1、2020 学年第一学期九年级阶段性测试数学试题学年第一学期九年级阶段性测试数学试题 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分.） 1. 观察下列图形，是中心对称图形的是( ） A. B. C. D. 2. 方程 2 610 xx 经过配方后，其结果正确的是( ) A. 2 (3)8x B. 2 (3)35x C. 2 (3)35x D. 2 (3)8x 3. 关于二次函数 2 32yx，下列说法正确的是( ) A. 图像开口向下 B. 图像经过点(3,2) C. 图像的对称轴是直线1x D. 最小值是2 4. 如图，点 A，B，C在O
2、上，若ACB=114，则=( ) A. 66 B. 114 C. 132 D. 134 5. 烟花厂某种礼炮的升空高度 h(m)与飞行时间 t(s)的关系式是 2 2201htt ，若这种礼炮在点火升空 到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为( ) A. 4s B. 5s C. 6s D. 10s 6. 如图，在 RtABC 中，ACB90，A35，以 C 为旅转中心，将ABC 旋转到ABC位置， 点 B 在边 AB上，则BDC为（ ） A. 70 B. 90 C. 100 D. 105 7. 已知O的半径 r=3， 点 P 和圆心 O之间的距离为 d， 且方程 2 30 4 d xx
3、没有实数根， 则点 P 与O 的位置关系是( ) A. 在圆上 B. 在圆内 C. 在圆外 D. 不能确定 8. 如图，将 ABC绕点 C(0,1)旋转 180得到 ABC，设点 A 的坐标为( , ) a b，则点 A的坐标为( ) A. (,)ab B. 2(), ab C. ,1ab D. (,1)ab 9. 已知二次函数 2 2(0)yaxbxa的图象的顶点在第四象限，且过点( 1,0) ，当a b为整数时，ab 的值为( ) A. 3 4 或 1 B. 1 4 或 1 C. 3 4 或 1 2 D. 1 4 或 1 2 10. 如图，在平面直角坐标系中，C 0,4，A 3,0，Ae半
4、径为 2，P为Ae上任意一点，E是 PC的中 点，则 OE的最小值是( ) A. 1 B. 3 2 C. 2 D. 2 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分）分） 11. 把抛物线 2 4yx的图象向右平移 1 个单位，再向下平移 3个单位，所得到的图象的解析式为 _ 12. 参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛 90场，共有_个队参加比赛 13. 如图，点，均在正方形网格格点上，过 ，三点的外接圆除经过， 三点外还能经过的格点数为 14. 如图，是一个半圆和抛物线的一部分围成的“芒果”，已知点 A、B、C、D 分别是“芒果
5、”与坐标轴 的交点，AB 是半圆的直径，抛物线的解析式为 2 33 22 yx，则图中 CD的长为_ 15. 如图， 2 1 yaxbx的图像交 x 轴于 O 点和 A 点，将此抛物线绕原点旋转 180得图像 y2，y2与 x 轴交 于 O 点和 B 点. （1）若 2 1 23yxx，则 y2=_ （2）设 1 y的顶点为 C，则当ABC 为直角三角形时，请你任写一个符合此条件的 1 y的表达式 _ 16. 如图，已知MON120，点 A、B分别在 OM，ON上，且 OAOBa，将射线 OM绕点 O 逆时针 旋转得到 OM，旋转角为 （0120且 60） ，作点 A关于直线 OM的对称点 C
6、，画直线 BC 交 OM与点 D，连接 AC，AD，有下列结论： 点 C始终在以 O为圆心，OB长为半径的圆上； ADB的大小随 的变化而变化； 当 30时，四边形 OADC 为菱形； ACD面积的最大值为 3a 2， 其中正确的结论是 （把你认为正确结论的序号都填上） 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 8 小题，第小题，第 17-20 题每题题每题 8 分，第分，第 21 题题 10 分，第分，第 22，23 题每题题每题 12 分，分， 第第 24 题题 14 分，共分，共 80 分分.） 17. 解方程：(1)(3)(1)3xxx (2) 2 2(2)25xx 18. 已知 m是方程
