1、第三讲 基本不等式 第第七七章章 不等式不等式 目 录 考点帮必备知识通关 考点 基本不等式及其应用 目 录 考法帮解题能力提升 考法1 利用基本不等式求最值 考法2 利用基本不等式解决实际问题 目 录 高分帮 “双一流”名校冲刺 明易错 误区警示 易错 连续运用基本不等式求最值时忽略等号的验证而出错 考情解读 考点内容 课标 要求 考题取样 情境 载体 对应 考法 预测 热度 核心 素养 基本不等式 及其应用 掌握 2020天津,T14 课程学习 考法1 逻辑推理 数学运算 2017江苏,T10 生活实践 考法2 考情解读 命题分 析预测 本讲是高考的热点,主要考查利用基本不等式求最值、证明
2、不 等式等,常与函数综合命题,解题时需注意应用基本不等式时要满 足的三个前提条件. 考点 基本不等式及其应用 考点帮必备知识通关 考点 基本不等式及其应用 1.基本不等式 如果a0,b0,那么 + 2 ,当且仅当a=b时,等号成立.其中,+ 2 叫作a,b 的算术平均数, 叫作a,b的几何平均数.即正数a,b的算术平均数不小于 它们的几何平均数. 2.几个常用的重要结论 (1)a2+b22ab(a,bR,当且仅当a=b时取等号). (2)a+b2 (a0,b0,当且仅当a=b时取等号). (3)ab(+ 2 )2(a,bR,当且仅当a=b时取等号). (4)a+1 2(a0,当且仅当a=1时取
3、等号);a+ 1 -2(a0,b0,当且仅当a=b时取等号). 注意 在运用基本不等式及其变形时,一定要验证等号是否成立. 3.利用基本不等式求最值 已知x0,y0. (1)若x+y=s(和为定值),则当x=y时,积xy取得最大值 2 4 (简记:和定积最大); (2)若xy=p(积为定值),则当x=y时,和x+y取得最小值 2 (简记:积定和最小). 注意 (1)此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指 正数,“二定”指求最值时和或积为定值,“三相等”指满足等号成立的条 件.(2)连续使用基本不等式时,牢记等号要同时成立. 考法1 利用基本不等式求最值 考法2 利用基本不等式
4、解决实际问题 考法帮解题能力提升 考法1 利用基本不等式求最值 示例1 已知ab0,则a+ 4 + + 1 的最小值为 A.3 10 2 B.4 C.2 3 D.3 2 命题角度1 利用拼凑法求最值 思维导引 观察式子的结 构特征 将a用后面两个式子的分母 表示,凑出积为定值的形式 利用基本不 等式求最值 解析因为a=1 2(a+b)+(a-b), 所以a+ 4 + + 1 = 1 2(a+b)+ 4 + + 1 2(a-b)+ 1 . (变形凑成积为定值) 因为ab0,所以a+b0,a-b0. 由基本不等式可得1 2(a+b)+ 4 +2 1 2 ( + ) 4 +=2 2 ,当且仅当 1
5、2(a+b)= 4 +,即a+b=2 2时,等号成立; 1 2(a-b)+ 1 2 1 2 () 1 =2 , 当且仅当1 2(a-b)= 1 ,即a-b= 2时,等号成立. 由 + = 2 2, =2, 解得 = 3 2 2 , = 2 2 . (检验等号成立的条件) 所以当 = 3 2 2 , = 2 2 时,中的等号同时成立. 故a+ 4 + + 1 的最小值为2 2 + 2=3 2. 答案D 方法技巧 利用拼凑法求最值的技巧 拼凑法就是将相关代数式进行适当变形,通过添项、拆项、变系数等方法 凑成和为定值或积为定值的形式,然后利用基本不等式求解最值的方法. 拼凑法的实质在于代数式的灵活变
6、形,拼系数、凑常数是关键. 注意 注意变形的等价性及基本不等式应用的前提条件. 命题角度2 利用常数代换法求最值 示例2 若直线2mx-ny-2=0(m0,n0)过点(1,-2),则 1 + 2 的最小值为 A.2 B.6 C.12 D.3+2 2 思维导引 把点的坐标代入直 线的方程得m与n的 关系式 进行“1”的代换 利用基本不等 式求最值 解析因为直线2mx-ny-2=0(m0,n0)过点(1,-2), 所以2m+2n-2=0,即m+n=1, 所以 1 + 2 =( 1 + 2 )(m+n)=3+ + 2 3+2 2,(运用“1”的代换求解) 且仅当 = 2 ,即n= 2m时取等号, 所
7、以 1 + 2 的最小值为3+2 2. 答案D 方法技巧 1.常数代换法求最值适用的题型及解题通法 当式子中含有两个变量,且条件和所求的式子分别为整式和分式时,常构造 出(ax+by)( + )(a,b,m,n为常数)的形式,利用(ax+by)( + )=am+bn + + am+bn+2 (当且仅当 = 时等号成立)得到结果. 2.常数代换法求解最值应注意的问题 (1)确定或分离出常数是基础; (2)将已知等式化成关于“1”的表达式是代数式等价变形的关键; (3)利用基本不等式求最值时注意基本不等式应用的前提条件. 命题角度3 利用消元法求最值 示例3 已知正实数a,b满足ab-b+1=0,
