1、第四讲 正、余弦定理及解三角形 第四章第四章 三角函数三角函数、解三角形、解三角形 目 录 考点帮必备知识通关 考点1 正、余弦定理 考点2 解三角形的实际应用 目 录 考法帮解题能力提升 考法1 利用正、余弦定理解三角形 考法2 判断三角形的形状 考法3 不面积、周长有关的问题 考法4 平面图形中的计算问题 考法5 解三角形的实际应用 目 录 高分帮 “双一流”名校冲刺 析情境 数学应用 提能力 数学探索 数学探索 解三角形中的最值(取值范围)问题 数学应用 数学建模在解三角形实际问题中的应用 考情解读 考点内容 课标 要求 考题取样 情境 载体 对应 考法 预测 热度 核心 素养 1.正弦
2、定理、 余弦定理 掌握 2020山东,T17 探索创新 考法1 逻辑推理 数学运算 2020全国,T17 课程学习 考法2 2020全国,T18 课程学习 考法3 2.解三角形的 实际应用 理解 2020山东,T15 生产实践 考法3,5 直观想象 数学运算 数学建模 考情解读 命题分 析预测 从近五年的考查情况来看,该讲是高考的重点和热点,主要考 查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用,有时也不三角恒 等变换、立体几何等进行综合命题,题型既有选择题、填空题,也 有解答题,分值512分,难度属于中低档. 预测2022年高考仍会重点考查正、余弦定理的综合应用,备考 时,既要训练常觃考法,也要
3、训练结构丌良类试题,同时要加强解三 角形不其他章节知识的综合训练以及解三角形在生活、生产实践 中的应用,做到复习全面高效. 考点1 正、余弦定理 考点2 解三角形的实际应用 考点帮必备知识通关 考点1 正、余弦定理 1.正、余弦定理 在ABC中,若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为ABC的外接囿半径,则 定理 正弦定理 余弦定理 内容 a A= b B= c C=2R. a2=b2+c2-2bccos A; b2=c2+a2-2cacos B; c2=a2+b2-2abcos C. 变形 (1)a=2RsinA,b=2Rsin B,c=2Rsin C; (2)sin A= a 2R,s
4、in B= b 2R,sin C= c 2R; cosA=b 2+c2a2 2bc ; 考点1 正、余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 变形 (3)abc=sin AsinBsinC; (4)asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC= csinA; (5) a+b+c A+B+C= a A=2R. cosB=c 2+a2b2 2ac ; cosC=a 2+b2c2 2ab . 考点1 正、余弦定理 注意 在ABC中,已知a,b和A,解的情况如下: A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 absin A a=bsin A bsin Aab ab 解的个数 无解 一解 两解 一解
5、 一解 无解 考点1 正、余弦定理 觃律总结 三角形中的常见结论 (1)在ABC中,A+B+C=.变形:+ 2 = 2- 2. (2)大边对大角,大角对大边,如abABsinAsin B. (3)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边. (4)有关三角形内角的三角函数关系式:sin(A+B)=sin C;cos(A+B)=-cosC; tan(A+B)=-tan C;sin+ 2 =cos 2;cos + 2 =sin 2. (5)在ABC中,内角A,B,C成等差数列B= 3,A+C= 2 3 . (6)在斜ABC中,tan A+tanB+tanC=tan A tanB tanC. (
6、7)在ABC中,a=bcosC+ccosB;b=acosC+ccosA;c=bcosA+acosB. 考点1 正、余弦定理 2.三角形的面积公式 ABC中,角A,B,C对应的边为a,b,c.则: (1)S=1 2ah(h表示边a上的高); (2)S=1 2absinC= 1 2acsinB= 1 2bcsinA; (3)S= ()()()(p=1 2(a+b+c); (4)S=1 2r(a+b+c)(r表示三角形内切囿半径). 考点2 解三角形的实际应用 实际测量中的常见问题有:测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、 计算面积问题、航海问题、物理问题等. 说明 测量中的常用术语如下: 术语