7、 2 20 xx的一个实数根，求代数式 2 2 ()(1)mm m m 的值 对于代数式 2 axbxc， 若存在实数 n， 当 x=n时， 代数式的值也等于 n， 则称 n为这个代数式的不变值. 例 如：对于代数式 2 x，当 x=0时，代数式等于 0；当 x=1时，代数式等于 1，我们就称 0和 1 都是这个代数式 的不变值. 在代数式存在不变值时，该代数式的最大不变值与最小不变值的差记作 A. 特别地，当代数式只 有一个不变值时，则 A=0 (1)代数式 2 2x 不变值是_，A=_ (2)已知代数式 2 31xbx，若 A=0，求 b的值 19. 如图，在边长为 1的正方形网格中，A（
8、1，7） 、B（5，5） 、C（7，5） 、D（5，1） （1） 将线段 AB绕点 B逆时针旋转， 得到对应线段 BE 当 BE与 CD第一次平行时， 画出点 A运动的路径， 并直接写出点 A运动的路径长； （2） 线段 AB与线段 CD存在一种特殊关系， 即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段， 直接写出这个旋转中心的坐标 20. 如图， Rt OAB 中,OAB=90， O为坐标原点， 边 OA 在 x 轴上， OA=AB=2 个单位长度， 把 Rt OAB 沿 x轴正方向平移 2个单位长度后得 11 AAB (1)求以 A为顶点，且经过点 1 B的抛物线的解析式； (2)若
9、(1)中的抛物线与 OB交于点 C，与 y轴交于点 D，求点 D、 C 的坐标 21. 新华书店为满足广大九年级学生的需求，订购走进数学若干本，每本进价为 16元. 根据以往经验： 当销售单价是 20元时，每天的销售量是 200本，销售单价每上涨 1 元，每天的销售量就减少 10 本，书店要 求每本书的利润不低于 25%且不高于 50% (1)请直接写出书店销售走进数学每天的销售量 y(本)与销售单价 x(元)之间的函数关系式及自变量的 取值范围； (2)当销售单价定为多少元时，每天的利润最大，最大利润是多少？ 22. 如图，在平面直角坐标系中，Rt ABC的斜边 AB在 y轴上，C=90，边
10、 AC与 x轴交于点 D， AE 平分BAC 交边 BC 于点 E，经过点 A、D、E的圆的圆心 F恰好在 y轴上，F与 y轴相交于另一点 G (1)求证：BC是F的切线； (2)若点 A、D的坐标分别为 A(0,1)，D(2,0)，求F的半径； (3)请直接写出线段 AG、AD、CD三者之间满足的数量关系：_ 23. 在平面直角坐标系 xOy中，已知点 A(0,3 )m，P(0,2 )m，Q(0,)m(m0)将点 A 绕点 P 顺时针旋转 90，得到点 M，将点 O绕点 Q顺时针旋转 90，得到点 N，连接 MN，称线段 MN 为线段 AO的伴随线 段 (1)如图，若 m=1，则点 M，N
11、的坐标分别为_，_； (2)对于任意m，求点 M，N 的坐标（用含 m的式子表示） ； (3)已知点 B(2, ) t，C( 2, ) t，以线段 BC为直径，在直线 BC的上方作半圆， 当半圆在 x轴上方，当点 N 落在 BC 上，点 M 在半圆上时，求 t的值； 若半圆与线段 BC围成的区域内（包括边界）至少存在一条线段 AO的伴随线段 MN，直接写出 t的取值 范围 24. 如图，等边VABC，边长为 4，点 P 是边 AB上一动点(不与 A，B重合)，过点 A，P，C 三点作圆，交 边 BC于点 D，作PCQ60 ，交圆于点 Q，连接 DQ交 AC于点 E (1)连接 PQ，求证：VP
12、CQ等边三角形； (2)求证：DQ/AB； (3)连接 AQ，设 BPx，VAPQ 的面积为 y，当 x 为何值时，y的值最大； (4)取 BP 中点 F，连接 PE，FE，当PEF的值最大时，直接写出 BP 的值 2020 学年第一学期九年级阶段性测试数学试题学年第一学期九年级阶段性测试数学试题 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分.） 1. 观察下列图形，是中心对称图形的是( ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义判断选项的正确性 【详解】A选项不是中心对称图形，绕着中心旋转180后不能
13、和原图形重合； B选项不是中心对称图形，绕着中心旋转180后不能和原图形重合； C选项不是中心对称图形，绕着中心旋转180后不能和原图形重合； D 选项是中心对称图形，绕着对角线的交点旋转180后可以和原图形重合 故选：D 【点睛】本题考查中心对称图形，解题的关键是掌握中心对称图形的判断方法 2. 方程 2 610 xx 经过配方后，其结果正确的是( ) A. 2 (3)8x B. 2 (3)35x C. 2 (3)35x D. 2 (3)8x 【答案】A 【解析】 【分析】根据配方法可直接进行排除选项 【详解】解：由方程 2 610 xx 经过配方可得： 2 38x； 故选 A 【点睛】本题