8、则1 +4b的最小值是 . 思维导引 先将已知等式变形,可得a=1 ,然后对1 +4b= 1+4b进行合 理拼凑,再利用基本不等式求出最值即可. 解析由ab-b+1=0可得a=1 ,由a=1 0且b0得b1, 所以1 +4b= 1+4b= 1 1+4(b-1)+5.(消元) 易知 1 1+4(b-1)4,所以 1 +4b9,当且仅当 1 1=4(b-1),即b= 3 2,a= 1 3时等号成立, 故1 +4b的最小值是9. 方法技巧 利用消元法求最值的技巧 消元法,即先根据条件建立两个量乊间的函数关系,然后代入代数式,再进行 最值的求解.有时会出现多元的问题,解决方法是消元后利用基本不等式求
9、解,但应注意各个元的范围. 考法2 利用基本不等式解决实际问题 示例4经调查测算,某产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用 m万元(m0)满足x=3- +1(k为常数),若不搞促销活动,则该产品的年销售量 只能是1万件.已知2020年生产该产品的固定投入为8万元,每生产1万件该产 品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的 1.5倍(产品生产包括固定投入和再投入两部分资金). (1)将2020年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数; (2)该厂家2020年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大? 思维导引 题中信息 对接方法 年销售量、 年促销
10、费用 由题中信息确定k值,进而明确两者关系. 销售价格、 成本 销售价格、成本用年销售量x与年促销费用m表示,构建关于 m的关系式. 利润最大 利用基本不等式求解. 解析(1)由题意可知,当m=0时,x=1, 1=3-k,解得k=2,即x=3- 2 +1, (代值定参数) 每1万件产品的销售价格为1.58+16 (万元), 2020年的利润y=x(1.58+16 )-(8+16x+m) (建模,利润=总收入-总投入) =4+8x-m =4+8(3- 2 +1)-m =28- 16 +1-m(m0). y与m之间的函数关系式是y=28- 16 +1-m(m0). (2)由(1)知y=- 16 +
11、1+(m+1)+29(m0). 当m0时, 16 +1+(m+1)2 16 +1 ( + 1)=8, (利用基本不等式求最值) 当且仅当 16 +1=m+1,即m=3时取等号, y-8+29=21, 即当m=3时,y取得最大值,为21. 当该厂家2020年的促销费用投入3万元时,厂家获得的利润最大,为21万元. 方法技巧 应用基本不等式解决实际问题的基本步骤 (1)理解题意,设出变量,建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数的最 值问题; (2)在定义域内,利用基本不等式求出函数的最值; (3)还原为实际问题,写出答案. 注意 (1)当运用基本不等式求最值时,若使等号成立的自变量的取值不在
12、定义域内,则不能使用基本不等式求解,此时应根据变量的取值范围,利用对 应函数的单调性求解.(2)注意某些实际问题中的隐含条件,如变量为整数,单 位换算等.(3)使用基本不等式的次数要尽量少,若多次使用,要验证等号能否 同时成立. 高分帮“双一流”名校冲刺 明易错 误区警示 易错 连续运用基本不等式求最值时忽 略等号的验证而出错 易错 连续运用基本不等式求最值时忽略等号的验证而出错 示例5 2017天津,13,5分文若a,bR,ab0,则 4+44+1 的最小值 为 . 解析因为ab0, 所以 4+44+1 2 4 44+1 = 422+1 =4ab+ 1 2 4 1 =4, 当且仅当 2 = 22, = 1 2 时等号成立, (连续使用两次基本不等式,两个等号成 立的条件要一致) 故 4+44+1 的最小值是4. 素养探源 核心素养 考查途径 素养水平 逻辑推理 找出a4+4b4与ab的关系,利用基本不等式求最值. 二 数学运算 基本不等式的应用,等号成立的条件的求解. 一 易错警示 当多次使用基本不等式时,一定要注意等号成立的条件的一致 性,否则容易出错.因此利用基本不等式处理问题时,列出等号成立的条件 不仅是解题的必要步骤,而且是检验转换结果是否有误的一种方法.