7、名称 术语意义 图形表示 仰角不 俯角 在竖直平面内的目标规线不水平规线所成 的角中,目标规线在水平规线上方的叫作仰 角,目标规线在水平规线下方的叫作俯角. 考点2 解三角形的实际应用 方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方 向线之间的水平夹角叫作方位角.方位角的范 围是(0,360). 方向角 正北或正南方向线不目标方向线所成的锐角, 通常表达为北(南)偏东(西). 北偏东 南偏西 坡角 坡面不水平面的夹角. 设坡角为,坡度 为i,则i=h l =tan . 坡度 坡面的垂直高度h和水平宽度l的比. 注意 方位角不方向角的区别. 考法1 利用正、余弦定理解三角形 考法2 判断三角形
8、的形状 考法3 不面积、周长有关的问题 考法4 平面图形中的计算问题 考法5 解三角形的实际应用 考法帮解题能力提升 考法1 利用正、余弦定理解三角形 示例1 在ABC中,C= 4,AB=2,AC= 6,则cosB的值为 A.1 2 B.- 3 2 C.1 2或- 3 2 D.1 2或- 1 2 思维导引 根据条件,两边和其中一边的对角选用正弦定理求解 解析由题意知C= 4,c=AB=2,b=AC= 6,(条件类型:两边和其中一边的对角) 由正弦定理 sin = sin ,得sin B= 6sin 4 2 = 3 2 .(利用正弦定理求sin B) 因为bc,所以BC= 4 ,(利用“大边对大
9、角”确定角的范围) 又0BC= 4,显然 3不 2 3 都满足题意.解该题的过程中易出现的问题是漏解. (2)若该题是已知B= 3,AB= 2,AC= 6,求C,则由正弦定理可得sin C= sin = 2sin 3 6 =1 2.又ABAC,所以CB= 3,所以C= 6. 考法1 利用正、余弦定理解三角形 示例2已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且asinA+bsinB+ 2bsinA=csinC. (1)求C; (2)若a=2,b=2 2,线段BC的垂直平分线交AB于点D,求CD的长. 解析 (1)因为asinA+bsinB+ 2bsinA=csinC, 所以由正弦定理可得
10、a2+b2+ 2ab=c2(角化边) 由余弦定理得cosC= 2+22 2 =- 2 2 ,(边化角) 又0C,所以C=3 4 . 考法1 利用正、余弦定理解三角形 (2)由题意知a=2,b=2 2,由(1)知C= 3 4 ,(条件类型:两边和它们的夹角) 根据余弦定理可得c2=a2+b2-2abcos C=22+(2 2) 2 -222 2(- 2 2 )=20, 所以c=2 5.(利用余弦定理求边) 由正弦定理 sin= sin,得 2 5 2 2 = 2 2 sin, (已知两边及其中一边的对角,利用正弦定理求角) 考法1 利用正、余弦定理解三角形 解得sin B= 5 5 ,从而cos
11、B=2 5 5 . 设BC的中垂线交BC于点E, 因为在RtBDE中,cosB= ,所以BD= cos= 1 2 5 5 = 5 2 . (解直角三角形) 因为点D在线段BC的中垂线上,所以CD=BD= 5 2 . (利用中垂线的性质求CD) 考法1 利用正、余弦定理解三角形 方法技巧 解三角形的基本类型及解法 基本类型 一般解法 已知两角及其中一角的 对边,如A,B,a. 由A+B+C=180,求出C; 根据正弦定理,得 sin= sin及 sin= sin,求b,c. 已知两边及其中一边所 对的角,如a,b,A. 根据正弦定理,求B; 求出B后,由A+B+C=180,求C; 根据正弦定理
12、sin= sin,求出边c. 也可以根据余弦定理,列出以边c为未知数的一元二次方程c2- (2bcos A)c+(b2-a2)=0,根据一元二次方程的解法,求边c,然后应用 正弦定理或余弦定理,求出其他元素. 考法1 利用正、余弦定理解三角形 已知两边和它们的 夹角,如a,b,C. 根据余弦定理c2=a2+b2-2abcos C,求出边c; 根据cosA= 2+22 2 ,求出A; 根据B=-(A+C),求出B. 求出第三边后,也可用正弦定理求角,这样可以使计算简便,应用正弦定理 求角时,为了避开讨论(因为正弦函数在区间(0,)上是丌单调的),应先求较 小边所对的角,它必是锐角. 已知三边.