14、主要考查配方法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键 3. 关于二次函数 2 32yx，下列说法正确的是( ) A. 图像开口向下 B. 图像经过点(3,2) C. 图像的对称轴是直线1x D. 最小值是2 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的解析式得到它的图象和性质，选出正确选项 【详解】A选项错误，二次项系数大于 0，开口向上； B选项错误，把点(3,2)代入函数解析式不成立； C选项错误，对称轴是直线0 x； D 选项正确 故选：D 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，解题的关键是根据解析式分析出二次函数的图象和性质 4. 如图，点 A，B，C在O 上，若ACB=114，则=
15、( ) A. 66 B. 114 C. 132 D. 134 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆周角定理求出优弧 AB所对的圆心角的度数，就可以求出 的度数 【详解】解：114ACB， 优弧 AB所对的圆心角是228， 360228132 故选：C 【点睛】本题考查圆心角定理，解题的关键是掌握圆周角定理 5. 烟花厂某种礼炮的升空高度 h(m)与飞行时间 t(s)的关系式是 2 2201htt ，若这种礼炮在点火升空 到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为( ) A. 4s B. 5s C. 6s D. 10s 【答案】B 【解析】 【分析】把 2 2201htt 化成顶点式，进而问
16、题可求解 【详解】解：由题意得： 2 2 22012551httt ， 当 t=5s时，礼炮达到最高点； 故选 B 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键 6. 如图，在 RtABC 中，ACB90，A35，以 C为旅转中心，将ABC旋转到ABC 的位置， 点 B 在边 AB上，则BDC为（ ） A. 70 B. 90 C. 100 D. 105 【答案】D 【解析】 【分析】 根据三角形内角和定理求出ABC， 再由旋转的性质可知 BC=BC, ABC=B， 从而求出BCB， 根据旋转角相等求出ACA，最后根据外角定理即可求出BDC. 【详解】在 RtABC中，
17、ACB90 ，A35 ， ABC=90 35 =55 ， 由旋转的性质可知 BC=BC, ABC=B，BCB=ACA， ABC=B=BBC=55， BCB=180BBBC=18055 55 =70 ， ACA=70， BDC=A+ACA=35+70=105 故选 D. 【点睛】本题考查了旋转求角度，等腰三角形的性质，三角形外角定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关 键. 7. 已知O的半径 r=3， 点 P 和圆心 O之间的距离为 d， 且方程 2 30 4 d xx没有实数根， 则点 P 与O 的位置关系是( ) A. 在圆上 B. 在圆内 C. 在圆外 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【
18、分析】先根据一元二次方程根的判别式得到 d的范围，然后再结合点与圆的位置关系进行求解即可 【详解】解：方程 2 30 4 d xx没有实数根， 2 430bacd ，即3d ， r=3， 点 P 在圆外； 故选 C 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及点与圆的位置关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式 及点与圆的位置关系是解题的关键 8. 如图，将 ABC绕点 C(0,1)旋转 180得到 ABC，设点 A 的坐标为( , ) a b，则点 A的坐标为( ) A. (,)ab B. 2(), ab C. ,1ab D. (,1)ab 【答案】B 【解析】 【分析】设A的坐标为( , )m
