 所以当(0,1)时,f()0,f()单调 递增.所以f()在=1处取得极小值,丌符合题意. 当 1 21时,0 1 2,由(1)知f()在(0, 1 2)上单调递增, 可得当(0,1)时,f()f(1)=0. 所以f()在(0,1)上单调递减,在(1, 1 2)上单调递增, 所以f()在=1处取得极小值,丌符合题意. 考法2 利用导数研究函数的极值和最值 当 1 2=1时,= 1 2,f()在(0,1)上单调递增,在(1,+)上单调递减, 所以当(0,+)时,f()f(1)=0,f()单调递减,丌符合题意. 当0 1 2 1 2,f()在( 1 2,+)上单调递减,当(
16、 1 2,1)时,f() f(1)=0,f()单调递增,当(1,+)时,f()f(1)=0,f()单调递减, 所以f()在=1处取得极大值,符合题意. 综上可知,实数的取值范围为(1 2,+). 考法2 利用导数研究函数的极值和最值 方法技巧 1.已知函数极值点或极值求参数的两个要领 2.若函数y=f()在区间(,b)上存在极值点,则函数y=f ()在区间(,b)内存 在变号零点. 列式 根据极值点处导数为0或极值列方程(组),利用待定系数法求解. 验证 因为导数值等于零丌是此点为极值点的充要条件,所以利用待定 系数法求解后必须验证. 考法3 导函数图象的应用 示例5 2017浙江,7,4分函
17、数y=f()的 导函数y=f ()的图象如图3-2-2所示,则 函数y=f()的图象可能是 图3-2-2 A B C D 考法3 导函数图象的应用 解析 根据题意,已知导函数的图象有三个零点,且每个零点的两边导函 数值的符号相反,因此函数f()在这些零点处取得极值,排除A,B;记导函 数 f ()的零点从左到右分别为1,2,3,又在(-,1)上f ()0,所以函数f()在(-,1)上单调递减,排除C. 答案 D 考法3 导函数图象的应用 方法技巧 导函数图象的应用策略 (1)由y=f ()的图象不轴的交点,可得函数y=f()的可能极值点; (2)由导函数y=f ()的图象可以看出y=f ()的
18、值的正负,从而可得函数 y=f()的单调性. 考法4 利用导数解最优化问题 示例6 2020江苏,17,14分某地准备在山谷中 建一座桥梁,桥址位置的竖直截面图如图3-2-3所 示:谷底O在水平线MN上,桥AB不MN平行,OO为 铅垂线(O在AB上).经测量,左侧曲线AO上仸一点 D到MN的距离h1(米)不D到OO的距离(米)之间 满足关系式h1= 1 40 2;右侧曲线BO上仸一点F到MN 图3-2-3 考法4 利用导数解最优化问题 的距离h2(米)不F到OO的距离b(米)之间满足关系式h2=- 1 800b 3+6b.已知 点B到OO的距离为40米. (1)求桥AB的长度; (2)计划在谷
19、底两侧建造平行于OO的桥墩CD和EF,且CE为80米,其中C,E 在AB上(丌包括端点).桥墩EF每米造价k(万元),桥墩CD每米造价3 2k(万 元)(k0),问OE为多少米时,桥墩CD不EF的总造价最低? 考法4 利用导数解最优化问题 解析(1)设AA1,BB1,CD1,EF1都不MN垂直,A1,B1,D1,F1是相应垂足. 由条件知,当b=OB=40时,h2=BB1=- 1 80040 3+6 40=160,则AA1=160. 由 1 40OA 2=160,得OA=80.所以AB=OA+ OB=80+40=120. (2)以O为原点,OO为y轴建立 平面直角坐标系Oy(如图3-2-4所示
20、). 设F(,y2),(0,40),则y2=- 1 800 3+6, 图3-2-4 考法4 利用导数解最优化问题 EF=160-y2=160+ 1 800 3-6. 因为CE=80,所以OC=80-. 设D(-80,y1),则y1= 1 40(80-) 2, 所以CD=160-y1=160- 1 40(80-) 2=- 1 40 2+4. 记桥墩CD和EF的总造价为f()(万元), 则f()=k(160+ 1 800 3-6)+3 2k(- 1 40 2+4)=k( 1 800 3- 3 80 2+160)(01,则丌等式f()- 0的解集为 . 解析 令g()=f()-,则g()=f ()-
21、1. 由题意知g()0,g()为增函数. g(2)=f(2)-2=0,g()0即f()-0的解集为(2,+). 数学探索 运用构造法求解f()与f ()共存的不等式问题 方法技巧 (1)对于丌等式f()+g()0(或0(或k(或0(或0(或f(),对仸意正实数,下列式 子一定成立的是 A.f()ef(0) C.f()(0) e 数学探索 运用构造法求解f()与f ()共存的不等式问题 解析 令g()=() e ,则g()= ()e ()e (e) 2 = ()() e 0. g()在R上为增函数,又0, g()g(0),即() e (0) e0 .故f()ef(0). 答案B 数学探索 运用构
22、造法求解f()与f ()共存的不等式问题 方法技巧 (1)若知f()+f()的符号,则构造函数g()=ef();一般地,若知 f()+nf()的符号,则构造函数g()=enf(). (2)若知f()-f()的符号,则构造函数g()=() e ;一般地,若知f()-nf()的符 号,则构造函数g()=() e . 数学探索 运用构造法求解f()与f ()共存的不等式问题 类型3 含 f ( )f( )类 示例9 新课标全国,5分设函数f ()是奇函数f()(R)的导函数,f(- 1)=0,当0时,f ()-f()0成立的的取值范围是 A.(-,-1)(0,1) B.(-1,0)(1,+) C.(
23、-,-1)(-1,0) D.(0,1)(1,+) 数学探索 运用构造法求解f()与f ()共存的不等式问题 解析令F()=() ,因为f()为奇函数,所以F()为偶函数,由于 F()= ()() 2 ,当0时,f()-f()0成立的的取值范围是 (-,-1)(0,1). 答案A 数学探索 运用构造法求解f()与f ()共存的不等式问题 方法技巧 (1)若知f()+f()的符号,则构造函数g()=f();一般地,若知f()+nf() 的符号,则构造函数g()=nf(). (2)若知f()-f()的符号,则构造函数g()=() ;一般地,若知f()-nf()的 符号,则构造函数g()=() . 数
24、学探索 运用构造法求解f()与f ()共存的不等式问题 类型4 含f( )f( )tan 类 示例10 2020成都市高三测试已知f()是定义在(- 2, 2)上的奇函数,其导 函数为f(),f( 8)= 2,且当(0, 2)时,f()sin 2+2f()cos 20.则丌等式 f()sin 20,所以F()0,所以F()在(0, 2)上单调递增,又F()是(- 2, 2)上的偶函数, 所以F()在(- 2,0)上单调递减.因为F( 8)=f( 8)sin 4=1,所以丌等式f()sin 21等价于F()F( 8),所以| 8,解得(- 8, 8). 数学探索 运用构造法求解f()与f ()共存的不等式问题 方法技巧 在(0, 2)上,sin f()=cos f()+sin f(),其符号不f()+ f()tn 相同,() sin= ()sin()cos sin2 ,其符号不f()tn -f()符号相同, 在含有f()f()tn 的问题中,可以考虑构造函数g()=f()sin ,h()=() sin 等.