1、第二讲 等差数列及其前n项和 第六章第六章 数数 列列 目 录 考点帮必备知识通关 考点1 等差数列 考点2 等差数列的前n项和 考点3 等差数列的性质 目 录 考法帮解题能力提升 考法1 等差数列的判定不证明 考法2 等差数列的基本运算 考法3 等差数列的性质的应用 考法4 等差数列的前n项和及其最值 考情解读 考点 内容 课标 要求 考题取样 情境 载体 对应 考法 预测 热度 核心 素养 1.等差数列的 通项公式不 前n项和公式 掌握 2020全国,T14 课程学习 考法2 数学运算 2018全国, T17(2) 课程学习 考法4 2.等差数列的 性质 理解 2019江苏,T8 课程学习
2、 考法2,3 逻辑推理 数学运算 考情解读 命题分 析预测 从近几年的高考情况来看,本讲是高考的考查热点,主要考查等差 数列的基本运算和性质,等差数列的通项公式和前n项和公式等,尤其 要注意以数学文化为背景的数列题,题型既有选择题、填空题,也有解 答题,难度中等偏下. 预测2022年高考命题稳定,变化丌大,在复习备考中,要善于运用 函数不方程思想和整体带入思想解决有关等差数列问题,同时要注意 试题的探索创新和生活实践情境载体下的试题命制. 考点1 等差数列 考点2 等差数列的前n项和 考点3 等差数列的性质 考点帮必备知识通关 考点1 等差数列 1.等差数列的概念 一般地,如果一个数列从第2项
3、起,每一项不它的前一项的差等于同一个常数, 那么这个数列就叫作等差数列,这个常数叫作等差数列的公差,公差通常用字 母d表示. 定义的表达式为an+1-an=d,d为常数. 规律总结 等差数列的单调性 当d0时,数列an为递增数列; 当d0时,数列an为递减数列; 当d=0时,数列an为常数列. 考点1 等差数列 2.等差中项 如果a,A,b成等差数列,那么A叫作a不b的等差中项,且A=: 2 . 3.等差数列的通项公式及其变形 通项公式:an=a1+(n-1)d,其中a1是首项,d是公差. 通项公式的变形:an=am+(n-m)d(m,nN*). 考点1 等差数列 4.等差数列与一次函数的关系
4、 由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d可得an=dn+(a1-d),如果设p=d,q=a1-d,那 么an=pn+q,其中p,q是常数. 当p0时,点(n,an)在一次函数y=px+q的图象上,即通项公式为an=pn+q(p0)的 等差数列的图象是直线y=px+q上的均匀排开的一系列孤立的点. 当p=0时,an=q,等差数列为常数列,此时数列的图象是平行于x轴的直线(戒x轴) 上的均匀排开的一系列孤立的点. 说明 d=1 1 = ,表示点(n,an)所在直线的斜率. 考点2 等差数列的前n项和 1.等差数列的前n项和公式:Sn=(1:) 2 =na1+(1) 2 d. 2.等差数列的前
5、n项和公式不函数的关系:由Sn=na1+(1) 2 d可得Sn= 2n 2+(a1- 2)n,设a= 2,b=a1- 2,则Sn=an 2+bn. 当a0(即d0)时,由an的前n项和Sn组成的新数列S1,S2,S3,Sn,的图象是二 次函数y=ax2+bx图象上一系列孤立的点,因此我们可以借助二次函数的图象 和性质来研究等差数列前n项和的最值问题. 规律总结 当a10时,Sn有最小值;当a10,d0,d0,则Sn必有最大值,n可用丌等式组 0, :1 0来确定 (当an+1=0时,Sn+1也为最大值); 若a10,则Sn必有最小值,n可用丌等式组 0, :1 0来确定(当an+1=0 时,Sn+1也为最小值). 说明 若有零项,则使Sn取最值的n有两个. 考法4 等差数列的前n项和及其最值 (2)二次函数法:等差数列an中,由于Sn=na1+(1) 2 d= 2n 2+(a1- 2)n,故可用二 次函数求最值的方法来求前n项和的最值,这里应由nN*及二次函数图象 的对称性来确定n的值. (3)不等式组法:借助Sn最大时,有 1, :1 (n2,nN*),解此丌等式组确 定n的范围,进而确定n的值和对应的Sn的值(即Sn的最值).