19、 n，根据旋转的性质得到 C 是A和 A 的中点，利用中点公式可以求出点 A 的 坐标 【详解】解：设A的坐标为( , )m n， A和 A 关于点(0,1)C对称， 0 2 ma ，1 2 nb ，解得ma，2nb ， 点 A 的坐标2(), ab 故选：B 【点睛】本题考查图形的旋转，解题的关键是利用中点公式求出旋转后的点坐标 9. 已知二次函数 2 2(0)yaxbxa的图象的顶点在第四象限，且过点( 1,0) ，当a b为整数时，ab 的值为( ) A. 3 4 或 1 B. 1 4 或 1 C. 3 4 或 1 2 D. 1 4 或 1 2 【答案】A 【解析】 【分析】由题意易得2
20、0a b ，且0,0ab，则有当 x=1 时，y0，即20a b ，进而可得 22a b ，然后由a b为整数，则有1a b 或 0 或-1，最后求解即可 【详解】解：二次函数 2 20yaxbxa的图象的顶点在第四象限，且过点1,0， 20a b ，且0,0ab，当 x=1时，y0，即20a b ， 2ab，且0,2aab， 02,02ab， 22a b ， a b为整数， 1a b 或 0 或-1， 若1a b 时，则有 31 , 22 ab，从而 3 4 ab ； 若0ab时，则有1,1ab，从而1ab ； 若1ab 时，则有 13 , 22 ab，从而 3 4 ab ； 故选 A 【点
21、睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键 10. 如图，在平面直角坐标系中，C 0,4，A 3,0，Ae半径为 2，P为Ae上任意一点，E是 PC的中 点，则 OE的最小值是( ) A. 1 B. 3 2 C. 2 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】如图，连接 AC，取 AC 的中点 H，连接 EH，OH 利用三角形的中位线定理可得 EH=1，推出点 E 的运动轨迹是以 H 为圆心半径为 1的圆 【详解】解：如图，连接 AC，取 AC的中点 H，连接 EH，OH CEEPQ，CHAH， 1 EHPA1 2 ， 点 E 的运动轨迹是以 H为圆心半径为
22、1的圆， C 0,4Q，A 3,0， H 1.5,2， 22 OH2152.5 ， OE的最小值OH EH2.5 1 1.5 ， 故选 B 【点睛】本题考查点与圆的位置关系，坐标与图形的性质，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学 会添加常用辅助线，正确寻找点 E 的运动轨迹，属于中考选择题中的压轴题 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分）分） 11. 把抛物线 2 4yx的图象向右平移 1 个单位，再向下平移 3个单位，所得到的图象的解析式为 _ 【答案】 2 11yx 【解析】 【分析】根据“左加右减，上加下减”的原则得到平移后的
23、解析式 【详解】解：向右平移 1个单位，得 2 14yx， 再向下平移 3个单位，得 2 11yx 故答案是： 2 11yx 【点睛】本题考查二次函数的平移，解题的关键是掌握二次函数图象平移的方法 12. 参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛 90场，共有_个队参加比赛 【答案】10 【解析】 【分析】设共有 x个队参加比赛，根据每两队之间都进行两场比赛结合共比了 90 场即可得出关于 x的一元 二次方程，解之即可得出结论 【详解】解：设共有 x个队参加比赛， 根据题意得：21 2 x（x-1）=90， 整理得：x2-x-90=0， 解得：x=10或 x=-9（舍去） 故答案为：1
24、0 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据每两队之间都进行两场比赛结合共比了 90场列出关于 x的 一元二次方程是解题的关键 13. 如图，点，均在的正方形网格格点上，过 ，三点的外接圆除经过， 三点外还能经过的格点数为 【答案】5. 【解析】 【详解】试题分析：根据圆确定先做出过 A，B，C 三点的外接圆，从而得出答案 如图，分别作 AB、BC 的中垂线，两直线的交点为 O， 以 O 为圆心、OA 为半径作圆，则O 即为过 A，B，C 三点的外接圆， 由图可知，O 还经过点 D、E、F、G、H 这 5 个格点， 故答案为 5 考点：圆的有关性质. 14. 如图，是一个半圆和抛物线的一部分
