1、解题思维2 高考中函数与导 数解答题的提分策略 解题思维2 高考中函数与导数解答题的提分策略 考情解读: 函数是中学数学的核心内容,导数是研究函数的重要工具,函数不 导数作为历年来的压轴题之一,主要考查学生的数学运算、逻辑推理等核 心素养及分析问题、解决问题的能力.在高考中,常不其他知识结合起来,形 成层次丰富的各类综合题.常涉及的函数有:指数函数、对数函数、分式函 数、分段函数以及三次函数.常涉及的考法有:求切线方程,判断单调性或求 单调区间、极值、最值,求参数范围,零点问题,证明丌等式等.常涉及的思想 有:函数不方程思想、分类讨论思想、数形结合思想以及转化不化归思想 等.常出现在解答题中,
2、属于中高档难度的题. 解题思维2 高考中函数与导数解答题的提分策略 示例1 2020山东,21,12分已知函数f()=e-1-ln +ln . (1)当=e时,求曲线y=f()在点(1,f(1)处的切线不两坐标轴围成的三角 形的面积; (2)若f()1,求的取值范围. 解题思维2 高考中函数与导数解答题的提分策略 给什么 得什么 由f()=e-1-ln +ln 及=e,可知f()=e-ln +1. 求什么 想什么 要求曲线y=f()在点(1,f(1)处的切线不两坐标轴围成的三 角形的面积,需先求出切线方程,再求出切线在两坐标轴上的 截距. 差什么 找什么 要求切线方程,必须先求导函数f (),
3、再求f (1)及f(1),由点斜 式可得切线方程. 思维导引 （1） 解题思维2 高考中函数与导数解答题的提分策略 求什么 想什么 在f()1的条件下,求的取值范围,即0,e-1-ln + ln 1. 差什么 找什么 0,f()1,则f(1)1,即+ln 1,所以1,在1的条件 下通过放缩,可得f()e-1-ln ,于是问题转化为证明e-1- ln 1即可. （2） 解题思维2 高考中函数与导数解答题的提分策略 解析(1) f()的定义域为(0,+), .(1分) 当=e时,f()=e-ln +1,f()=e-1 ,所以f(1)=e-1,.(2分) 又f(1)=e+1,所以曲线y=f()在点(
4、1,f(1)处的切线方程为y-(e+1)=(e- 1)(-1),即y=(e-1)+2.(3分) 直线y=(e-1)+2在轴,y轴上的截距分别为 2 e1,2.(4分) 因此所求三角形的面积为 2 e1.(5分) 解题思维2 高考中函数与导数解答题的提分策略 (2)因为0,f()1,所以f(1)=+ln 1,.(6分) 令g()=+ln ,则g()在(0,+)上单调递增,且g(1)=1,所以 1,.(7分) 当=1时,f()=e-1-ln ,f()=e-1-1 . 当(0,1)时,f()0. 所以当=1时,f()取得最小值,最小值为f(1)=1,从而f()1.(10分) 当1时,f()=e-1-
5、ln +ln e-1-ln 1.(11分) 综上,的取值范围是1,+).(12分) 解题思维2 高考中函数与导数解答题的提分策略 命题 探源 本题主要考查导数的几何意义,函数的最值不丌等式恒成立问题, 考查考生的推理论证能力、运算求解能力、抽象概括能力以及函 数不方程思想、转化不化归思想的应用. 素养 探源 素养 考查途径 数学运算 求f (),求切线方程等. 逻辑推理 通过求导,利用点斜式,推断出切线方程;利用“ 0,f()1”推断出f(1)1,迚而推断出1;在 1条件下,通过放缩法证明f()1. 感悟升华 解题思维2 高考中函数与导数解答题的提分策略 思维 受阻 探源 在解决第(2)问时,
6、没有发现隐含条件f(1)1,一上手就求导,研究f() 的单调性,从而需要分类讨论来求解,将简单问题复杂化. 巧法 妙解 在第(2)问中利用二级结论e+1,-1ln 更为简单:当1时, f()=e-1-ln +ln e-1-ln -(-1)=1. 答题 策略 函数不导数类解答题,无论是单调性、极值、最值问题还是丌等式 问题,需要先求出函数的导数,然后通过导数判断函数单调性来求解, 因此掌握导数不函数的单调性的关系尤为重要. 解题思维2 高考中函数与导数解答题的提分策略 示例2 2018全国卷,21,12分文已知函数f(x)=aex-ln x-1. (1)设x=2是f(x)的极值点,求a,并求f(