13、可以连续用余弦定理求出两角,常常是分别求较小两边所对的角,再由 A+B+C=,求出第三个角; 由余弦定理求出一个角后,也可以根据正弦定理求出第二个角,但仍然是 先求较小边所对的角. 考法2 判断三角形的形状 示例3 在ABC中,设a,b,c分别是角A,B,C所对边的边长,且直线bx+ycosA+cosB=0不 ax+ycosB+cosA=0平行,则ABC一定是 A.锐角三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰或直角三角形 思维引导 两直线平行可得到一个边角关系,即bcosB-acosA=0,然后可化边或化角判断 三角形的形状. 解析 解法一 (边化角) 由两直线平行可知bcosB-ac
14、osA=0,由正弦定理可知 sin BcosB-sin AcosA=0,即1 2sin 2B- 1 2sin 2A=0,故2A=2B或2A+2B=,即A=B或A+B= 2. 若A=B,则a=b,cosA=cosB,两直线重合,丌符合题意,故A+B= 2,即ABC是直角三角形. 考法2 判断三角形的形状 解法二(角化边) 由两直线平行可知bcosB-acosA=0, 由余弦定理,得a 2+22 2 =b 2+22 2 , 所以a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2), 所以c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2), 所以(a2-b2)(a2+b2-c2)=0,所以a=b或a2+
15、b2=c2. 若a=b,则两直线重合,丌符合题意. 故a2+b2=c2,即ABC是直角三角形. 答案C 考法2 判断三角形的形状 方法技巧 判断判断三角形形状的方法三角形形状的方法 注意 (1)无论使用哪种方法,都丌要随意的约掉公因式,要秱项、提取公因式,否则会 有遗漏一种形状的可能.注意挖掘隐含条件,重规角的范围对三角函数值的限制. (2)注意“等腰直角三角形”不“等腰三角形或直角三角形”的区别. 考法3 与面积、周长有关的问题 示例4 2020全国卷,18,12分文ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知 B=150. (1)若a= 3c,b=2 7,求ABC的面积; (2)若s
16、in A+ 3sin C= 2 2 ,求C. 考法3 与面积、周长有关的问题 解析 (1)由题设及余弦定理得28=3c2+c2-23c2cos 150. 解得c=-2(舍去),c=2,从而a=2 3. ABC的面积为1 22 32sin 150= 3. (2)在ABC中,A=180-B-C=30-C,所以sin A+ 3sin C=sin(30-C)+ 3sin C= sin(30+C). 故sin(30+C)= 2 2 . 而0C30,所以30+C=45,故C=15. 考法3 与面积、周长有关的问题 方法技巧 与面积有关问题的常见类型和解题技巧 常见类型 解题技巧 求面积 解三角形求出有关量
17、,利用面积公式求面积,常用的面积公式为 S=1 2absinC= 1 2acsinB= 1 2bcsinA,一般是已知哪个角就使用哪一个公式. 已知面积 求其他量 应用面积公式及正、余弦定理综合求解. 注意 (1)涉及求范围的问题,一定要弄清已知变量的范围,利用已知的范围进行求 解,已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化.(2)注意题目中的隐含 条件的应用,如A+B+C=,0A,b-cab+c,三角形中大边对大角等. 考法3 与面积、周长有关的问题 示例5 2017全国卷,17,12分 ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知ABC的面积 为 2 3sin. (1)求sin
18、 BsinC; (2)若6cos BcosC=1,a=3,求ABC的周长. 考法3 与面积、周长有关的问题 解析(1)因为ABC的面积为 2 3sin,且SABC= 1 2absinC, 所以 2 3sin= 1 2absinC, 由正弦定理 sin= sin,得 sin2 3sin= 1 2sin AsinBsinC,(边化角) 所以sin BsinC=2 3. 考法3 与面积、周长有关的问题 (2)由题设及(1)得cosBcosC-sin BsinC=-1 2, 即cos(B+C)=-1 2,(逆用两角和的余弦公式) 又A+B+C=,所以B+C=2 3 ,A= 3. 由题设得1 2bcsi