25、围成的“芒果”，已知点 A、B、C、D 分别是“芒果”与坐标轴 的交点，AB 是半圆的直径，抛物线的解析式为 2 33 22 yx，则图中 CD的长为_ 【答案】 5 2 【解析】 【分析】根据二次函数的解析式可知对称轴为 y轴，分别令 x=0，y=0，可得出 A、B、D的坐标，可得 OD、 OA、OB 的长，根据 AB为直径，可求出 OC的长，进而可求出 CD 的长， 【详解】抛物线的解析式为 2 33 22 yx， 对称轴为 y轴， 当 x=0时，y= 3 2 ， 当 y=0 时， 2 33 22 x =0， 解得：x1=1，x2=-1， A（-1，0） ，B（1，0） ，D（0， 3 2
26、 ） ， OA=OB=1，OD= 3 2 ， AB为直径，y轴为对称轴， 原点 O 为圆心， OC=OA=1， CD=OC+OD=1+ 3 2 = 5 2 故答案： 5 2 【点睛】本题考查二次函数图象与坐标轴交点问题，正确求出 A、B、D三点坐标是解题关键 15. 如图， 2 1 yaxbx的图像交 x 轴于 O 点和 A 点，将此抛物线绕原点旋转 180得图像 y2，y2与 x 轴交 于 O 点和 B 点. （1）若 2 1 23yxx，则 y2=_ （2）设 1 y的顶点为 C，则当ABC 为直角三角形时，请你任写一个符合此条件的 1 y的表达式 _ 【答案】 . 2 23yxx . 2
27、 3(1)3yx(满足AOC 为等边三角形即可) 【解析】 【详解】 （1） 1 y与 2 y的图象关于原点对称， 1 y与 2 y的二次项系数互为相反数，顶点的两个坐标也分别互为相反数， 又 22 1 39 232() 48 yxxx 22 2 39 2()23 48 yxxx ； （2）如图，连接 OC， 2 1 yaxbx的图像和x轴交于点 A和原点，顶点为 C 点， A(? 0) b a ，、C 2 (?) 24 bb aa ，且 OC=AC， ABC 是直角三角形，且点 A与 B关于原点对称， OC= 1 2 AB=OA=AC， OAC 是等边三角形， 由等边三角形边上的高等于边长的
28、 3 2 倍可得： 2 3 () 24 bb aa ，解得： 2 3b ， 当02 3ab ， ，ABC 为直角三角形， 符合条件的 1 y的表达式可为： 2 1 3(1)3yx.（符合条件的解析式有很多个）. 16. 如图，已知MON120，点 A、B分别在 OM，ON上，且 OAOBa，将射线 OM绕点 O 逆时针 旋转得到 OM，旋转角为 （0120且 60） ，作点 A关于直线 OM的对称点 C，画直线 BC 交 OM与点 D，连接 AC，AD，有下列结论： 点 C始终在以 O为圆心，OB长为半径的圆上； ADB的大小随 的变化而变化； 当 30时，四边形 OADC 为菱形； ACD面
29、积的最大值为 3a 2， 其中正确的结论是 （把你认为正确结论的序号都填上） 【答案】 【解析】 【分析】正确，由题意只要证明 OCOAOB即可判断 错误，由题意只要证明ADC60 即可判断 正确，由题意只要证明 AOC， ADC都是等边三角形即可判断 正确，根据题意当 AC是O 直径时， ADC面积最大，由此即可判断 【详解】解：连接 OC A，C 关于直线 OM对称， OM垂直平分线段 AC， OAOC， OAOB， OCOAOB， 点 C始终在以 O为圆心，OB长为半径圆上，故正确， OCOA，DCDA，ODOD， ODCODA（SSS） ， OCDOAD， OBOC， OBCOCB，
30、OCB+OCD180 ， OBC+OAD180 ， ADC+BOA180 ， BOA120 ， ADC60 ，故错误， 当 30 时，COACDA60 ， OCOB，DCDA， AOC， ADC 都是等边三角形， OAOCCDADAC， 四边形 OADC 是菱形，故正确， AC是O的弦， 当 AC是O的直径时，AC的值最大，此时 ADC 的面积最大， DADA，ADC60 ， ADC 是等边三角形，AC2a， ADC 的面积的最大值 3 4 （2a）23a2，故正确， 故答案为： 【点睛】本题考查轴对称变换，等边三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质 等知识，解题的关键是
31、灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 8 小题，第小题，第 17-20 题每题题每题 8 分，第分，第 21 题题 10 分，第分，第 22，23 题每题题每题 12 分，分， 第第 24 题题 14 分，共分，共 80 分分.） 17. 解方程：(1)(3)(1)3xxx (2) 2 2(2)25xx 【答案】 （1） 1 0 x ， 2 3x ； （2） 1 33 2 x ， 2 33 2 x 【解析】 【分析】 （1）用因式分解法求解，提取公因式3x； （2）用换元法求解，令2xt，将原式变形成 2 221tt 【详解】解： （1）31