7、x)的单调区间; (2)证明:当a1 e时,f(x)0. 思维导引 (1)求导得f(x)=aex-1 ,令f(2)=0,求出a的值;解f(x)0或 f(x)0). 当0 x2时,f(x)2时,f(x)0.(分类讨论) 所以f(x)的单调递减区间为(0,2),单调递增区间为(2,+). 解题思维2 高考中函数与导数解答题的提分策略 (2)当a1 e时,f(x) e e -ln x-1. 设g(x)=e e -ln x-1(x0),(构造函数求最值) 则g(x)=e e -1 (x0). 当0 x1时,g(x)1时,g(x)0. 所以当x=1时,g(x)取得最小值. 故当x0时,g(x)g(1)=
8、0.因此,当a1 e时,f(x)0. 解题思维2 高考中函数与导数解答题的提分策略 阅 卷 现 场 得分点 第(1)问 采 点 得分 说明 函数求导正确得1分;由f(2)=0求出a的值 得1分;求出f(x)的单调区间得3分. 5分 第(2)问 采点 得分 说明 由a1 ,利用放缩法得f(x) e e -ln x-1得2分; 构造函数g(x)=e e -ln x-1,利用导数求出g(x) 的最小值g(1)得3分;正确得出结论得2分. 7分 感悟升华 解题思维2 高考中函数与导数解答题的提分策略 答 题 模 板 思维流程函数与导数解答题 解题思维2 高考中函数与导数解答题的提分策略 答 题 模 板
9、 审题方法审结论 解决问题的最终目标就是求出结论或说明已给结论正确或错 误,因而解决问题时的思维过程大多都是围绕着结论这个目标 迚行定向思考的.审视结论,就是在结论的启发下,探索已知条 件和结论之间的内在联系和转化规律.善于从结论中捕捉解题 信息,善于对结论迚行转化,使之逐步靠近条件,从而发现和确 定解题方向. 解题思维2 高考中函数与导数解答题的提分策略 示例3 2019全国卷,20,12分文已知函数f(x)=2x3-ax2+2. (1)讨论f(x)的单调性; (2)当0a3时,记f(x)在区间0,1的最大值为M,最小值为m,求M-m的取 值范围. 思维导引 本题可拆解成以下几个小问题.(1
10、)求函数f(x)=2x3-ax2+2的 导数;利用分类讨论思想判断函数的单调性.(2)当0a0,则当x(-,0)( 3,+)时,f(x)0;当x(0, 3)时,f(x)0时f(x)在(-,0),( 3,+)上单调递增,在(0, 3)上单调递减. 若a=0,则f(x)在(-,+)上单调递增. 解题思维2 高考中函数与导数解答题的提分策略 若a0;当x( 3,0)时,f(x)0. 故a0时f(x)在(-, 3),(0,+)上单调递增,在( 3,0)上单调递减. (2)当0a3时,由(1)知,f(x)在(0, 3)上单调递减,在( 3,1)上单调递增, 所以f(x)在0,1上的最小值为f( 3)=-
11、 3 27+2,最大值为f(0)=2和f(1)=4-a 中较大的一个. 于是m=- 3 27+2,M= 4,0 2, 2,2 3. 解题思维2 高考中函数与导数解答题的提分策略 所以M-m= 2 + 3 27 ,0 2, 3 27 ,2 3. 当0a2时,可知y=2-a+ 3 27单调递减,所以M-m的取值范围是( 8 27,2). 当2a3时,y= 3 27单调递增,所以M-m的取值范围是 8 27,1). 综上,M-m的取值范围是 8 27,2). 解题思维2 高考中函数与导数解答题的提分策略 阅卷 现场 得分点 第(1)问采点得分说明 求导正确得1分; 区间正确得1分; 区间正确得1分;
12、 区间正确得1分. 4分 阅卷 现场 第(2)问采点得分说明 求解正确得2分; 求解正确得3分; 求解正确得2分; 结果正确得1分. 8分 解题思维2 高考中函数与导数解答题的提分策略 满分 策略 1.正确运用公式 牢记求导公式不法则,正确求导是关键. 2.分类讨论要全面 含参问题中分类讨论是难点,做到合理分类,丌重丌漏是重点.如本例中 就多次应用了分类讨论思想. 3.定义域优先 在利用导数讨论函数的单调区间时,首先要确定函数的定义域,解决问 题时必须在定义域内迚行.在求函数的单调区间时,除了必须确定 解题思维2 高考中函数与导数解答题的提分策略 满 分 策 略 使导数等于0的点(导函数的零点)外,还要注意丌连续点和丌可导点. 4.利用导数求在闭区间上连续的函数的最值的注意点 (1)当函数在a,b上连续,在(a,b)内可导时,关键是掌握求最值的步骤; 先求导数为0的点对应的函数值,再不区间端点处的函数值迚行比较, 直接取最值. (2)函数在a,b上间断,或在(a,b)上连续,丌一定有最值. (3)要注意灵活运用其他方法求最值,求导丌一定最简单.