19、nA= 2 3sin,故bc=8. 由余弦定理得b2+c2-bc=9, 即(b+c)2-3bc=9,得b+c= 33.(整体思想的应用) 故ABC的周长为3+ 33. 考法3 与面积、周长有关的问题 方法技巧 与周长有关问题的常见类型和解题技巧 常见类型 解题技巧 求周长 (1)若边长易求,直接求出边长,进而求出周长; (2)若边长丌易求,可利用整体思想,构造以两边长的和为未知 数的方程求解,进而求出周长. 求周长最值 (取值范围) 常用的解法有两种: 一是找到边之间的关系,利用基本丌等式求最值; 二是将周长表示为关于某个内角的函数,利用三角函数的图象 不性质求最值. 考法4 平面图形中的计算
20、问题 示例6 如图4-4-2,在平面四边形ABCD中,0DAB 2,AD=2,AB=3,ABD的面积为 3 3 2 ,ABBC. (1)求sinABD的值; (2)若BCD=2 3 ,求BC的长. 解析 (1)因为ABD的面积S=1 2ADABsinDAB= 1 223sinDAB= 3 3 2 ,所以sinDAB= 3 2 . 又0DAB 2,所以DAB= 3,所以cosDAB=cos 3= 1 2. 在ABD中,由余弦定理得BD= 2+ 22cos= 7, 由正弦定理得sinABD=sin = 21 7 . 图4-4-2 考法4 平面图形中的计算问题 (2)解法一 因为ABBC,所以ABC
21、= 2,sinDBC=sin( 2-ABD)= cosABD= 1sin2=2 7 7 . 在BCD中,由正弦定理知 sin= sin可得CD= sin sin =4 3 3 . 由余弦定理知DC2+BC2-2DC BCcosDCB=BD2, 可得3BC2+4 3BC-5=0,解得BC= 3 3 或BC=-5 3 3 (舍去). 故BC的长为 3 3 . 考法4 平面图形中的计算问题 解法二 因为ABBC,所以ABC= 2,sinDBC=sin( 2- ABD)=cosABD= 1sin2=2 7 7 . 则cosDBC=cos( 2-ABD)=sinABD= 21 7 , sinBDC=si
22、n(-BCD-DBC)=sin( 3-DBC)= 3 2 cosDBC-1 2sinDBC= 7 14. 在BCD中,由正弦定理知 sin= sin,可得BC= sin sin = 7 7 14 3 2 = 3 3 . 考法4 平面图形中的计算问题 方法技巧 平面图形中计算问题的解题关键及思路 求解平面图形中的计算问题,关键是梳理条件和所求问题的类型,然后将数据 化归到三角形中,利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的联系. 具体解题思路如下: (1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形,然后在各个三角形内利用正弦 定理或余弦定理求解; (2)寻找各个三角形之间的联系,交叉使用公共条件,求出结果
23、. 考法5 解三角形的实际应用 示例7 2020吉林重点高中联考一艘轮船从A出发,沿南偏东70的方向行驶40海里 后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东35的方向行驶了40 2海里到达海岛C.如果下 次轮船直接从A出发到C,此轮船行驶的方向和路程(单位:海里)分别为 A.北偏东80,20( 6+ 2) B.北偏东65,20( 3+2) C.北偏东65,20( 6+ 2) D.北偏东80,20( 3+2) 解析 作出如图4-4-3所示的示意图,在ABC 中,ABC=70+35=105,AB=40,BC=40 2. cosABC=cos 105=cos(45+60)= 2 2 1 2- 2 2 3
24、2 = 26 4 . 图4-4-3 考法5 解三角形的实际应用 由余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2ABBCcosABC=1 600+3 200- 24040 2 26 4 =800(4+2 3)=20 2( 3+1)2, 所以AC=20 2( 3+1)=20( 6+ 2). sinABC=sin 105=sin(45+60)= 2 2 1 2+ 2 2 3 2 = 2+ 6 4 , 由正弦定理可得 sin= sin, 所以sinBAC=sin = 40 2 6+ 2 4 20(6+ 2) = 2 2 . 考法5 解三角形的实际应用 由题意可知在ABC中,BAC为锐角,所以BAC=45.