32、3xxx 31 10 xx 30 xx， 1 0 x ， 2 3x ； （2） 2 2225xx 2 22221xx， 令2xt， 2 221tt 2 2210tt ， 4 8 12 ， 21213 42 t ， 1 1333 2 22 x ， 2 1333 2 22 x 【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的各种解法 18. 已知 m是方程 2 20 xx的一个实数根，求代数式 2 2 ()(1)mm m m 的值 对于代数式 2 axbxc， 若存在实数 n， 当 x=n时， 代数式的值也等于 n， 则称 n为这个代数式的不变值. 例 如：对于代数式 2 x，当 x
33、=0时，代数式等于 0；当 x=1时，代数式等于 1，我们就称 0和 1 都是这个代数式 的不变值. 在代数式存在不变值时，该代数式的最大不变值与最小不变值的差记作 A. 特别地，当代数式只 有一个不变值时，则 A=0 (1)代数式 2 2x 的不变值是_，A=_ (2)已知代数式 2 31xbx，若 A=0，求 b的值 【答案】 （1）-1，2；3； （2） 1 1 2 3b ， 2 1 2 3b 【解析】 【分析】 （1）根据不变值的定义可得出关于 x 的一元二次方程，解之即可求出 x 的值，再作差后可求出 A 的值； （2）由 A=0可得出方程 2 3(1)1xbx=0 有两个相等的实数
34、根，进而可得出=0，解答即可得出结论 【详解】解： （1）根据题意得， 2 20 xx， 解得， 1 1x ， 2 2x A=2-（1）=2+1=3， 故答案为：-1，2；3； （2）根据题意得， 2 3(1)1xbx=0 有两个相等的实数根， =- (b+1)2-431=0 1 1 2 3b ， 2 1 2 3b 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，根据不变值的定义，求出一元二次方程的解是 解题的关键 19. 如图，在边长为 1的正方形网格中，A（1，7） 、B（5，5） 、C（7，5） 、D（5，1） （1） 将线段 AB绕点 B逆时针旋转， 得到对应线段 BE 当 BE与
35、 CD第一次平行时， 画出点 A运动的路径， 并直接写出点 A运动的路径长； （2） 线段 AB与线段 CD存在一种特殊关系， 即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段， 直接写出这个旋转中心的坐标 【答案】 （1）见解析；5； （2）旋转中心 P的坐标为（3，3）或（6，6） 【解析】 【分析】 （1）依据旋转的方向、旋转角和旋转中心即可得到点 A 运动的路径为弧线，再运用弧长计算公式 即可解答； （2）连接两对对应点，分别作出它们连线的垂直平分线，其交点即为所求. 【详解】解： （1）点 A 运动的路径如图所示，出点 A 运动的路径长为 22 9024 180 5； （2）如图
36、所示，旋转中心 P 的坐标为（3，3）或（6，6） 【点睛】本题主要考查了利用旋转变换及其作图，掌握旋转的性质、旋转角以及确定旋转中心的方法是解 答本题的关键. 20. 如图， Rt OAB 中,OAB=90， O为坐标原点， 边 OA 在 x 轴上， OA=AB=2 个单位长度， 把 Rt OAB 沿 x轴正方向平移 2个单位长度后得 11 AAB (1)求以 A为顶点，且经过点 1 B的抛物线的解析式； (2)若(1)中的抛物线与 OB交于点 C，与 y轴交于点 D，求点 D、 C 的坐标 【答案】 （1） 21 2 2 yx； （2）0,2D， 35,35C 【解析】 【分析】 （1）根
37、据三角形的边长求出点 A 和点 1 B的坐标，设抛物线解析式为 2 2ya x，代入点 1 B坐 标求出解析式； （2）令0 x，求出 y 的值，得到点 D的坐标，再求出直线 OB的解析式和抛物线联立求出点 C 的坐标 【详解】解：2OA， 2,0A， 1 4OA ， 11 2AB ， 1 4,2B， 设抛物线解析式为 2 2ya x， 把点 1 4,2B代入，得42a，解得 1 2 a ， 21 2 2 yx； （2）令0 x，得 1 42 2 y ， 0,2D， 设直线 OB解析式为ykx，把点2,2B代入，得到22k ，解得1k ， 直线 OB解析式为y x ， 联立直线和抛物线的解析式
38、，得 21 2 2 xx，解得 35x ， 根据点 C 的位置，取35x ， 35,35C 【点睛】 本题考查二次函数， 解题的关键是掌握求二次函数的解析式的方法，求抛物线和直线交点的方法 21. 新华书店为满足广大九年级学生的需求，订购走进数学若干本，每本进价为 16元. 根据以往经验： 当销售单价是 20元时，每天的销售量是 200本，销售单价每上涨 1 元，每天的销售量就减少 10 本，书店要 求每本书的利润不低于 25%且不高于 50% (1)请直接写出书店销售走进数学每天的销售量 y(本)与销售单价 x(元)之间的函数关系式及自变量的 取值范围； (2)当销售单价定为多少元时，每天的
39、利润最大，最大利润是多少？ 【答案】 （1）10400 2024yxx； （2）当销售单价定为 24 元时，利润最大，为 1280 元 【解析】 【分析】 （1）根据题意易得每天减少的销量为1020 x本，然后问题可求解； （2）设每天的利润为 w元，根据题意可得 2 1610400105606400wxxxx，然后根据 二次函数的性质可进行求解 【详解】解： （1）由题意得： 200 102010400yxx， 书店要求每本书的利润不低于 25%且不高于 50%， 16 251616 50 x， 解得：2024x， 每天的销售量 y(本)与销售单价 x(元)之间的函数关系式为10400 20
40、24yxx； （2）设每天的利润为 w元，根据题意得： 2 2 161040010560640010281440wxxxxx ， 100a，开口向下，对称轴为直线28x， 当2024x时，y随 x 的增大而增大， 当 x=24 时，利润最大，最大值为： 2 2 1028144010 414401280wx （元） ； 答：当销售单价定为 24 元时，每天的利润最大，最大利润是 1280 元 【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的性质及应用是解题的关键 22. 如图，在平面直角坐标系中，Rt ABC的斜边 AB在 y轴上，C=90，边 AC与 x轴交于点 D， AE 平分BA
41、C 交边 BC 于点 E，经过点 A、D、E的圆的圆心 F恰好在 y轴上，F与 y轴相交于另一点 G (1)求证：BC是F的切线； (2)若点 A、D的坐标分别为 A(0,1)，D(2,0)，求F的半径； (3)请直接写出线段 AG、AD、CD三者之间满足的数量关系：_ 【答案】 （1）见解析； （2） 5 2 ； （3）AG=AD+2CD 【解析】 【分析】 （1）连接 EF，根据角平分线的定义、等腰三角形的性质得到FEA=EAC，得到 FEAC，根据 平行线的性质得到FEB=C=90 ，证明结论； （2）连接 FD，设F的半径为 r，根据勾股定理列出方程，解方程即可； （3）作 FRAD于
42、 R，得到四边形 RCEF是矩形，得到 EF=RC=RD+CD，根据垂径定理解答即可 【详解】 （1）证明：连接 EF， AE平分BAC， FAE=CAE， FA=FE， FAE=FEA， FEA=EAC， FEAC， FEB=C=90 ，即 BC是F的切线； （2）解：连接 FD， A(0,1)，D(2,0)， OA=1,OD=2. 在 RtFOD 中， 222 OFODDF 设F的半径为 r， r2 =（r-1）2+22 ， 解得，r= 5 2 ，即F的半径为 5 2 ； （3）解：AG=AD+2CD 证明：作 FRAD于 R， 则FRC=90 ， 又BC 是F的切线； FEC=C=FRC
43、=90 ， 四边形 RCEF是矩形， EF=RC=RD+CD， FRAD，AF=FD, AR=RD， EF=RD+CD= 1 2 AD+CD， AG=2FE=AD+2CD 【点睛】本题考查的是切线的判定、垂径定理的应用、矩形的判定和性质，掌握相关知识是解题的关键 23. 在平面直角坐标系 xOy中，已知点 A(0,3 )m，P(0,2 )m，Q(0,)m(m0)将点 A 绕点 P 顺时针旋转 90，得到点 M，将点 O绕点 Q顺时针旋转 90，得到点 N，连接 MN，称线段 MN 为线段 AO的伴随线 段 (1)如图，若 m=1，则点 M，N 的坐标分别为_，_； (2)对于任意的 m，求点