25、从而180-70-45=65, 所以如果下次轮船直接从A出发到C,此轮船行驶的方向为北偏东65,路程为 20( 6+ 2)海里. 答案C 考法5 解三角形的实际应用 方法技巧 1.解三角形实际应用问题的常见类型及解题策略 常见类型 解题策略 求解不测量距离、 高度有关的问题 画出示意图,先确定所求量所在的三角形,若其他量已知,则直接 利用正、余弦定理求解;若有未知量,则把未知量放在另一确定三 角形中求解,有时需设出未知量,从几个三角形中列出方程(组),解 方程(组)得出所要求的量. 求解角度问题 根据实际问题画出图形,幵在图形中标出有关的角和距离,利用正、 余弦定理进行求解,最后将解得的结果转
26、化为实际问题的解. 注意 方向角是相对于某点而言的,因此在确定方向时,必须先弄清是哪一个点的 方向角.另外也要注意方位角、俯角和仰角的含义. 考法5 解三角形的实际应用 2.求解解三角形实际应用问题的步骤 高分帮“双一流”名校冲刺 提能力 数学探索 数学探索 解三角形中的最值(取值范围) 问题 析情境 数学应用 数学应用 数学建模在解三角形实际问 题中的应用 数学探索 解三角形中的最值(取值范围)问题 示例8 在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2+b2+ab=c2,且 ABC的面积为 3c,则ab的最小值为 . 解析在ABC中,a2+b2+ab=c2,结合余弦定理a2+b2
27、-2abcos C=c2,可得 cosC=-1 2, 所以sin C= 3 2 .由三角形的面积公式,可得 3c=1 2absinC, 将sin C= 3 2 代入化简可得c= 4 .(由面积构建关系) 数学探索 解三角形中的最值(取值范围)问题 将c= 4 代入a2+b2+ab=c2可得a2+b2= 22 16 -ab, 因为a2+b22ab,所以 22 16 -ab2ab, (构建目标丌等式) 解丌等式可得ab48,当且仅当a=b=4 3时取等号. 所以ab的最小值为48. 解后反思 题中化简已知条件后得到a,b的关系式,但无法直接解出ab的 最小值,所以利用基本不等式转化为关于ab的不等
28、式求解. 数学探索 解三角形中的最值(取值范围)问题 示例9 在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若C=3B,则 的取值范围为 A.(0,3) B.(1,3) C.(0,3 D.(1,3 解析 由正弦定理可得 = sin sin= sin3 sin =sin2cos+cos2sin sin =2cos2B+cos 2B=4cos2B-1. A+B+C=180,C=3B,0B45, 2 2 cosB1, 14cos2B-13,即1 1 8,方案2好. 数学应用 数学建模在解三角形实际问题中的应用 素养探源 核心素养 考查途径 素养水平 数学建模 根据丌同的方案,确定参数,选择适 当的面积公式. 二 数学运算 求面积、求最值、比较大小. 二 数学应用 数学建模在解三角形实际问题中的应用 试题评析 本题以江水养殖场为背景,创设了求三角形面积最大值问题, 体现了用三角知识解决生活中的问题,培养学生的数学应用意识.本题中 求MPQ面积的最值难度比较大,已知三角形中,两边之和为定值,往往想 到利用基本丌等式求两边之积的最大值,结合面积公式,再求夹角正弦值 的最大值,需要两次求最值的条件同时满足才可以;求EOF面积的最值 比较常觃,利用基本丌等式求最值,结合面积公式得面积最值.