44、M，N 的坐标（用含 m的式子表示） ； (3)已知点 B(2, ) t，C( 2, ) t，以线段 BC为直径，在直线 BC的上方作半圆， 当半圆在 x轴上方，当点 N 落在 BC 上，点 M 在半圆上时，求 t的值； 若半圆与线段 BC围成的区域内（包括边界）至少存在一条线段 AO的伴随线段 MN，直接写出 t的取值 范围 【答案】 （1）1,2， 1,1 ； （2）,2M mm，,Nm m； （3）1t ；21t 【解析】 【分析】 （1）把1m分别代入点 A、P、Q的坐标中，根据题意进行操作得到 M、N 的坐标； （2）根据点 A、P、Q的坐标求出 AP、QP、OQ的长，再根据旋转的性
45、质得到 M、N 的坐标； （3）画出图象，根据等腰直角三角形的性质求出 m的值，就可以得到 t的值； 再画出半圆在 x轴下方时的图象，用同上的方法求出 m 的值，得到 t的值，结合得到 t的取值范围 【详解】解： （1）如图， 当1m时，0,3A，0,2P，0,1Q， 1OQQPPA， 根据旋转的性质得1PMQN， 1,2M，1,1N ， 故答案是：1,2， 1,1 ； （2）如图， 对任意 m，有OQQPPAm，PMQNm， ,2M mm，,Nm m； （3）如图，半圆在 x轴上方，当点 N 落在 BC 上，点 M 在半圆上时，过点 M 作MHBC于点 H，连 接 QM， 2MQBQ， MH
46、QHm， 1m，此时2,1B ，2,1C，1t ； 如图，半圆在 x轴下方，当点 M 落在 BC 上，点 N在半圆上时，过点 N作NHBC于点 H，连接 PN， 2PNPB ， NHPHm， 1m ， 0, 2P，此时2, 2B ，2, 2C，2t ， 观察图象可知满足条件的 t的值是21t 【点睛】本题考查的坐标与图形以及旋转的应用，解题的关键是掌握旋转的性质，要注意分情况讨论 24. 如图，等边VABC，边长为 4，点 P 是边 AB上一动点(不与 A，B重合)，过点 A，P，C 三点作圆，交 边 BC于点 D，作PCQ60 ，交圆于点 Q，连接 DQ交 AC于点 E (1)连接 PQ，求
47、证：VPCQ是等边三角形； (2)求证：DQ/AB； (3)连接 AQ，设 BPx，VAPQ 的面积为 y，当 x 为何值时，y的值最大； (4)取 BP 中点 F，连接 PE，FE，当PEF的值最大时，直接写出 BP 的值 【答案】 （1）见解析； （2）见解析； （3）当2x时，y取得最大值，最大值为3； （4）3.2 【解析】 【分析】 （1）先根据等边VABC 可得PAC60 ，再根据同弧所对圆周角相等可得PACPQC60 ， 再结合PCQ60 即可得证； （2）由（1）可得CPQ60 ，再根据同弧所对圆周角相等可得CDQCPQ60 ，最后根据同位角相 等两直线平行即可得证； （3）
48、过点 P 作 PGAQ， 交 QA 的延长线于点 G， 先证BCPACQ， 可得 AQBPx， 再根据BAC CAQ60 可得PAG60 ，再利用三角函数即可表示出 PG的长，进而可表示出APQV的面积； （4）根据题意先找到PEF的值最大时的位置，进而可求得答案 【详解】 （1）证明：等边VABC， PACBACB60 ， PQCPAC60 ， PCQ60 ，PQC60 ， VPCQ是等边三角形； （2）证明：VPCQ是等边三角形， CPQPCQ60 ， CDQCPQ60 ， 又B60 ， CDQB， DQ/AB； （3）解：如图，连接 AQ，过点 P 作 PGAQ，交 QA的延长线于点 G
49、， ACBPCQ60 ， PCBACQ， VABC，VPCQ是等边三角形， BCACAB4，PCQC， 在BCPV与ACQV中 BCAC BCPACQ PCQC BCPACQ（SAS） AQBPx，CAQB60 ， 又AB4， APAB-BP4-x， BACCAQ60 ， PAG60 ， 在 Rt VAPG中，sinPAG PG AP ， sin60 4 PG x 3 2 PG 3 (4) 2 x 13 (4) 22 yxx 2 3 (4 ) 4 xx 2 3 (2)3 4 x 当2x时，y取得最大值，最大值为3； （4）解：如图，连接 PD，作线段 PF的垂直平分线，交 PF、DQ于点 N、
50、M，连接 FD，FM、PM，设 BP x， DQAB， PDAQ ， PDAQ， PDBP， 又B60 ， VBPD为等边三角形， BD BP PDx， 又F为 BP 的中点， FDBP，BFPF 1 2 BP 1 2 x 在 Rt VBFD 中，FD 22 BDBF 22 1 () 2 xx 3 2 x FDBP，MNBP，ABDQ， 四边形 FNMD 为矩形， MNFD3x，FNDM，FNM90 ， MN 垂直平分 PF， PNFN 1 2 FP 1 4 x，FMPM，FMNPMN， 在 Rt VFMN 中，tanFMN FN MN 1 4 3 2 x x 3 6 ， FMN 为定值， 又